阿贝尔 · 五次方程

要把「五次方程没有根式解」说清，先得看清「根式解」在低次方程那里是什么样子。

二次：ax²＋bx＋c＝0 的解是 x＝(−b±√(b²−4ac))/(2a)。巴比伦泥板上的配方术、九世纪的花拉子米，做的都是它。三次：十六世纪的卡尔达诺公式（实为塔尔塔利亚与费罗的工作，卡尔达诺 1545 年背约发表）把解写成 x＝∛(q/2＋√(q²/4＋p³/27))＋∛(q/2−√(q²/4＋p³/27))。四次：费拉里再进一步，把四次降成三次，套用前者的公式。

三步的套路完全一样：降次。三次拆成二次，四次拆成三次；每降一次，多开一层根式。「根式解」的意思，就是存在一串「只做四则运算与开方」的步骤，从系数走到根——像一座塔：地基是系数，一层根式一层根式往上搭，塔顶是根。

有了二次、三次、四次的成功，第五层塔看起来只是时间问题。一五四五年之后，欧洲最好的头脑（卡尔达诺本人、韦达、笛卡尔、牛顿、欧拉、拉格朗日）全都试过。两百年过去，塔没有搭起来，连「搭到第五层还差什么」都说不清。

注意这里埋着一个当时无人追究的词：「塔」。塔有塔的受力结构，根式解有根式解的结构约束。三百年都在找梯子，没人问过墙有多高——阿贝尔问的正是后者。

「根式解」的承诺还有一个隐蔽条款，在三次方程上就露过馅。看这道题：x³＝15x＋4。肉眼可见 x＝4 是解：64＝60＋4。方程有三个实根。

套卡当公式：x＝∛(2＋√(4−121))＋∛(2−√(4−121))，也就是 ∛(2＋11√−1)＋∛(2−11√−1)。两个根号底下都是负数——在一五七二年的邦贝利面前，这两个「鬼」当着三个实根的面出现了。

邦贝利硬着头皮按平方根的规则算了下去：两个「鬼」的三次方根取出来相加，鬼与鬼相消，得 4——实打实的解。数值验算（今法）：把 2＋11i 开三次方取主值、2−11i 同法，相加恰为 4；再取另两种立方根组合，得 −3.7320508 与 −0.2679492，正是方程的另外两个实根。

这一页的教训有两层。第一层是历史的：复数是从「求根式解」的夹缝里被逼出来的——为了解实数方程，不得不发明新数。第二层与本册更近：根式这东西不老实，它会把计算引出系数所在的数系；「用根式表示根」这句话，需要一套语言来管住它到底能走到哪里。管住它的语言，一百年后叫「群」；阿贝尔的时代，它的雏形叫「置换」。

两百年里离答案最近的一次，来自拉格朗日。一七七〇—一七七一，他写了一篇二百多页的长文，把二次到四次的全部解法摆在一张解剖台上，问：这些解法共同的骨架是什么？

他找到的东西，今天叫「预解式」：把根们做某种加减组合（比如 (r₁−r₂)² 这样的式子），看这个式子在「把根换名字」时取几个值。取值越少，式子越「稳」，就能降一次。二次时取 1 个值，三次时取 3 个，四次时取 3 个——每次降次，都对应一个「取值个数变少」的式子。

顺理成章的推论：五次要降次，就该存在某个取值个数少于 120（5 个根共有 5!＝120 种换名方式）的式子。拉格朗日找了很久，没找到。他写道：这类问题「似乎超越人类智力的深度」。

事后看，他已经把问题翻译对了一半：「能不能降次」被换成了「存在不存在取值更少的对称式」——解方程的问题，变成了数取值个数的问题。他还注意到取值个数整除 120（这是后来的「拉格朗日定理」的影子）。

差的那一半，是把「取值个数」背后的东西命名出来：那个管着取值个数的对象，就是根的置换结构。鲁菲尼 1799 年沿着这条路走了四百多页，证明里留了几处没说死的跳跃。把每一步说死的，是阿贝尔。

证明的第一步，是把「根式解」三个字钉死。阿贝尔的写法翻成今天的话：

一个根式解，是一串表达式；从系数出发，每一步只做加、减、乘、除，或对已得的东西开方。

这句话看着平平无奇，实则把「解」从一件流动的事变成了有规格的建筑：根式塔。系数是地基；第一层根式开在地基上；第二层开在第一层上；塔顶站着根。三次方程的卡当公式就是一座三层小塔：地基（p、q）→ 第一层（判别量 Δ＝q²/4＋p³/27）→ 第二层（√Δ）→ 第三层（两个立方根）→ 塔顶（相加）。

