欧拉 · 分析的化身

欧拉把这座城压缩成最简的形式：把两岸与两岛缩成四个点，把七座桥缩成七条线。桥多长、岛多大、河多宽，全部扔掉；只留下「哪两个点之间有几条线」。

这个动作今天叫「抽象」，当时没有人做过。几何学自古关心的就是长度、角度、面积；欧拉把这三样全扔了，留下的东西不是几何——他说这是「位置的几何」（geometria situs），这个词借自莱布尼茨。

压缩完之后，问题变了一副面孔。原问「怎样走」，变成了：这七条线，能不能不重复地一笔画完？

先数一数每个点连着几条线（这个数后来叫「度」）：岛上那个大点连着五条，其余三个点各连着三条。四个点的度数是 5、3、3、3——全部是奇数。

欧拉的判据（下一页细讲）说：一笔画需要奇度点不超过两个。四个全奇，所以不可能。柯尼斯堡人的晚饭后散步，注定要重复走桥。

这里值得停一秒看那个压缩动作。桥的长短被扔掉之后，「七座桥」这个事实没有变；岛的形状被扔掉之后，「连着几座桥」也没有变。扔掉的东西都不影响答案，留下来的恰好是答案需要的东西——这是全部现代数学的第一课。

把「一笔画」这件事说清楚，需要两个词。一个叫度：一个点连着几条线。另一个叫连通：任意两点之间都有线相连。欧拉给出的判据是：

① 图连通，且所有点的度数都是偶数——可以一笔画，并且从哪个点出发就能回到哪个点。

② 图连通，且恰好有两个奇度点——可以一笔画，但必须从一个奇度点出发、到另一个奇度点结束，回不到起点。

③ 奇度点多于两个——不可能一笔画。

判据的道理很朴素：一条线走进一个点，就得有一条线走出它；除非那是起点或终点，出入可以不等。所以中途的点必须「进一样多、出一样多」，即度数为偶；只有起点与终点这两个位置可以例外。

用这判据看柯尼斯堡：四个奇度点，超过两个，故不可能——连「走完但不回来」都做不到。

判据附赠一条引理：所有点的度数之和，恰好等于线数的两倍。因为每条线对度数贡献 2（一头一尾）。所以「度数为奇数的点」必有偶数个——这个小小的「握手引理」，今天在社交网络分析里每天都用。

七桥问题之后十五年，欧拉又发现一件奇怪的事。他数一数各种多面体——四面体、立方体、八面体——的顶点数 V、棱数 E、面数 F，然后做减法：

V−E＋F

四面体：4−6＋4＝2。立方体：8−12＋6＝2。八面体：6−12＋8＝2。五棱柱：10−15＋7＝2。全是 2。

他试了一百多个多面体，无一例外。一七五〇年他写信给朋友：「我简直不能相信，自从几何学诞生以来，竟没有人注意到这个性质。」一七五二年他给出证明（证明后来被发现有缺口，勒让德补全）。

这条式子今天叫欧拉公式（多面体版）。它的意义远超「一个巧合」：V、E、F 各自可以变——加一个顶点、削一个角——而三者的组合纹丝不动。它是数学史上第一个「拓扑不变量」：不管把形状怎么捏、怎么拉，只要不撕裂不粘连，这个数就是 2。

这条线索后来长成了一门大科目：拓扑学。它研究的正是「橡皮膜上的几何」——形状可以连续变形，而某些性质（比如那个 2，比如「有几个洞」）不变。七桥问题问「桥的连接关系」，欧拉公式数「点线面的组合」，两件事是同一个思路：扔掉度量，留下关系。

一七四八年，欧拉出版《无穷分析引论》。这本教材第一卷第一页，做了一件此前无人做过的事：把「函数」定义为数学的基本对象。

他的定义用现代话说：函数是一条规则，把一些量变成另一些量。他给它起名，写作 f(x)——f 是 functio（作用）的首字母。这个写法看似只是一个缩写，实际是一个立场：函数本身是一个「东西」，可以起名、可以代入另一个函数、可以求导、可以展开——它是被运算的，不再只是运算的结果。

有了这个立场，「分析」这门学科才立得起来。在他之前，微积分处理的是曲线与几何量；在他之后，微积分处理的是函数——曲线只是函数的一种画法。这一转身，把微积分从几何的附庸变成了独立的语言。

《引论》里的函数世界很大：幂函数、指数、对数、三角、级数。欧拉把它们当作一个「基本函数库」，任何合理的函数都能用它们拼出来。这个信念后来出了问题（二十世纪发现处处连续却处处不可导的函数），可在十八世纪，它几乎是所有分析的起点。

