莱布尼茨 · 记号大师
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，一六四六年七月一日生于莱比锡。父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，藏书不少；父亲去世那年他六岁，此后那间书房成了他的玩处。他八岁自学拉丁文，十二岁能用拉丁文写诗，十五岁进莱比锡大学学法律，二十岁在阿尔特多夫拿到法学博士，学校留他做教授，他谢绝了——他要的不是讲台。
他此后四十年的正式身份是：美因茨选帝侯的法院参议、汉诺威公爵的宫廷顾问与图书馆长、柏林科学院的创办人兼首任院长、不伦瑞克家族的家谱官。他一生在马车、候见室、档案馆与信纸上度过，写过上万封信，见过路易十四与彼得大帝，为三个王室做过法律与外交。数学是他在这些差事之间做的事。
可正是这些「之间做的事」，留下了今天每一个学数学的人每天要写的东西：dy/dx 与 ∫f(x)dx。一六七五年十月二十九日，他在手稿上第一次写下那个拉长的 S；九年之后，他把一套完整的微分法则印在莱比锡的学报上。这套记号活了三百年，用它的书比用任何其他数学记号的书都多。
这一册要讲的不是「谁先发明了微积分」——那场争吵在第五幕里讲，讲它怎样耗掉了两个人的晚年。这一册要讲一件更安静的事：符号的形状会决定思想走得动走不动。同样一件事，写成「流数」还是写成 dy/dx，决定了后来一百年英国数学与欧洲大陆数学的差距。
故事层——跟着画面走：莱比锡的一间书房、一辆去巴黎的马车、一张写着长 S 的手稿、汉诺威图书馆的一排书架、一台带摇柄的机器。
数学层——暖金色的框里是这一页真正的数学：差与商的记号、竖条与和、差和互逆、乘积法则、链式法则、弧长与极值。
注疏层——页面下方的小字，标注年代、原文与真伪，给一起读的大人。
第一幕 律师的外交生涯与「把一切推理变成计算」的梦 · 第二幕 切线是差、面积是和
第三幕 一套会自己往前走的记号 · 第四幕 用 d 与 ∫ 算同样的题 · 第五幕 记号之争的代价与二进制的回声
一六七二年三月，一辆马车从美因茨出发向西走。车里坐着二十六岁的莱布尼茨，随行一只书箱：几卷法律文书、一本帕斯卡的《致外省人信札》、一叠白纸、几张画着齿轮的图纸。
这趟差事是政治。美因茨选帝侯担心法国东进，派他去巴黎劝说路易十四：与其在莱茵河上跟德意志诸邦纠缠，不如去取埃及。这个主意是莱布尼茨自己写的，一份不长的备忘录，把运河、航线、季节风都算了进去。他想用一场远处的战争换掉一场近处的战争。
路易十四没有采纳。这份备忘录在档案里躺了两百年，拿破仑远征埃及时被人翻出来，惊呼「这是个天才的构想」——不过那已经与莱布尼茨无关了。
差事失败，人却留了下来。巴黎当时是欧洲科学的中心：惠更斯在，王家科学院的院士们在，帕斯卡刚去世十年，他的手稿还在被人传抄。莱布尼茨原本只打算待几个月，结果待了四年半。
这四年半里他自修完了当时的全部高等数学。他没有老师，只有几本书和几位愿意跟他说话的人：惠更斯教他看摆线的性质，一位公爵给他看帕斯卡未刊的算迹，他自己把笛卡尔的几何与费马的极值一遍遍重做。四年半之后他离开巴黎时，手里已经有了那样东西——一套能把「切线」与「面积」写成算式的记号。
把一条曲线画在纸上，立刻能问两个问题。
第一问：在某一点，这条线有多陡？——陡，是一条直线的性质：横着走一格，竖着升几格。曲线每一处的陡都不一样，所以得问「在某一点」。回答它的那条线叫切线。它的用处很多：镜子要把光反射到哪里，炮弹在某一刻往哪个方向飞，山坡上某处的坡度够不够修一条路。
第二问：这条线与底线之间夹的那块地有多大？——这块地叫「曲线下的面积」。回答它的用处同样多：船在水里排开多少水（那是一个被曲线围住的体积），一块形状古怪的地有多少亩，一个变速运动的物体走了多远（距离是速度曲线下的面积）。
这两个问题看起来毫无关系：一个是「一点上的陡」，一个是「一整块的多少」。古希腊人把它们分开来做，做了两千年。
阿基米德用穷竭法算出抛物线弓形是外接三角形的三分之四；开普勒算酒桶的体积，把桶切成无数薄片；卡瓦列里说线由点铺成、面由线铺成，把「无数个不可分的东西加起来」当成一种算法；费马找极值，让增量先来后走；巴罗在剑桥的讲义里画出了切线与面积的关系，却没看出这是一件事的两面。
缺的不是勇气，是一件东西：一套记号，能把这个「让增量来一下再走」的动作写得像加法一样顺手，并且写完之后，下一步该怎么做会自己浮出来。
同一个数，写成「MDCXV」还是写成「1615」，在纸面上占的地方差不多。可要把它乘上「LXIV」，两种写法的差别就是一天与一刻钟的差别。罗马数字没有位值，竖式乘法无从下手，只能靠算盘或者一张对照表；阿拉伯数字把「位置」变成了信息，于是乘法可以按位进行，进位可以写成小字，整套算法能在纸上自动跑下去。
这不是算术的进步，这是写法的进步。写法一变，能算的东西就变了：账簿、天文表、航海表，都是跟着位值记数法普及开来的。
记号至少做三件事。
省力：把一长串想法压缩成一个符号，眼睛一扫就过，不必每次都在心里重述一遍。
防错：好的记号自带检查。竖式乘法里每一位对齐，错了位一眼看得出；写成一句话就看不出来。
提示下一步：这是最要紧的一条。有些符号的形状，会把下一步运算摆在眼前——像 dy/dx 写成除法，就自然让人想「两边同乘 dx」；像 ∫ 写成一条拉长的 S，就自然让人想起「这是求和」。
莱布尼茨一生只在这第三件事上用力。他相信，人类争吵多、算得少，是因为缺少一套写得好的符号；如果一切概念都能化成符号，把推理变成按规则变形，那么两个哲学家吵架时，只要各自拿出笔来，说一句「让我们算一算」。
莱比锡的冬天长。一六五二年，六岁的戈特弗里德失去了父亲，家里那间书房却留了下来。父亲是大学里的道德哲学教授，一生买书，架上从罗马法到神学、从亚里士多德到当时的天文表，一排排立着。
家里的规矩是：孩子不许乱动那间屋子。他后来回忆，自己是从门缝里挤进去的——先把一本书抽出来，看完，原样插回去，看第二本。八岁那年他已经读完了大部分拉丁文著作，包括一些本来不该给这个年纪看的：古罗马的史家、教会的辩论集、还有几本诗。
十二岁那年他做了一件让自己得意的事。学校里教的亚里士多德三段论，他觉得不好用，于是写了一篇小文，主张把判断的「量」用数字与符号标出来，让推理变成一种可以照着做的算法。文题稚气，方向却已经定了：他想给思维造一台符号的机器。
十四岁他进莱比锡大学，学的是法律与哲学。法律这门学问在当时被当成「关于理由的技术」：一堆条文，加一堆解释，最后要判一个案子。莱布尼茨学得很好，后来一辈子靠它吃饭；可他心里始终觉得，法律之所以要辩论，是因为条文写得不清楚——如果每一条都能写成精确的式子，法官就不必「权衡」，只需计算。
这个念头陪了他一生。他二十岁写的博士论文讨论「疑难案件」，三十岁写的备忘录讨论法典编纂，五十岁写的信里还在说：要有一门「普遍的文字」，让所有学科的概念都能无歧义地写下来。他没能造出那门文字，但他在造它的过程中，顺手造出了一样真正管用的东西——一套写「变化」的符号。
莱布尼茨二十岁那年写了一本书，叫《论组合术》。书里有一个大胆的想法：把所有基本概念编号，让每一个复杂概念由基本概念的编号「乘」出来，于是任何两个概念的比较、任何一句话的真假，都可以化成数字的运算。
这套东西他后来叫「普遍文字」（characteristica universalis）：一种写下来谁都不会误解的符号系统。配套的还有一件东西，他叫「推理演算」（calculus ratiocinator）：一套只按形状变形、不问含义的规则，像算术一样，从前提推到结论。