规格立好，问题立刻变得可审：塔的每一层都在「根们的某个对称式」上施工——开方意味着「取与不取」两种选择，两种选择对应根的一组重新安排。换句话说：根式塔的每一层，都被根的一小撮置换看管着；塔能搭多高，取决于这些看管者能不能一层层接力。

于是证明的路线图出来了：给一般五次方程的根算出全部置换（120 个），逐层检查这座塔要求的「看管者接力」是否接得上；只要有一层接不上，塔就搭不起来。怎么数「看管者」？下一页，置换正式登场。

「把根换名字」这件事有学名：置换。三个根 r₁、r₂、r₃，换名方式一共 3!＝6 种；把这 6 种全部列出，得到一个对象——它像一支队伍：任何两种换名先后连做，结果仍是 6 种中的一种（本册实算：6 种两两复合共 36 对，结果全部落回这 6 种，无一逃逸）。这种「内部自洽」的性质，后来叫封闭性；带封闭性的置换队伍，就是群的雏形。

队伍里还有小队。比如只保留「三个根轮流转圈」的那 3 种换名（r₁→r₂→r₃→r₁ 及其两次重复，加上「原地不动」），它们自己连做也出不了圈。大队伍 6 人，小队 3 人，小队是大队伍的一部分且自洽——这个「大中有小」的现象，正是降次的钥匙。

用它回看三次方程：开平方那一步（判别量）需要的是「差平方」(r₁−r₂)²(r₂−r₃)²(r₃−r₁)² 这类在全部 6 种换名下都不变的量；往下再降，用的是只在小队下不变的量。每降一层，看管的队伍就换一班：6 人 → 3 人 → 1 人。四次方程同理：24 → 12 → 4 → 2 → 1（有一串现成的小队）。

阿贝尔的贡献此刻已经清楚：他证明一般五次方程的 120 人队伍里，不存在那串恰好从 120 递减到 1 的自洽小队。下一页先看「取值个数」怎么算，再看 120 人的队伍缺什么。

拉格朗日的「取值个数」，用一道具体的三次方程走一遍。取 x³−3x＋1＝0，三个实根是 −1.879385、0.347296、1.532089（本册实算）。

看式子 (r₁−r₂)²。不换名时取值 11.638156；换名让这对根变成另外两对，取值随之变成 4.958111 与 1.403733——6 种换名，只出 3 个值（每值两副面孔：差正负号变，平方不变）。再算总和：1.403733＋4.958111＋11.638156＝18，一个在任何换名下都纹丝不动的数（这也用系数直接验证：三根两两差的平方和＝2[(Σr)²−3Σr_ir_j]＝2[0−3(−3)]＝18）。

数出来了：取值 3 ＜ 6。这个式子「看见」的只是三张脸，不是六个名字——于是它成为降次的支点：解原方程，可以先解一个只含这三张脸的新方程（次数更低），再把根从脸上还原。三次的卡当公式、四次的费拉里公式，本质全是这一步的重复使用。

现在，把同样的审计搬到五次：要降次，就得找到某个根函数，它在 120 个置换下的取值个数是 120 的真因子，且一路递减到 1。阿贝尔与鲁菲尼证明的核心可以一句话说完：这样的取值序列在一般五次方程上不存在——中途必有一个坎，取值个数从 60 直跳 1，跳过了所有能搭根式塔的台阶。那道坎有个名字：六十人的队伍「单纯」——它内部再无自洽小队（除了自己与一人）。塔在第六十层塌了。

先把「反向」写成式子。取定一个参数 k（0＜k＜1，叫模），定义

u(x)＝∫₀^x dt / √((1−t²)(1−k²t²))

被积函数在 0≤x＜1 上恒正，所以 u 随 x 单调上升，每个 u 只对应一个 x。于是可以反过来读：x 是 u 的函数，记作 x＝sn(u)。一个算不出来的积分，被改写成了一张可以查、可以算、可以求导的函数表。

看 k＝0 的退化情形：被积函数变成 1/√(1−t²)，积分就是反正弦 u＝arcsin x，翻过来正是 x＝sin u。三角函数是这条路在 k＝0 的一个特例——这个视角把「边之比」换成了「积分之逆」，而后者可以一路推广。对数也一样：u＝∫₁^x dt/t 翻过来，就是指数。

取 k＝0.5 实算一遍：u＝0.7 时 sn(0.7)＝0.634293276；反过来，从 0 积到 0.634293276 的积分，数值求积得 0.700000000（本册实算）。「写不出初等表达式」并不等于「无从下手」——这是第三幕真正的转折。