书里还有一件东西：e。这个记号从此固定下来，指那个最自然的增长常数。

e 是多少？先算几个数。(1＋1/10)¹⁰＝2.5937；(1＋1/100)¹⁰⁰＝2.7048；(1＋1/1000)¹⁰⁰⁰＝2.7169；(1＋1/10000)¹⁰⁰⁰⁰＝2.7181。分得越细，越靠得近一个数：2.71828…

这件事有直接的来历：复利。一元钱，年利率一倍（100%），一年结一次得 2 元；一年结两次得 (1＋1/2)²＝2.25 元；一年结 n 次，得 (1＋1/n)ⁿ 元。结得越勤，赚得越多——但有一个上限，这个上限就是 e。

雅各布·伯努利 1683 年研究复利时已经碰到这个极限；约翰·伯努利与莱布尼茨在信里讨论过对数的底。欧拉的工作是把 e从一个极限变成一个对象：他给出 e 的级数展开

e＝1＋1＋1/2＋1/6＋1/24＋…＝Σ1/k!

并证明两条路（连乘的极限、级数之和）到同一个数。级数收敛极快：十项已达 2.71828180，八位小数正确。

他还算出 e 的一个更深的面目：e 是唯一使得曲线 y＝e^x 在每一点的斜率等于其高度的那个底。所有其他底都要乘一个修正系数；只有 e 不用。这就是「自然」对数的「自然」：它是自身的导数。

那道题是：1＋1/4＋1/9＋1/16＋…＝Σ1/n²，加到无穷，等于几？

先看它收敛到哪。部分和：n＝1 得 1；2 得 1.25；3 得 1.3611；5 得 1.4636；10 得 1.5498。爬得越来越慢，看不出终点在哪个数上。雅各布·伯努利算到很多项，只敢说「在 1.5 与 1.7 之间」。

欧拉一七三五年动手。他的第一招是算得极多、极准，然后认出这个数。他把部分和推到很远处（配合自己发展的加速法），得到 1.6449340668…。他盯着这串数字，忽然发现它与圆周率有关：π²/6＝1.6449340668…，每一位都对上。

他后来承认，这一步是「认出」而非「推出」——先有猜想，再有证明。几周后他给出两条独立证明，思路是拿正弦函数的无穷乘积与幂级数两边比较 x² 的系数。结论：

Σ1/n²＝π²/6＝1.6449340668…

这道题轰动欧洲。它的分量不在答案——一个级数和——而在方法：级数与无穷乘积互相翻译，π 出现在一个与圆毫无关系的求和里。数论与几何的边界裂开了一道缝，后来长成解析数论。

数学书里流传最广的一行字，出自欧拉：

e^iπ＋1＝0

五个最重要的常数站在一起：e（增长），i（旋转），π（圆），1（单位），0（零）。它们各自来自完全不搭界的领域——复利、方程、圆、计数、位值——在这一行里相遇。

它是欧拉公式的特例。一七四八年《无穷分析引论》里他写下更一般的形式：

e^iθ＝cos θ＋i sin θ

这条式子的意思可以用一句话说：复指数不是别的，就是单位圆上的旋转。角度 θ 走到 π（半圈），落点是 −1：于是 e^iπ＝−1，移项即得那行字。

不信可以代数验证。把 e^x 的级数展开里的 x 换成 iπ，逐项加：

1；＋iπ；−π²/2；−iπ³/6；＋π⁴/24；＋iπ⁵/120……前 6 项累计：实部 0.1239、虚部 0.5240，还在跳；再往后，实部与虚部交替地收敛——实部趋 −1，虚部趋 0。六项之后的修正量正好把点拉回 −1。

这行公式在数学里的地位很特别：它不解决任何问题，但它把数学最深的几层结构接在了一起。物理学家费曼称它为「最 remarkable 的公式」；这一册后面的页码会看到，它是傅里叶分析、波动方程与量子力学的底层形状。

欧拉公式为什么成立？把它画出来就懂了。想象一根针，一端钉在原点，另一端在单位圆上转。针与横轴的夹角记作 θ。

针尖的横坐标是 cos θ，纵坐标是 sin θ——这是中学都知道的。欧拉公式说的正是同一件事的另一种写法：针尖的位置 cos θ＋i sin θ，可以写成 e^iθ。