两者合起来，就是他那句著名的话的底气：两个哲学家吵架，不必动武，只须各自拿起笔，说一声「让我们算一算」。
这个梦没有做成。二十世纪的人证明了它做不成：任何足够丰富、能表达算术的符号系统，都存在系统内既不能证明也不能否证的命题（哥德尔，1931）；而「无歧义」这件事本身，也不是靠设计符号就能一劳永逸的。可这个梦的副产品做成了一大半：数理逻辑、形式语言、程序语言、计算机本身，都是「把推理写成符号、让符号按规则跑」这条路上的东西。
而在这条路上，他最早做成的一件小东西，就是 dx 与 ∫。它们的成功恰好证明了他的信条：符号不是思想的衣服，符号是思想的车轮。
十进制之所以方便，只因为我们有十根手指。数学本身并不偏爱十。莱布尼茨在巴黎时想过一件事：如果只用两个数字 0 与 1，会怎样？
答案很不寻常：一切照旧，只是更长。0 是 0，1 是 1，2 写 10，3 写 11，4 写 100，5 写 101，6 写 110，7 写 111，8 写 1000。每往左一位，值翻一倍。
他喜欢这套写法，理由却不是「便于计算」——恰恰相反，二进制写起来冗长，算起来并不快。他喜欢它，是因为它把「有」与「无」摆到了最干净的位置：每个数都由 0 与 1 组成，加法的进位规则只有一条，乘法表只有四行（0×0、0×1、1×0、1×1）。一个世界可以从「一」与「零」里长出来。
他还发现了一件让他兴奋的事。一七〇一年，在北京的耶稣会士白晋给他寄来一张图：北宋邵雍的「先天六十四卦图」，六十四卦按阴阳爻的次序排成一个方阵。莱布尼茨一看就认出：如果把阴爻记作 0、阳爻记作 1，那么六十四卦恰好就是 0 到 63 的六位二进制数，从坤（000000，零）到乾（111111，六十三），一个不多、一个不少。
他把这件事写进论文，附上对照表。在他看来，这证明了二进制不是欧洲人的新发明，而是人类在两处各自摸到过的同一个真理——他甚至在信里说，这或许是古人早已知道、后来失传的东西。
一六五九年，一个德国人在书里做过一次比较：把同一个乘法用罗马数字与阿拉伯数字各算一遍。前者靠对照表，一行一行查，查错一次从头再来；后者按位对齐，乘、加、进位，像一台机器那样一格一格推过去。
莱布尼茨把这件事看得比大多数人重。他认为，人类之所以在很多事情上争不出结果，不是因为不够聪明，而是因为所用的语言与符号漏掉了信息：句子写出来，条件藏在语气里，前提靠上下文补，于是两个人读同一句话，脑子里是两个不同的命题。
好的记号应当像一台机器：把输入放进去，按规则转，输出自然会掉出来。规则写在形状里，不必靠记性。他甚至设想，将来若有争论，两人只需说「让我们算一算」，然后各自按规则变形，谁的式子先推不下去，谁就认输。
这个标准很高。用这把尺子去量当时的数学，会发现一个奇怪的现象：代数已经写得不错（x、y、＝、根号都是新东西），可是「变化」这件事，还没有一个像样的写法。牛顿用一个小点表示「变化率」，那个点浮在字母上方，一旦要算二阶、三阶，就变成两个点、三个点，越写越乱；而要算「许多小东西加起来」，就只好用文字说「所有这些的和」。
莱布尼茨决定从这里下手：先造符号，再算题。这个次序，与牛顿正好相反。
一六七六年冬天，莱布尼茨从巴黎绕道伦敦、荷兰，回到德意志，在汉诺威停下。这一停就是四十年。
他的头衔是宫廷顾问兼图书馆长。图书馆在城边一幢旧楼里，书不算多，编目混乱，几任馆长都没理清。他来了以后做的第一件事是给书编目：按学科、按年代、按来源，一册一册写卡片。这件事他做了很多年，做到晚年还在做——因为他把图书馆当成一件「可以设计的机器」：书怎么排，决定了人能不能找到它。
图书馆长只是他众多差事里的一项。他替公爵管法律、管铸币、管道路；替不伦瑞克家族查家谱，为了证明这个家族与意大利的埃斯特家族同源，他跑遍了德意志与意大利的档案馆，翻了几千份中世纪文书，最后写出一部厚厚的《不伦瑞克家族源流考》——这本书今天还被史学家引用，因为他在里面发明了用文书字体与用纸断代的方法。
他还管过哈茨山的银矿。矿里排水靠风车，风车常坏，他设计过一种改良的传动，写了报告，矿上没采纳。他算过公国的年收入，建议过统一税制，起草过保险方案。他甚至在汉诺威推行过一种「公共消防」的构想。
这些差事占去了他大半生的白天。数学与哲学只能挤在夜里与旅途上：在马车上写，在候见室里写，在等公爵起床的时候写。他一生写了上万封信，与全世界六百多人通信；他的很多数学成果，最初就出现在这些信里，而不是论文里。
这也是他后来吃亏的地方：他习惯把想法先写在信上，把发表推到「有空的时候」。而那个年代，先发表的人才有名字。
一六七三年春天，莱布尼茨在伦敦住了两个多月。他带着自己造的计算器去皇家学会演示，见到了胡克、见到了奥尔登堡，也读到了巴罗的《几何讲义》。他后来回忆，那几周里他「把英国人的做法看了一遍」。
英国人当时的做法是牛顿的：把一个量随时间的变化率叫「流数」，在字母上方点一个点；把随时间流变的量叫「流量」。求变化率叫「求流数」，反过来叫「求流量的流数」——后者其实就是求面积。方法极其有力，可符号极其不便：二阶变化率写成两个点，三阶写成三个点，要写「x 的三阶流数对 y 的二阶流数之比」，纸上就是一片点。
莱布尼茨走的是另一条路。他不在「时间」上做文章，而是在「两个相邻的值之差」上做文章：取一个无穷小的增量 dx，看函数随之产生的增量 dy，两者之比就是切线斜率。他把这个比写成 dy/dx——写成分数。
这一笔是决定性的。写成分数，它就可以像分数一样约分、移项、两边同乘；要算二阶，只需再取一次差，写成 d(dy)/dx2；要换一个变量，只需把 dy 展开成 (dy/du)du，链条自己接上。牛顿的点做不到这些，因为点只是「标记」，不是「可运算的东西」。
两条路都能到终点，可路上花的力气相差极大。这不是聪明程度的差别，是工具形状的差别。
第一幕讲的是「一个人为什么先造符号、再算题」，账清一清。
他的本行不是数学。法律、外交、图书馆、家谱、矿务，四十年里这些占了大半时间；数学是他在马车与夜里做的事。
他有一个大梦。把一切概念写成无歧义的符号，把推理化成按规则的变形，于是争论可以变成计算。这个梦没做成，可它的副产品改变了世界。
他偏爱「干净」的写法。二进制只用 0 与 1，写起来长，可是规则最少；他甚至从《易经》的六十四卦里看到了同一个结构。
他与牛顿走了两条路。一个在「时间」上取变化率，用点标记；一个在「相邻值」上取差，写成分数。形状不同，后来越走越远。
二进制：(an…a1a0)2＝Σak2k。例：1011012＝32＋8＋4＋1＝45。
微分记号：dy/dx 是「y 的差」与「x 的差」之比；d 与 ∫ 是一对逆运算。
卦象对应：六爻自下而上读，阴＝0、阳＝1，得六位二进制数；坤 ＝0，乾 ＝63。
一六七五年十月二十九日，巴黎，莱布尼茨在纸上算一个求和的问题。他先在式子的前面写了一个「omn.」——omnia 的缩写，意思是「全部」；写了几行，觉得碍眼：这个缩写占地方，又看不出「一直加到无穷」这层意思。
他换了一个办法：把拉丁文 summa（和）的首字母 S 拉长，写成一条竖着的弧。这个形状有两点好处：一是仍然认得出「这是求和」，二是它可以带上标与下标，像括号一样把范围圈住——从哪儿加到哪儿，一目了然。
手稿上留着这个改动：一行「omn.」，划掉，旁边写着那个拉长的 S。两个星期后，十一月十一日，他第一次把两个符号并在一起写：∫f(x)dx。左边是「把这些加起来」，右边是「每个小东西有多大、有多宽」。