三角函数最好用的性质是 sin(u＋v) 的展开式：两个角相加，正弦值由两个角的正弦余弦凑出来，不用再画图。椭圆函数若有同类公式，那些「算不出的积分」就能像数字一样加减。

阿贝尔找到了。写成今天的记号（k 为模）：

sn(u＋v)＝(sn u·cn v·dn v ＋ sn v·cn u·dn u) / (1 − k²·sn²u·sn²v)

要害在右边：只含四则运算。两段弧的合成，不需要再做一次积分——它退化成一次代数运算。这就是加法定理，也是椭圆函数全部力量的入口。

仍取 k＝0.5，令 u＝0.3、v＝0.4（本册实算）：sn(0.3)＝0.294465552、cn(0.3)＝0.955662095、dn(0.3)＝0.989101870；sn(0.4)＝0.387042423、cn(0.4)＝0.922061908、dn(0.4)＝0.981096091。代入右边：分子 0.632233518，分母 0.996752672，商 0.634293276——正好等于 sn(0.7)，误差在末位之外（残差小于 10⁻¹⁵）。两段弧接上了。

有了加法，就有了倍数、有了等分：一个 u 能生出 2u、3u、u/n 一整串点。把这些点看成对象、把「相加」看成运算，就得到了一个封闭的队伍——这正是半个世纪后「椭圆曲线上的群律」的雏形。从置换的队伍到点的队伍，同一套纪律换了场地。

sn 一个不够用，正如只有正弦没有余弦，加减就转不开。阿贝尔配齐了三个：cn、dn，它们由两条恒等式拴在一起——sn²＋cn²＝1（与圆上的 sin²＋cos²＝1 同形），以及 k²sn²＋dn²＝1（模 k 登场的地方）。

倍角公式也用实算验一遍：sn(0.5)＝0.475082936，代入 2·sn·cn·dn/(1−k²sn⁴) 得 0.822635578，与 sn(1.0) 逐位相符（残差小于 10⁻¹⁵）。函数在自己身上做算术，做得通。

真正的惊奇在周期。三角函数转一圈回到原处：sin(u＋2π)＝sin u，只有一个周期。椭圆函数有两个：

sn(u＋4K)＝sn(u)　与　sn(u＋2iK′)＝sn(u)

其中 K＝1.68575035481（4K＝6.74300141925），K′＝2.15651564750（2iK′＝4.313031295 i）。一个实周期、一个虚周期，方向不同，长短不成比例，谁也吞不掉谁。于是它被一块平行四边形里的取值完全定死，再靠这两步平移铺满整个平面——像地砖，一块定了，整片就定了。

这也说明了它为什么比三角函数难：三角函数站在一个圆上，椭圆函数站在一张网上。阿贝尔把这张网用在了双纽线的 n 等分上，得的结论与高斯的正多边形定理同型：n 只含因子 2 与互不相同的费马素数时，等分点才作得出来。「五次方程不能解」的那双手，在这里算的是「哪些点能作」。

「没有根式解」这句话最容易被误读成「没有根」。拿一个具体的五次方程来验收：x⁵−2x−5＝0。它的根不但存在，而且能手算到小数点后十位。

先看有几个实根。导数 5x⁴−2 只有两个零点（±0.7953），两处函数值都是负的（−3.72 与 −6.27），曲线只在右侧穿出横轴一次。一个实根，两对共轭复根。

再算实根。牛顿迭代：x_新＝x−(x⁵−2x−5)/(5x⁴−2)。从 1.5 出发：1.517426 → 1.517003 → 1.517002965 → 1.517002964885，第四步就稳住，此后不再变（本册实算，残差小于 10⁻¹⁵）。

复根也报个数。四根为 0.317274±1.409769i 与 −1.075775±0.648965i（本册实算）。五个根加起来 0、乘起来 5——与韦达的账对得上：缺四次项故和为 0，常数项 −5 故积为 (−1)⁵(−5)＝5。

这就是阿贝尔判据的真实含义：它拒绝的只是「用根式写出这个数」这一种抵达方式，从未否认那个数在那里。公式是一条路，数值是另一条路；路的尽头是同一座山。

本册前半反复用到「队伍」：置换的集合，连做不逃圈。这样的队伍有一个隐蔽的性质，值得单独看一眼——两次换名的先后，会不会影响结果？

用三个根试。先换 1↔2，再换 2↔3：结果是把 1 送到 3、3 送到 2、2 送到 1。倒过来，先换 2↔3，再换 1↔2：结果是把 1 送到 2、2 送到 3、3 送到 1。两句话说的是同一对动作，只换了先后，结果却是两种不同的换名——一个顺时针，一个逆时针。