这有什么好处？好处是旋转可以相乘。转两倍的角度，就是指数翻倍：e^i·2θ＝(e^iθ)²。于是「加角度」变成「乘复数」，三角函数的麻烦公式（积化和差、和差化积）全部变成指数的乘法——中学里最难记的公式，在欧拉的记号下变成了 x^ax^b＝x^a＋b。

顺手还能验证一件小事。针尖到原点的距离（模长）是 √(cos²θ＋sin²θ)，按勾股定理恒为 1。用欧拉公式算：|e^iθ|＝e^iθ·e^−iθ的平方根＝e⁰＝1，自动成立——勾股定理在欧拉的记号下不证自明。四个角度实测（本册实算）：θ＝0.3、π/3、π/2、π，cos²θ＋sin²θ 全部等于 1，误差为零。

e 在微积分里独占一个位置。别的指数函数求导，都要多出系数；只有它自己，原样出来：

d(e^x)/dx＝e^x

为什么？把 e^x 展开成级数 1＋x＋x²/2＋x³/6＋…，逐项求导：0＋1＋x＋x²/2＋…——还是原式。级数往后错一位，正好对齐自己。这就是「斜率等于高度」的级数版证明。

它的反方向同样干净：∫e^xdx＝e^x＋C。增长与求和在这条曲线上完全对称——这也解释了 e 为什么「自然」：它是增长过程里唯一不需要校正因子的底。

这个性质让 e 无处不在。凡是「变化率正比于当下量」的过程——放射性衰变、复利、电容放电、种群增长——解出来的函数都是 e 的幂。微分方程 dy/dt＝ky 的解是 y＝y₀e^kt：自然增长定律。

欧拉在《积分学原理》里把这些算得极其彻底。今天大学一年级的微积分里，「e 的独特地位」那一节的顺序，几乎就是他当年的顺序：级数、求导、反积分、微分方程。

判据要会用。来画一个能走的图：一个四边形，加一条对角线。四个点 A、B、C、D，五条线：AB、BC、CD、DA，加上对角线 AC。

数一数每个点的度：A 连三条（AB、AD、AC），B 连两条，C 连三条（BC、CD、AC），D 连两条。度数是 3、2、3、2——恰好两个奇度点（A 与 C）。

按判据：可以一笔画，从 A 出发、在 C 结束。实际走一遍：A→B（用 AB），B→C（用 BC），C→D（用 CD），D→A（用 DA），A→C（用 AC）。五条线，每条恰好一次，一笔画成，终点是 C。假如 insist 要回到 A？不可能——判据第②条说了「回不到起点」。

再试一个变体：把对角线改成两条（两条对角线都画）。度数变成 4、2、4、2——全偶。这时判据第①条说：不但能一笔画，还能从任何一个点出发回到它自己。验证：A→B→C→A→D→C？等等，C 到 D 有边，D 到 A 有边——把顺序调一下：A→B→C→D→A→C？最后一条用了 AC，C 没回去。换：A→C→B？B 与 C 有边，A 与 C 有对角线，A 与 B 有边：A→B→C→A（对角线回 A）→D→C？C 到 D 有边，但 D 之后要回 A 而 DA 已用。这一例请读者自己走——答案是存在的，走法不唯一，这正是图论有趣的地方。

这两个小实验只用到了「数度数」这一件事。同一件事放大几万倍，就是电路布线、快递路线与网络路由的算法起点。

欧拉解巴塞尔问题的思路，值得亲手走一遍（简化版）。

第一步，把正弦函数展开：sin x＝x−x³/6＋x⁵/120−…，于是 sinx/x＝1−x²/6＋x⁴/120−…。

第二步，从另一个方向展开它。sinx 在 x＝0, ±π, ±2π, … 处为零，于是它可以写成无穷乘积 (1−x²/π²)(1−x²/4π²)(1−x²/9π²)…。

第三步，比较两种展开里 x² 的系数。级数那边系数是 −1/6；乘积这边，把每个括号按第一项配对，x² 的系数是 −(1/π²＋1/4π²＋1/9π²＋…)＝−(1/π²)Σ1/n²。

两边相等：−1/6＝−Σ1/n²/π²，移项即得 Σ1/n²＝π²/6。

numerical 复核：部分和爬升极慢——十项才 1.5498，真值 1.6449。欧拉当年用加速法把和算到十二位，才「认出」π²/6。可见猜想的勇气与验证的精确缺一不可：算得不准，认不出来；不敢认，白算。