他当时并不知道这个符号会活多久。他只是觉得，这样一来，「求面积」这件事在纸上就有了一个统一的样子：不管曲线是什么，都写成 ∫ 加一个被加的东西。
同一年他还在纸上试了另一个符号：一个拉长的 d，用来表示「差」。这两个符号是一起出生的，它们是一对——一个说「把整体切成小片」，一个说「把这些小片加起来」。
三百五十年过去，全世界学微积分的人，第一节课就在写这两个符号。它们的形状几乎没有变过。
先把「切线」变成一个可以算的东西。曲线 y＝x2，取一点 x，让它往前走一小步 dx。函数值也跟着变，变成 y＋dy。
把它代进式子：
y＋dy＝(x＋dx)2＝x2＋2x·dx＋(dx)2
两边减去 y＝x2：
dy＝2x·dx＋(dx)2
两边除以 dx：
dy/dx＝2x＋dx
到这里，莱布尼茨做了一个大胆的动作：把 dx 扔掉。理由是：dx 是无穷小，(dx)2 是「无穷小的平方」，比它小得多，小到可以不计。于是
dy/dx＝2x
这就得到了切线斜率。用数验一下：取 x＝3，dx＝0.01，真实增量 3.012−32＝0.0601，除以 0.01 得 6.01；公式给 6，误差 0.01——正是被扔掉的那一项。
这个「扔掉」的动作，后来被贝克莱主教嘲笑为「消失之量的鬼魂」；十九世纪的人用极限把它重新说清楚。可它算出来的答案，一次也没错过。
反过来看另一件事：曲线 y＝x2 下面、从 0 到 1 之间的那块面积有多大。
办法很朴素：把这块地竖着切成许多细条。每条宽 dx，高是那个位置的函数值 x2，于是每条的面积是 x2dx。把所有条加起来，就是总面积——这正是 ∫ 的意思。
真算的时候，切成有限的 n 条，取每条左端的高度：
Sn＝(1/n)·[(0/n)2＋(1/n)2＋…＋((n−1)/n)2]＝(12＋22＋…＋(n−1)2)/n3
用平方和公式 12＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)/6，取 k＝n−1，得
Sn＝(n−1)n(2n−1)/(6n3)
当 n 变大，这个值趋向 2/6＝1/3。实测：n＝10 得 0.285，n＝100 得 0.32835，n＝1000 得 0.332834；真值 0.333333。切得越细，和越靠得近——这就是「面积是一个极限的和」。
若取每条中点的高度，收敛快得多：n＝10 已是 0.3325。这一点后来变成一个实用技巧：算数值积分时，中点法比左端点法准一倍。
把上面两页并起来看，会发现它们是一件事的两个方向。
求面积，是把无数细条加起来：∫f(x)dx。求切线，是取一个差：dF/dx。如果 F 正好是「f 下面的面积」，那么面积的差就是细条：
d(∫f(x)dx)＝f(x)dx
反过来，差的和就是原函数（差一个常数）：
∫dF＝F＋C
于是「求面积」不必再一条条加，只要找一个函数，使它的差等于给定的 f。这个动作叫「反微分」。例：要找 x2 下的面积，试 x3/3：它的差是 (3x2dx)/3＝x2dx，正对。
所以 ∫01x2dx＝[x3/3]01＝1/3。一页纸，不用切条，不用求和公式。
这条互逆关系，今天叫微积分基本定理。牛顿与莱布尼茨都独立看到了它，看到的方式不同：牛顿从一个「运动的量」的瞬时速度与总路程看出来；莱布尼茨从「差」与「和」的符号对称看出来——d 与 ∫ 就像一对括号，一个开，一个合。
帕斯卡留下过一张图。在一段曲线上取一点，画它的切线，再从这一点向下、向右各引一道极短的线，与切线围成一个小三角形。他管它叫「特征三角形」。
这个小三角形之所以重要，是因为它同时装着三件事：横的一边是 dx，竖的一边是 dy，斜的一边是曲线上一小段的长度 ds。于是勾股定理立刻给出
ds2＝dx2＋dy2
两边除以 dx2：(ds/dx)2＝1＋(dy/dx)2，所以
ds＝√(1＋(y′)2)·dx
整条曲线的长，就是把这些小斜边加起来：
L＝∫ab√(1＋(y′)2)dx
这是莱布尼茨最得意的一个结果。在他之前，曲线的长度只能用「内接折线取极限」来逼近，实际算不出来几条；有了这个式子，弧长变成一个积分，只要能反微分就能算。他 1686 年在学报上用它算了好几条曲线，包括摆线与悬链线。
更妙的是这个三角形的「可放大」：把整张图放大十倍，小三角形还是相似的，dy/dx 不变。也就是说，切线斜率是一个「局部」的量，与放大倍数无关——这正是「导数」这个概念的核心。
一六八四年十月，莱比锡的《学者学报》上登了一篇文章，题很长：《求极大与极小以及切线的新方法，对分数与无理量同样适用，以及这一方法的奇特算法》。作者署名「G. G. L.」，全文只有六页。
这六页里没有一句解释「无穷小是什么」。它上来就给规则：
和的差等于差的和；常数没有差；d(xn)＝nxn−1dx；乘积的差是 xdy＋ydx；商的差、根式的差，各有公式。然后它演示：给定一条曲线，怎样一步写出切线；怎样令 dy＝0 求出极大极小；怎样求拐点。
这篇文章的写法，在当时是罕见的。笛卡尔与费马的文章都要先讲几何、再讲道理；莱布尼茨直接给算法，像给一份操作手册。他的理由很清楚：如果一套规则确实能算，先让人用起来，比先说服他更容易。
两年后，一六八六年，他在同一份学报上发表《深奥的几何》，把反方向的那一半补上：∫ 的用法、面积、弧长、旋转体体积。两篇文章合起来，就是一套完整的微积分——只是全部加起来不到三十页。
《学者学报》是莱比锡的刊物，他本人参与创办并长期供稿。这一点后来被对手抓住：有人说他「在自己的刊物上发自己的文章」。可当时欧洲的数学刊物就那么几家，英国的《哲学汇刊》不登外国人的长文，巴黎的《文集》审查慢，他要让方法尽快传开，只有在莱比锡。
第二幕讲「两个符号是怎么生出来的」，账清一清。
切线是差。让 x 走一小步，看 y 走多少；两步的比就是斜率。高阶的小量扔掉，答案就干净了。
面积是和。把面积切成细条，条宽 dx、条高 f(x)，加起来。切得越细，和越准。
两者互逆。差的积分回到原函数（差一个常数），积分的差回到被积函数。于是算面积不必再加，找一个反微分即可。
一个三角形管三件事。横边 dx、竖边 dy、斜边 ds：勾股定理给出弧长公式，也给出「斜率与放大无关」这一关键性质。
差：d(xn)＝nxn−1dx；d(xy)＝xdy＋ydx；d(x/y)＝(ydx−xdy)/y2。
和：∫xndx＝xn+1/(n＋1)（n≠−1）；∫dx/x＝lnx。
互逆：d∫fdx＝fdx；∫abfdx＝F(b)−F(a)。
那六页纸最初没多少人读。德国的数学家少，法国的还在用费马的老办法，英国的看不见——他们有自己的东西。
转机是两个人：巴塞尔的伯努利兄弟。哥哥雅各布在大学教实验哲学，弟弟约翰原本学医，读了莱布尼茨的文章，跑去跟哥哥学数学。兄弟俩把那些规则一条条试，试出了许多新结果，也试出了许多新问题。他们写信给莱布尼茨，问，莱布尼茨回信，一往一复二十年。今天微分方程里那几个有名的方程，一半出自这段通信。
一六九六年，巴黎出了本书：《无穷小分析》，作者洛必达侯爵。书里把约翰·伯努利的讲义整理成册，讲清了 d 与 ∫ 的用法，还收了那个有名的「洛必达法则」。这本书是欧洲第一部系统讲微积分的教科书，一出版就被抢读——因为它写得像教科书：定义、定理、例题、习题。
莱布尼茨的记号就这样传开了。传开的路径是这样的：一篇文章给几个内行看，几个内行通信，通信的内容变成讲义，讲义变成教科书，教科书变成一代人的习惯。等到人人都用 dy/dx 的时候，它已经不需要谁去推广了。
而牛顿那边，方法更强、记号更难。英国人守着点记号，守了一百多年——这件事在第四幕末尾算账。
先算一个乘积的变化。u＝xy，两个因子各自走一小步：
(x＋dx)(y＋dy)＝xy＋xdy＋ydx＋dxdy
减去 xy，得 du＝xdy＋ydx＋dxdy。最后那一项是两个「小」相乘，比其余两项小一个数量级，扔掉：
d(xy)＝xdy＋ydx
这条规则有一张图可以看。画一个长 x、宽 y 的矩形，把它加宽 dx、加长 dy。新多出来的部分是两条长条（一条 x·dy，一条 y·dx）加角上一小块（dx·dy）。角上那块最小，扔掉的正是它。
用数验：x＝3、y＝5、dx＝0.001、dy＝0.002。真实的乘积增量是 3.001×5.002−15＝0.011002；公式给 3×0.002＋5×0.001＝0.011；差 0.000002，正是被扔掉的那一小块。
这条规则的意义超出它本身。它说明「扔掉高阶小量」不是耍赖，而是一个可控的近似：扔掉的东西有多小，可以算出来，也可以估出来。整个微分学就建立在这个可控性上。
记号最厉害的地方，是它会把下一步替人想好。看这个式子：
dz/dx＝(dz/dy)·(dy/dx)
这是链式法则。它之所以能被「看出来」，是因为右边两个 dy 可以像分数一样约掉——形式上像 (3/5)·(5/7)＝3/7。当然，dy 不是数，这种「约分」严格说需要证明；可它指对了方向，让人一步就写出正确的式子，然后再去补证明。
例：z＝√(a2＋x2)。令 y＝a2＋x2，则 z＝y1/2，于是
dz/dx＝(1/2)y−1/2·2x＝x/√(a2＋x2)
验一下：a＝3、x＝4，导数应为 4/5＝0.8。取 dx＝0.001，真实增量 √(9＋4.0012)−5＝0.000800，除以 0.001 得 0.800，对上了。
同样的「形式运算」还能推出隐函数求导。圆形 x2＋y2＝25，两边取差：2xdx＋2ydy＝0，于是 dy/dx＝−x/y。在点 (3,4) 处斜率是 −3/4——不用解出 y，不用分正负号，一步到位。
这就是「记号自己会往前走」的意思：它不代替思考，但它把每一步的写法摆好，让人少走弯路。
d 一旦能算，就会自己繁殖。
再取一次差，得二阶。d(dy)＝d2y，除以 dx2 得 d2y/dx2。它的意义是「斜率的变化率」：位置的一阶差是速度，二阶差是加速度。莱布尼茨用它判断曲线的凹凸：d2y＞0 向上凹，＜0 向下凹，等于 0 处是拐点。
变量多于一个，得偏。曲面 z＝f(x,y)，可以让 x 动而 y 不动，也可以反过来。两个「偏」的差各写一个，合起来是全微分：
dz＝(∂z/∂x)dx＋(∂z/∂y)dy
例：z＝x2y，则 ∂z/∂x＝2xy、∂z/∂y＝x2，在 (2,3) 处 dz＝12dx＋4dy。验一下：走 (2.001, 3.002)，z 从 12 变成 12.020012，增量 0.020012；公式给 12×0.001＋4×0.002＝0.020，差 1.2×10−5，是二阶小量。
符号的来历。莱布尼茨自己写 d，不分偏全；今天用的那个圆头的 ∂ 是后人（一般归于 1776 年勒让德）为区分「偏」而造，取的是法文 d 的草体。记号又多了一层：看见圆头，就知道「别的变量按住不动」。
一六七三年一月，伦敦，皇家学会的例会上，一位二十七岁的德国人抬进一台木匣子。
匣子面上有一排小窗口，每个窗口里能看见一个数字；侧面有一支摇柄。他摇动摇柄，窗口里的数字开始进位，一路进到最左边，没有卡住。他做了一次乘法，又做了一次除法，结果都对。屋里的人围过来看。
当时会算的机器只有一种：帕斯卡三十年前造的那台，能加能减，不能乘除。乘除要靠连加连减，一百次乘法要摇一百次，实际没法用。莱布尼茨的机器换了一个思路：他造了一种带阶梯的圆柱（后人叫「步进鼓」），圆柱转过的角度决定「这一位要加几次」，于是乘一个多位数只要摇几下；除法用反向的减法，也只要几下。
这台机器的核心部件，是十七世纪机械技术的顶点之一；它比帕斯卡机晚三十年，却真正解决了乘除。莱布尼茨为它花了二十年，造了两台，一台留在汉诺威，一台送皇家学会。今天的计算机里，乘法器仍然在做同一件事：把「加几次」变成一个可以一次完成的动作。
他造机器与造记号，是同一件事的两面。他相信思维可以机械化，于是手工造一台会算的机器；他相信符号可以机械化，于是在纸上造一套会自己往前走的记号。前者花了铜与齿轮，后者只花了墨水——后者赢了。
为什么是这两个形状，而不是别的？
先说 ∫。它是一条拉长的 S，取自 summa（和）。这个形状有两个好处：够高，所以能在右边写被加的东西，在上下角写范围；够窄，所以一行里能并排写好几个。如果当初他选的是一个「Σ」——同样是求和——今天的式子会写成 Σf(x)Δx，也能用，但上下标会和被加项打架。选了拉长的 S，范围写在角上，被加项写在右边，互不干扰。
再说 d。它是 differentia（差）的首字母，写得小而斜，贴在被差的那个量前面：dx、dy、d(xy)。这个位置很讲究：它像一个前缀，读作「这一点点的」；于是 dy/dx 念出来就是「y 的一点点除以 x 的一点点」，意思与写法完全对上。
后人又在这两个形状上加了几层：二重积分写两个 ∫∫，沿闭曲线的积分加一个圈 ∮，偏导把 d 改成圆头 ∂，变分把 d 改成 δ。加得很自然，因为原形状留了位置。
这就是好记号与坏记号的区别：坏记号用到第三步就得改，好记号可以一直往上加层，加三百年还不别扭。
第三幕讲「一套记号怎样自己长起来」，账清一清。
基本规则只有几条。和、幂、乘积、商、根。有这几条，一切由它们拼出来的式子都能算。
高阶与偏导是自然延伸。再取一次差得二阶，多一个变量得偏导，合起来是全微分。同一套 d 管到底。
链式法则靠形状提示。两个 dy 像分数一样约掉，方向就对了；严格证明留给后人。
机器与记号是一件事。一台会乘除的机器证明了「运算可以机械化」；一套会自己走的记号证明了「思考也可以借机械之力」。
乘积：d(uv)＝udv＋vdu；商：d(u/v)＝(vdu−udv)/v2。
链式：dz/dx＝(dz/dy)(dy/dx)；隐式：F(x,y)＝0 ⇒ dy/dx＝−Fx/Fy。
高阶与全：d2y/dx2；dz＝zxdx＋zydy。
一六八七年夏天，《自然哲学的数学原理》在伦敦出版。书很贵，印数不多，读完的人更少——全书用几何写成，命题、证明、推论，一环扣一环，没有一句「因为所以」之外的说明。
书到汉诺威时，莱布尼茨正在旅行。他拿到书，读得很仔细，还写了一篇书评登在《学者学报》上。书评里他称这部书「把数学用到了自然上」，也指出其中若干论证「过于简省」。
他给惠更斯写信，说这部书「值得一读再读」，说作者「在几何上有非凡的力量」。他没有说的一句话是：这本书里的东西，有一大半他自己也做到了，只是没有写成书。
两个人的方法确实不同。牛顿的路是从物理到数学：先有运动、有引力、有「月亮为什么不掉下来」这个问题，然后用几何把它证出来。莱布尼茨的路是从符号到符号：先有一套能运算的记号，然后用它把一类问题一次算完。
用他自己的比喻：牛顿给了他一支望远镜，他给了后人一套镜片的磨法。望远镜能看得很远，磨法能让每个人都造一支。
这句话后来被证明是对的。十八世纪的数学，几乎全部是用他那套记号写出来的：欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯，没有一个人用点记号。