欧拉公式最好玩的用法：算几个特殊角度的落点。

θ＝0：e⁰＝1——针指向右，落点 1。

θ＝π/2（四分之一圈）：cos＝0、sin＝1，落点 i——针指向正上方。虚数单位原来就是「转九十度」。

θ＝π（半圈）：落点 −1——这就是 e^iπ＝−1，那行五个常数的公式。

θ＝2π（整圈）：落点回到 1。转一整圈等于什么都没做——数学写作 e^2πi＝1。

再看四分之一圈，还能顺手证一条「虚数的怪规矩」。把 e^iπ/2＝i 两边平方：e^iπ＝i²。左边是 −1，右边按定义也是 −1——所以 i²＝−1 这件事，在「旋转」的语言里意思只是：转两个九十度就是转一百八十度，指向变成反方向。

虚数难懂，多半是「负数开平方」这个说法难懂；换成「转九十度」，它就成了看得见的东西。这是欧拉公式最受欢迎的一面：它把一种陌生的数，变成了一种熟悉的动作。

从七桥问题出发的那门学问，今天管着几件日常的事。

地图的颜色。任何一张平面地图，只用四种颜色就能给所有区域上色、相邻区域不同色。这个问题提于一八五二年，悬了一百二十四年，一九七六年由阿佩尔与哈肯用计算机验证近两千种构形后证明。证明的核心工具，正是图论——地图先抽象成「相邻即连线」的图，再研究图的结构。

路线与网络。快递怎么走最短、航班怎么转机、数据包怎么选路径——背后全是图上的算法。导航软件每算一次路线，就在做一次「最短路」的搜索。图论给这些动作提供了共同语言。

分子与社交。化学家把分子画成图（原子是点、键是线），数一数「有多少种不同的图」就能数异构体；社交网络把人画成点、好友画成线，「六度分隔」实验（米尔格拉姆，1967）测的就是图的直径。

这些事的源头都是那四页纸：把对象缩成点、把关系缩成线，然后数数。欧拉当年说这问题「太琐碎」，做完之后才发现它开了个头——好的数学常常这样，起点朴素，伸向哪里当初看不见。

巴塞尔问题之后，欧拉的那串级数 Σ1/n^s 后来被记作 ζ(s)（zeta 函数）。它自己继续往前走了两百年。

欧拉算出的那些值。ζ(2)＝π²/6；ζ(4)＝π⁴/90；ζ(6)＝π⁶/945——凡是偶数的地方，答案都是 π 的幂除以一个整数。奇数的地方呢？ζ(3)＝1.2020569…——两百多年里无人找到它的闭式。一九七八年，法国数学家阿佩里证明它不是任何「有理数与 π 的幂的有理组合」——这一结果轰动一时，被称为「阿佩里之数」。ζ(3) 至今没有π² 那样的公式。

素数的分布。欧拉积把 ζ 与素数接上之后，大问题变成：素数越来越稀，稀得多快？答案藏在 ζ 的性质里。一八五九年，黎曼把 ζ 推广到复数平面，提出「所有非平凡零点都排在一条线上」——黎曼猜想。素数定理（素数密度约 1/ln x）在一八九六年由阿达马与瓦莱·普桑沿这条线证明。

黎曼猜想至今未决，是数学界最著名的悬题之一。而它脚下那块地基——级数、乘积、欧拉积——是一百多年前欧拉在圣彼得堡的雪夜里铺下的。

欧拉给函数起的名字，活着，而且一直在长大。数学史上「函数」这个概念扩张过三次，每一次都是一场观念革命。

第一次：表达式（欧拉）。函数是由变量与常量按规则拼出的解析式。在这个框架里，欧拉建立了分析的语言——可他留了一道缝：弦振动之争里，他允许「任意画出的曲线」也算函数，这与他自己的定义矛盾。这道缝成了十九世纪的入口。

第二次：对应（狄利克雷）。一八三七年，狄利克雷给出今天中学课本的定义：只要每个 x 有唯一的 y 与之对应，不必有公式。傅里叶的「方波的三角级数展开」逼出了这个定义——有些函数根本写不成一个式子，比如「正负交替的方波」。

第三次：集合（布尔巴基）。二十世纪，函数被定义为两个集合之间的一种关系（序偶的集合），「作用」这个动作退居幕后。泛函、算子、随机变量——函数的函数、函数的空间——都住在这个最宽的定义里。

三次扩张的共同点：每次都是实践跑到了定义前面，旧定义装不下新的对象，只好把定义放宽。欧拉那个 f(x) 的写法从第一次扩张起就再没换过——记号比概念耐用，这又是符号史的一个例子。