拿一个看似简单、其实很深的面积：曲线 y＝1/x，从 x＝1 到 x＝2 之间那一块。
切成 n 条，取每条右端的高度，加起来：n＝10 得 0.718771，n＝100 得 0.695653，n＝1000 得 0.693397。若取梯形，n＝10 就是 0.693771，n＝100 是 0.693153。这个数收敛到
∫12dx/x＝ln 2＝0.693147…
为什么是「对数」？因为这条曲线有个特别的性质：从 1 到 2 的面积，等于从 2 到 4 的面积，也等于从 4 到 8 的面积。把横轴按倍数拉伸，面积不变——这正是对数「把乘法变成加法」的几何版本。十七世纪的人先算出这些面积，才发现它们与对数表上的数一一对应；一六六八年墨卡托把 1/(1＋x) 展开成级数，对数才有了独立的算法。
莱布尼茨在这里用的技巧是「部分分式」与「换元」：∫dx/x 不能靠幂法则（因为 n＝−1 时公式分母为零），只能另找一条路。他给出的答案是 lnx，并注明这是「幂法则唯一的例外」。
这条小小的例外后来长成了一个大科目：∫dx/x 出现在复利、放射性衰变、声强级、信息量、算法复杂度里。它是「自然」对数之所以「自然」的原因。
再算一件古人也想算、却几乎算不动的事：曲线有多长。
古人的办法是「以直代曲」：在曲线上取许多点，用短直线连起来，量折线的长；点取得越密，折线越贴近曲线。这个方法能逼近，却给不出式子——每换一条曲线，就得重做一遍。
莱布尼茨用那个小三角形把它一次解决。曲线 y＝x2，从 0 到 1：y′＝2x，于是
L＝∫01√(1＋4x2)dx
这个积分有闭式：换元 2x＝sinh t，得
L＝(√5)/2＋(1/4)ln(2＋√5)＝1.478943…
数一下：折线逼近 n＝10 段得 1.478197，100 段得 1.478935，1000 段得 1.478943，与闭式一致。而「折线」这条路要走一千步，「积分」这条路只走三步：写式子、换元、代值。
更值得注意的是这个式子的形状：√(1＋(y′)2) 里藏着一个勾股定理。它说的是一件很朴素的事：曲线的一小段，可以看成一个直角三角形的斜边。整个微分几何，从这个三角形开始。
莱布尼茨 1686 年用它算了好几条曲线：摆线、悬链线、对数螺线。其中悬链线（一根链子两端悬挂自然下垂的形状）最难，他、惠更斯与约翰·伯努利三人各给一解，答案里都出现了同一个函数——双曲余弦。
极值问题，是这门新算法最早的应用，也是它最像「魔法」的地方。
山顶有一个性质：那里的切线是水平的。写成式子就是 dy＝0。于是「找最大最小」这件要靠几何直觉的事，变成一个解方程的动作：令导数为零，解出 x。
例一：y＝x2(1−x)＝x2−x3。
dy＝(2x−3x2)dx＝0 ⇒ x＝0 或 x＝2/3
x＝0 处是最小（值为 0），x＝2/3 处是最大，值 (4/9)(1/3)＝4/27≈0.148148。若用算术验：x＝0.66 得 0.148104，x＝0.67 得 0.148163，都小于 4/27。
例二：用一根长 L 的绳子围一个矩形，怎样围面积最大？设一边为 x，另一边为 L/2−x，面积 S＝x(L/2−x)。dS＝(L/2−2x)dx＝0 ⇒ x＝L/4，即四边相等，是正方形。答案古人也知道（等周问题），可从没有人能这么干脆地写出来。
例三：更硬的一道——最速降线。两点之间，什么形状的滑道能让小球下滑得最快？直觉说直线，可答案是摆线。这道题 1696 年由约翰·伯努利公开提出，半年无人应；莱布尼茨回信说「这题值得一算」，一天之内给出答案。解法里第一次出现了「对整个函数求极值」的想法——这是变分法的种子，第三十五页再讲。
争吵从一六九九年起。瑞士人法蒂奥在皇家学会的一次会上说：莱布尼茨的第二套微积分，是从牛顿那里抄的。话说得直，没有证据。
莱布尼茨当时没有大反应。真正的火是一七〇五年点起来的：他在《学者学报》上评论牛顿的《光学》，顺手写了一句，说牛顿的流数「与我的微分法无异」。英国人群起而攻。一七〇八年，凯尔在《哲学汇刊》上正式指控他抄袭。
一七一一年，莱布尼茨向皇家学会提出申诉，要求学会制止这种指控。这一着走错了。学会当时的会长是牛顿。学会成立了一个委员会，委员会的报告《书信汇编》于一七一二年出版，把两人从一六七〇年代起的通信按时间排出，结论是：牛顿在先，莱布尼茨在后。报告没有直接说「抄」，可全欧洲都这么读。
莱布尼茨要求答辩，学会不予。他只能自己印一份小册子散发，一七一三年，匿名的《飞叶》（Charta volans），措辞激烈，反而坐实了他「不服」的形象。三年后他去世，争到最后一封信，也没争出结果。
从这一边看，事情的形状是这样的：他确实晚于牛顿想到，也确实早于牛顿发表；他确实读过牛顿的信（一六七六年那两封，里面有字谜），也确实说过「我用另一种写法得到了同样的结果」。这三件事同时为真，于是两百年里谁也说服不了谁。数学史上最消耗人的一场争论，起因不是谁抄了谁，而是「发明」这件事有两个不同的时间：想到的时间，与发表的时间。
争吵的胜负，最后不是由委员会判的，是由学生的作业本判的。
十八世纪，英国大学里教的是点记号。学生要算一个三阶导数，得在字母上方点三个点；要写一个偏导，得另造一套；要算重积分，几乎没有写法。教师们也习惯了，就这么教了一百年。
欧洲大陆用的是 d 与 ∫。同样的题，写起来短一半，变形起来顺得多；一个式子从一页搬到另一页，符号不必重造。学生学得快，算得远，问题也就问得更深。
差距在十九世纪初显出来了。剑桥的几个学生——巴贝奇、赫歇尔、皮科克——发现英国的数学期刊里，几乎没有人能读懂大陆的论文；他们翻出大陆的教科书，发现原因在记号上。一八一二年，他们成立了一个小组，起名「分析学会」，宗旨写得很直白：推广莱布尼茨的记号。他们把自己做的事叫作「把英国从点号的束缚里解放出来」。
一八一七年，剑桥的考试正式改用 d 记号。此后英国的数学慢慢追上来——追了差不多五十年。
这场一百多年的弯路，用的不是一个人的聪明，而是一个符号的形状。英国人并不笨，牛顿更不笨；他们只是把一套不便运算的写法，当成了传统的一部分。
第四幕讲「拿这套记号去算」，账清一清。
面积。∫12dx/x 收敛到 ln2：切一千条得 0.693397，真值 0.693147。这个积分是「自然对数」的来源。
弧长。小三角形给出 √(1＋y′2)，一条抛物线的弧长从「量一千段折线」变成「算一个积分」，值 1.478943。
极值。令 dy＝0，山顶与谷底变成方程的解。最速降线把「对一个函数求极值」的问题摆上了台面。
争吵与弯路。一场争论耗掉两人晚年；一套记号让英国数学落后一百年。工具的形状，最后变成学科的速度。
对数积分：∫1xdt/t＝lnx；∫dx/x＝ln|x|＋C。
弧长：L＝∫√(1＋(y′)2)dx；极坐标 L＝∫√(r2＋(r′)2)dθ。
极值：f′(x)＝0，再以 f″ 定极大极小。
一七一四年，汉诺威的选帝侯到英国去做国王，成为乔治一世。宫廷上下都跟去了伦敦，莱布尼茨留下——他六十多岁，痛风，走不动；公爵临走时交代他一件事：把那部家族史写完。
那部书写了三十年，越写越长，因为他每查到一份文书就要追问它的来历，每追一次就写出一篇考据。到最后，书没写完，考据倒是写了一屋子。
伦敦那边没有人叫他去。有人说是因为他与王后的旧怨，有人说是因为那场争吵让英国人不喜欢他。他自己写信去问过，没有回音。
一七一六年夏天，他的腿肿得厉害。十一月十四日，他一个人在寓所里去世。来送葬的只有他的秘书和几个仆人；他的雇主、他的同行、他为之服务了四十年的宫廷，都没有来人。
他被埋在汉诺威新教堂的墓里，没有碑。五十年后，有人在那里立了一块铭牌，上面写「莱布尼茨之墓」。又过了一百年，汉诺威人才给他立了一尊像。
他留下的东西是：二十万页手稿、一万五千多封信、两台计算机、一套今天全世界都在用的记号，以及一个没有做完的梦。
d/dx 这个写法，后来被看出是一件更抽象的东西：它是一个算子——一台机器，吃进一个函数，吐出一个函数。
既然它是机器，就可以像机器一样组合：D＝d/dx，则 D2 是求两次导，(D＋1) 是「求导再加原函数」。微分方程于是可以写成 (D2＋3D＋2)y＝0 这样的式子，像多项式一样因式分解，解就出来了——这是十八世纪欧拉、十九世纪柯西与希尔伯特一路做下来的「算子法」。
还有一条更远的路。前面讲的最速降线，问的不是「哪个 x 使 f 最大」，而是「哪条曲线使一个积分最小」。这是把「变量」从数换成了函数。莱布尼茨 1696 年那几封信里已经用了「δ」的样子来想这件事；一百年后欧拉与拉格朗日把它写成一套算法：
δJ＝0 ⇒ d/dx(∂L/∂y′)＝∂L/∂y
这条式子叫欧拉—拉格朗日方程。经典力学、光学、场论，今天都写在它上面。而它的形状——一个 d、一个偏导、一个撇——全是莱布尼茨的记号。
二进制在他生前是个漂亮而无用的东西。他喜欢它，可也承认它算起来不快——算得快的是十进制，因为人脑熟悉十。
两百年后，情况反了过来。
一八五四年，英国数学家布尔写了一本《思维规律的研究》。他把「真」与「假」记作 1 与 0，把「与」「或」「非」记作乘法、加法、减法，于是逻辑推理变成了代数运算。这本书在当时被当成哲学奇书，没什么实用。
一九三七年，麻省理工学院的一个研究生香农写了一篇硕士论文，题目是《继电器与开关电路的符号分析》。他发现：一个开关只有「通」与「断」两种状态，正好对应 1 与 0；两个开关串联是「与」，并联是「或」。于是布尔代数可以直接用来设计电路——逻辑可以做成硬件。
这篇论文被称为二十世纪最重要的硕士论文。今天的每一台计算机，里面都是几十亿个开关；每一个开关都在执行布尔当年写下的那几条规则；每一条规则，都写在莱布尼茨喜欢的那种「只有 0 与 1」的算术里。
他没有造出会思维的机器，但他选了那个「只有两个数字」的世界，而机器最后住进了那个世界。
「普遍文字」没有做成。做不成的原因，后来被说得很清楚。
第一步由弗雷格迈出。一八七九年，他出版《概念文字》，第一次把「所有」「存在」「如果……那么」写成符号，让整段推理可以像算式一样排列。罗素与怀特海接着做，一九一〇到一九一三年出了三大卷《数学原理》，想把全部数学从逻辑里推出来。
然后哥德尔来了。一九三一年，他证明：任何足够强、能表达算术的形式系统，都存在系统内无法判定真假的命题；而且这样的系统无法在自身内部证明自己的一致性。这两条定理没有推翻形式化，倒是给它划了边界——符号能做的事有极限，而这个极限可以被精确地写出来。
莱布尼茨的梦于是分成了两半。强的那一半（一切真理皆可判定）死了；弱的那一半（把推理写成符号，让符号按规则跑）活得极好：形式语言、类型论、程序语言、编译器、自动证明、计算机代数，全是这一半的后代。
今天若有人用一台机器在几秒钟内算出一个积分、化简一个式子、验证一段证明，那件事的源头可以追到两个地方：一处是汉诺威的一间书房，一个人相信「符号可以替我们思考」；另一处是莱比锡的一份学报，六页纸上写着几条谁都可以照着做的规则。
他这一生做成了三样东西，恰好可以摆在桌上。
第一样是一支笔的写法。d 与 ∫，两个符号，几条规则。它没有重量，却比任何一台机器都耐用：三百五十年，没改过形状。
第二样是一台机器。一台会乘除的计算器，带阶梯鼓与进位机构。它今天还在汉诺威的展柜里，摇柄转不动了，齿轮锈了，可它的思路——把运算拆成「加几次」——还在每一块芯片里。
第三样是一个没有做完的梦。一种谁都不会误解的文字，一套能替人推理的算法。他画了四十年的草图，没有一张画完；可正是这些草图，让后来的人知道该往哪里走。
三样东西里，第一样最实用，第二样最精巧，第三样最像他。他一辈子最在意的，其实是第三样：他相信人类的大多数分歧不是利益之争，而是说法之争；如果说法能被写成无歧义的符号，很多争论会自己消失。
这个信念有点天真。可天真的信念有时比精明的计算走得更远——因为相信它的人，会去做那些「看起来做不成」的事。
把三样东西排成一行，能看出它们的关系。
记号是写给手用的：它让一个人算得快、错得少，让一个学科跑得远。它的成功可以度量——今天全世界每天写下的 ∫，比任何数学符号都多。
机器是写给手也写给眼的：它把「运算」从纸上搬到齿轮上，证明了运算可以被物化。它的后代是计算机，而计算机的后代是今天的一切。
梦是写给未来的：它没有成品，只有方向。可方向本身有价值——它让后来的人知道，往那边走是有意义的。
三样东西有一个共同点：它们都不是「定理」。莱布尼茨一生没有留下一条以他命名的伟大定理（有「莱布尼茨法则」「莱布尼茨公式」，都是技巧）；他留下的是写法、器械与方向。
这让人想起他自己的分类：他把真理分成「推理的真理」与「事实的真理」。前者靠矛盾律，只要符号写对，一算就知道；后者靠充足理由，得一件一件查。他一辈子想做的，是把尽可能多的东西挪到第一类里去。
他挪过去了一部分：微积分、逻辑、二进制。剩下的，还在第二类里等着。
第五幕讲「他留下了什么」，账清一清。
晚景冷清。宫廷去了伦敦，他留在汉诺威写家谱；一七一六年十一月十四日独自去世，送葬的只有秘书与仆人。
算子与变分。d/dx 后来被看成一台机器，可以组合、可以因式分解；把「变量」换成「函数」，就有了变分法与欧拉—拉格朗日方程。
二进制的回声。布尔把逻辑变成代数，香农把代数变成电路。他喜欢的那两个数字，最后住进了每一台计算机。
梦的一半死了，一半活了。「一切真理可判定」被哥德尔划了界线；「把推理写成符号」则成了整个计算机科学的地基。
莱布尼茨公式：(uv)(n)＝Σk＝0nC(n,k)u(k)v(n−k)。
交错级数：a1−a2＋a3−…（ak 递减趋零）收敛，且余项不超过下一项。
π 的级数：π/4＝1−1/3＋1/5−1/7＋…
把这一册的事按年份排开，只有十几个点。
一六四六，生于莱比锡，父亲是大学道德哲学教授。一六五二，父亲去世，六岁，此后在书房里自学。一六六一，十五岁，入莱比锡大学学法律。一六六六，二十岁，阿尔特多夫法学博士；同年《论组合术》。一六七二，赴巴黎，外交失败，留下来学数学。一六七三，伦敦，展示计算机，当选皇家学会外籍会员。
一六七五，十月二十九日，手稿上第一次画出那个拉长的 S；十一月十一日，第一次写 ∫f(x)dx。一六七六，汉诺威，任宫廷顾问兼图书馆长，此后四十年。一六八四，十月，《新方法》六页。一六八六，《深奥的几何》。一七〇〇，创办柏林科学院，任首任院长。一七〇三，二进制论文，附六十四卦对照表。一七一〇，《神正论》。一七一四，《单子论》；乔治一世赴英，他被留下。一七一六，十一月十四日，卒于汉诺威。
十六个点里，真正改变世界的有三个：一六七五年的两个符号、一六八四年的六页纸、一七〇三年的那张对照表。其余的点，是一个人在做外交、编书目、查家谱、打官司。
这条线还有一层意思：他最耐用的东西，出在他最不务正业的时刻。巴黎那四年半，他的正式任务是劝说一位国王去打另一个国家；任务失败，他却在候见室里造出了此后三百年全世界都在用的记号。
莱布尼茨死后，他的遗物里有一屋子纸。仆人打算烧掉，被他的秘书拦下；后来这批纸被送到汉诺威的图书馆，捆成几百包，编号上架。
纸的数量，今天算下来约二十万页。内容包括：数学草稿、哲学断片、法律意见、外交备忘录、神学辩论、语言笔记、家谱考据、写给六百多人的信、以及大量只写了一半的纸——一句话开头，划掉，重写，再划掉。
整理这批纸，成了一项比写作更长的工程。一八七五年，人们开始编全集，编了几十年，出了几卷，停了；一九二三年，普鲁士科学院重新开始，定下八个专辑：政治与书信、哲学、数学、自然科学、语言与历史、法学、神学，加上书信补编。到今天，一百多年过去，出到一半。
有人估算，按现在的速度，编完要到本世纪中叶。也就是说：一个人写了四十年的东西，后人要花两百年才读完。
这件事有一层反讽。他一辈子最想做的，是「把思想压缩成简短而精确的符号」，好让人一读就懂；而他留下的，是二十万页难以辨认的、用拉丁文、法文、德文三种语言混写的、删改重叠的手稿。他没能简化自己，却简化了后人的数学。
这一册讲完了一个人的办法，还剩三个问题，谁也没有最终答案。
第一个：无穷小究竟是什么？莱布尼茨说它是「可以运算的极小量」，贝克莱说它是「消失之量的鬼魂」，柯西说「不要问它是什么，只说它要多近有多近」。二十世纪又出现一种回答：真的存在「比任何正实数都小、但不等于零」的数——超实数。于是三百年前的写法，忽然在一种新的算术里变得字字有着落。可这仍然是一种「回答」，不是「唯一的回答」。
第二个：谁先想到的？这个问题吵了两百年，档案翻遍了，答案大概是：两个人在不同的地方、用不同的语言，想到了同一件事；一个先想到，一个先发表。「发明」有两个时间，而我们只有一个「第一」。这个矛盾不是史料能解决的，是「第一」这个说法本身太窄。
第三个：普遍语言还会回来吗？他想要一种写下来谁都不会误解的文字。今天的数学论文、程序代码、法律条文、乃至机器可验证的证明，都在往那个方向走；可自然语言里的歧义并没有减少，反而在更多的地方被生产出来。也许这个梦的正确形态不是「一种语言」，而是「许多种各自精确、彼此可译的语言」。
三个问题，都还没有关上。这正是它们值得留在这一册末尾的原因。
材料：纸、笔、计算器（能算平方与除法即可）。
第一步，定目标。要算 ∫01x2dx，也就是曲线 y＝x2 下面从 0 到 1 的那块面积。
第二步，切四条。把 0 到 1 分成四段，每段宽 0.25。取每段左端的高度：0、0.0625、0.25、0.5625。乘宽度加起来：0.25×(0＋0.0625＋0.25＋0.5625)＝0.21875。
第三步，切十条、一百条。十条（宽 0.1，左端）：0.285。一百条（宽 0.01，左端）：0.32835。这个数在往 1/3 爬，可是爬得慢。
第四步，换中点。每段取中点的高度。四条：0.328125；十条：0.3325；一百条：0.333325。同样是十条，中点法只差 0.0008，左端点法差 0.048——取点的方式比条数更要紧。
第五步，对答案。用反微分：∫x2dx＝x3/3，从 0 到 1 得 1/3＝0.333333。一百条中点法已经对到小数点后第四位。
想一想：为什么中点法更准？因为每一条竖条与曲线之间，一半多出来、一半缺进去，正好抵消。这个「抵消」的想法，后来发展成一整套数值积分的方法。
材料：纸、笔、计算器。
第一步，认式子。要算 y＝x3 在 x＝2 处的差商，先算 23＝8。
第二步，填表。取一小步 dx，算 (2＋dx)3，减去 8，再除以 dx：dx＝0.1 得 12.61；0.01 得 12.0601；0.001 得 12.006001。
第三步，看趋势。一列数往 12 走。12 就是 3×22，也就是 d(x3)/dx＝3x2。
第四步，用式子算一遍。展开：(2＋dx)3＝8＋3·4·dx＋3·2·(dx)2＋(dx)3。三项分别是 0.012、0.000006、0.000000001。除以 dx 得 12＋0.006＋0.000001。扔掉后两项，得 12。
第五步，换两个变量。取 x＝3、y＝5、dx＝0.001、dy＝0.002：3.001×5.002−15＝0.011002；而 xdy＋ydx＝0.011。差的那 0.000002，正是被扔掉的小方块 dx·dy。
想一想：如果 dx 不是 0.001 而是 1，公式还准吗？(2＋1)3−8＝19，除以 1 得 19，与 12 差得很远。所以「扔掉小量」这句话，必须配上「小量确实小」这个前提——这就是后来「极限」要严格化的原因。
- 微分 · 差
- 一个量的无穷小增量，写作 dx。取自拉丁文 differentia（差）。
- 积分 · 和
- 把无数细条加起来，写作 ∫fdx。取自拉丁文 summa（和）的首字母 S，拉长成竖弧。
- 流数
- 牛顿的术语：一个量随时间变化的快慢，写作 ẋ（字母上一点）。
- 无穷小
- 比任何正实数都小、却不等于零的量。19 世纪前靠直觉使用，20 世纪由非标准分析给出严格基础。
- 高阶无穷小
- (dx)2 这类「小量的平方」，比 dx 小一个数量级，运算中可舍弃。
- 微分三角形
- 曲线上一点处的直角三角形，两直角边为 dx、dy，斜边为弧长微元 ds。
- 乘积法则
- d(uv)＝udv＋vdu。几何上是「矩形加两条边」。
- 链式法则
- dz/dx＝(dz/dy)(dy/dx)。复合函数求导的基本规则。
- 偏导数
- 多元函数对一个变量求导、其余按住不动，写作 ∂z/∂x。圆头 ∂ 为后人所加。
- 算子
- 把函数变成函数的「机器」，如 D＝d/dx。可组合、可因式分解。
- 变分
- 对整个函数作微小改动，写作 δ。变分法用它求「使积分最小」的曲线。
- 二进制
- 只用 0 与 1 的记数法。每左移一位，值翻倍。
- 普遍文字
- 莱布尼茨的构想：一种写下来无歧义、可运算的符号系统，未能实现。
- 惠更斯
- Christiaan Huygens（1629—1695），荷兰物理学家、数学家。1672 年在巴黎指导莱布尼茨学数学。
- 帕斯卡
- Blaise Pascal（1623—1662），法国数学家。留下「特征三角形」与摆线研究，莱布尼茨 1673 年在巴黎读到其遗稿。
- 巴罗
- Isaac Barrow（1630—1677），英国数学家，牛顿之师。《几何讲义》（1670）已含切线与面积互逆的命题。
- 牛顿
- Isaac Newton（1643—1727）。流数法在先，1687 年《原理》、1704 年《光学》；与莱布尼茨的优先权之争延续至其卒后。
- 伯努利兄弟
- 雅各布（1655—1705）与约翰（1667—1748），巴塞尔大学。以莱布尼茨的记号发展出变分法、微分方程与概率论的雏形。
- 洛必达
- Guillaume de l'Hôpital（1661—1704）。《无穷小分析》（1696）为第一部微积分教科书，内容多取自约翰·伯努利。
- 白晋
- Joachim Bouvet（1656—1730），法国耶稣会士，1687 年赴华。1701 年寄给莱布尼茨邵雍「先天六十四卦图」。
- 邵雍
- （1011—1077），北宋理学家。其「先天图」把六十四卦按阴阳爻次序排列，与二进制数 0—63 结构同构。
- 布尔
- George Boole（1815—1864）。《思维规律的研究》（1854）把逻辑变成代数。
- 香农
- Claude Shannon（1916—2001）。1937 年硕士论文证明布尔代数与开关电路同构，为数字电路奠基。
- 弗雷格
- Gottlob Frege（1848—1925）。《概念文字》（1879）第一次把量词与推理写成符号。
- 哥德尔
- Kurt Gödel（1906—1978）。1931 年不完全性定理，为形式化划出边界。
- 《学者学报》
- Acta Eruditorum，莱比锡，1682 年创刊。1684、1686 年在此发表微分与积分的两篇奠基论文。
- 《新方法》
- 《求极大与极小以及切线的新方法……》，1684 年 10 月，六页。微分学的公开起点。
二进制变成计算机，中间隔了三步，每一步都不长，合起来两百年。
第一步：把逻辑写成代数（1854）。布尔发现，「与」「或」「非」这三种关系，可以用乘、加、减来算；真与假，可以用 1 与 0 表示。于是「推理」变成了「运算」——这正是莱布尼茨想要的，只是布尔做的是逻辑，不是全部知识。
第二步：把代数做成电路（1937）。香农注意到，继电器只有「通」与「断」，正好是 1 与 0；两个继电器串联是「与」，并联是「或」。于是他可以用布尔代数来化简电路，用最少的开关实现一个逻辑功能。数字电路从此有了设计方法。
第三步：把电路做成通用机器（1936—1945）。图灵 1936 年提出一种抽象机器：一条无限长的纸带，一个读写头，一套规则。它证明：只要有「读写」与「按规则跳转」，一台机器就能算出任何可计算的东西。1945 年冯·诺依曼在《EDVAC 报告草案》里把「程序」也存进存储器，于是同一台机器可以算任何问题，只要换一段程序。
一九四六年，ENIAC 在宾夕法尼亚大学开机，一万八千个电子管，每秒五千次加法。今天一块手机芯片里有上百亿个晶体管，开关速度是它的千万倍，可它们数的还是 0 与 1，用的还是布尔那几条规则。
莱布尼茨当年喜欢二进制，是因为它「干净」；他从没想过它会「有用」。两百年后，干净变成了有用——这是数学里常见的运气：先追求形式的简洁，实用在后面追上来。
公案一：优先权。一六八四年发表，一七一二年《书信汇编》，两百年争吵。今天学界的说法是「独立发明，牛顿在先，莱布尼茨先刊」。要点不在谁对，而在「想到」与「发表」是两件事，而历史只记一个「第一」。读这件事，最好把两边的时间线都排一遍：一六六五年（牛顿想到）→ 一六七五年（莱布尼茨的符号）→ 一六八四年（莱布尼茨发表）→ 一七三六年（牛顿的流数法刊行）。四个年份一摆，事情就清楚了。
公案二：卦象。莱布尼茨在六十四卦里看到二进制，兴奋地说「这或许是古人早已知道的」。今天的研究认为：邵雍的卦序是哲学图式，与二进制数没有传承关系，二者的重合是结构性的——两套东西恰好用了同一个骨架（六个位置、每个位置两种状态）。这类「巧合」在数学史上不少，值得留意的是：结构相同的两件事，可以毫无关系；而看出它们相同，本身就是一种创造。
公案三：「最好的可能世界」。莱布尼茨在《神正论》里论证：既然上帝全善全能，创造的世界必是所有可能世界中最好的。三十年后，伏尔泰在《老实人》里让邦葛罗斯博士一路宣讲这句话，一边遭遇地震、战争与酷刑，把这个论证嘲成了一则笑话。这一桩与数学无关，却提醒一件事：一个在纸上无懈可击的推理，落到人间可能荒唐。
延伸阅读。想读原著，从《单子论》（1714）与《人类理解新论》（1704 成稿）入手，篇幅短；想读数学，看《莱布尼茨数学著作集》（Gerhardt 编，七卷）里的《新方法》与《深奥的几何》两篇，各有英译；想读传记，Antognazza 的《莱布尼茨：思想传记》（2009）最全，Aiton 的《莱布尼茨传》（1985）最轻；想读那场争吵，Hall 的《交战中的哲学家》（1980）把两边的档案都摆出来了。
这一册讲一个人怎样给「变化」造一套写法：不先证明，先让符号把下一步摆出来；不等别人信服，先把规则写成谁都能照着做的手册。
路线五步：书房与外交（第一幕）、切线是差与面积是和（第二幕）、规则与机器（第三幕）、拿它算四道题（第四幕）、记号之争与二进制的回声（第五幕）。两个动手做（p.44–p.45）建议先做后读：切一次竖条，就知道「积分是一个和」；填一次差商表，就知道「导数是差的比值」。
暗线是「好记号自己会思考」。这一册给了五层：符号压缩想法（第一幕）、写成分数就能约分（第二幕）、规则能从形状里读出来（第三幕）、算题快十倍（第四幕）、学科因此快了一百年（第五幕）。孩子最容易记住的是两个符号的形状：拉长的 S 是「和」，小写的 d 是「差」——就从这两个形状讲起。
需要提醒的一点：本册的数学与另一册讲微积分的书不同，它不强调「怎样求导」，而强调「为什么这样写」。三层读法照旧——故事层可以独立成篇；数学层如果孩子还没学过函数，可以只读 p.14、p.15、p.21 三页的图与算式，其余略过；注疏层给大人核对年代与原文。
「他到底是不是抄了牛顿？」——不是。学界共识是独立发明：牛顿 1665—1666 年已用流数法，莱布尼茨 1675 年前后自成体系，1684 年先发表。他确实在 1676 年读过牛顿那两封带字谜的信，也确实在自己的文章里说过「我用另一种写法得到同样结果」；但两套记号、两套无穷小解释、两条推导路线都不一样。可疑的是「发表时机」，不是「思想来源」。
「为什么英国落后一百年，不是牛顿更厉害吗？」——两件事不矛盾。牛顿的方法强，记号弱；英国人选了记号，也选了传统。要教给孩子的一课是：工具的形状会决定后来的人走得动走不动，与谁更聪明无关。
「孩子问：d 到底是什么，一个数吗？」——最诚实的回答是：在他那个时代，它不是一个数，是一种「可以照着算的小量」；在今天的严格定义里，导数是极限，dy/dx 是一个整体的记号，不再真的相除。可这套记号仍然好用，因为它「看起来像除法」，而看起来像除法，就能提醒人怎样做下一步。这个回答可以一直用到大学。
虚实成分说明。本册的场景与对话有虚构成分（书房里读书的细节、外交谈判的场面、汉诺威冬夜的独处），凡年代、数据、引语、书名均在注中给出处。特别提醒：本册不掩饰「扔掉高阶小量」在逻辑上的不严密（p.14、p.45 已把边界说清），也不掩饰「普遍文字」的失败（p.37）；这两处正是十七世纪数学的真实处境。
《数学家的故事》第二辑 · 第 14 册
莱布尼茨 · 记号大师
明线：dx 与 ∫ 的记号设计 · 差与和的互逆 · 乘积与链式法则 · 二进制与六十四卦 · 普遍语言之梦
暗线：好记号自己会思考 · 形状提示下一步 · 工具决定学科的速度
时代：1646—1716 · 德意志（莱比锡—巴黎—汉诺威；下延至 1684 年《新方法》、1703 年二进制论文、1712 年《书信汇编》、1854 年布尔代数、1937 年开关电路）
主典：《学者学报》1684 年 10 月号 · 《深奥的几何》1686 · 《论二进制算术》1679 残稿 · 《单子论》1714 · 《神正论》1710
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 故事/暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第二辑十册：阿基米德 · 祖冲之 · 牛顿 · 莱布尼茨 · 欧拉 · 柯西 · 阿贝尔 · 庞加莱 · 诺特 · 华罗庚。本册为第二辑第四册。
封面人物头像：以公版历史画像（克里斯托夫·伯恩哈德·弗兰克绘，约 1695 年）为底本作水彩素描重绘；底本藏维基共享资源，属公有领域。