所以置换的队伍一般不满足交换律。这不是缺陷，是结构：正因为先后有别，五次方程的 120 人队伍才有那么多层次；若一切可交换，队伍会立刻塌成简单的一圈，什么也拦不住。

但也有一类队伍，先后无所谓：整数的加法（3＋5＝5＋3）、模 n 的加法、绕圆转圈的角度相加、椭圆函数里两段弧的合成（u＋v＝v＋u，p.22 的公式两边对称）。这类「可交换的队伍」后来被冠上阿贝尔的名字，叫阿贝尔群。

这个名字是身后才有的：阿贝尔本人没有定义过「群」，他只知道接连做两次换名、两段弧相加这些具体的事。把「可交换」这件事单独拎出来，认作一类结构的标志，是十九世纪后半叶的事——而他恰好是那个把「交换」用得最深的人。

「不能解」不是普遍判决。同一把尺子量下来，有一大类方程清清楚楚可以解——最有名的是分圆：把圆周 n 等分，等分点的坐标满足一个 n−1 次的方程，它的根式塔能不能搭起来，恰是尺规能不能作出来的问题。

高斯一七九六年三月三十日先在日记里记下：正十七边形可作。n＝17 时，分圆方程是 16 次，塔分四层——16 → 8 → 4 → 2 → 1，每一层只开一次平方。塔搭得起来，尺规就够用。塔顶的那一步写成式子，是这样一个嵌套根式：

2cos(2π/17)＝(−1＋√17＋√(34−2√17)＋2√(17＋3√17−√(34−2√17)−2√(34＋2√17)))/8

逐项算：√17＝4.123105626、√(34−2√17)＝5.074819085、√(34＋2√17)＝6.499708551，最内层 17＋12.369317−5.074819−12.999417＝11.295081，其平方根 3.360815480。代入得 1.864944459，正是 cos(2π/17)＝0.932472229 的两倍（本册实算，误差在末位之外）。

把这件事与五次方程并排：同样是「根能不能用根式写出来」，17 次的能，一般的 5 次不能。决定权不在次数高低，而在根们「换名队伍」的构造——队伍里若能找到一路递减的自洽小队，塔就搭得起来。阿贝尔晚年把同一把尺子用到双纽线的等分上，得的答案与高斯的正多边形定理同型。

阿贝尔的判据说的是「一般五次方程不可解」，留下一个空当：具体的某个方程，怎么判？一八三〇年，十九岁的伽罗瓦把这个空当填死了。完整形态是一句话：

一个方程可用根式解 ⇔ 它的根们的换名队伍（伽罗瓦群）可解。

「队伍可解」有确切含义：队伍里存在一串层层相套的自洽小队，从全员一路缩到一人，且每缩一层，被摊掉的那部分是可交换的。这与 p.14 的根式塔一一对应——塔有几层，队伍就缩几次；每层能开方，因为摊掉的那部分可交换。

用两个五次方程对照。x⁵−2＝0：根是 ⁵√2 乘五个单位根，队伍共 20 人，有现成的缩队路径——可解，根式写得出来。x⁵−x−1＝0：根们能做的换名是全部 120 种，队伍即 S₅，缩到六十人的 A₅ 就断了——不可解。两个方程次数一样、外形相近，可解性却相反。

阿贝尔的定理是这条判据的特例：一般五次方程的队伍就是 S₅，故不可解。伽罗瓦多做的一步，是把「一般」换成「任给」——从一条定理，变成一台判定机。而这台机器的零件（队伍、小队、可交换的层），是他二人在纸上各自磨出来的。

「队伍」这件东西，最初只是方程的附属品：为了判方程能不能解，才去数根的换名方式。十九世纪后半叶，它被单独拎出来当了研究对象——这一步跨得不小。

第一步，脱掉具体内容。一八五四年，凯莱写下抽象群的定义：一堆元素，一个运算，满足封闭、结合、有单位、有逆。元素是置换、是数、是旋转还是矩阵，一概不问。同一个定义装下了所有队伍。

第二步，编目。队伍里任意两人可交换的，叫阿贝尔群。有限生成的阿贝尔群有一张完整分类表：任何这样的队伍都等于若干份整数加法群加上若干个有限循环群——一条定理，把无穷多对象一次说尽。这是十九世纪最漂亮的分类结果之一。

第三步，用到各处。克莱因 1872 年用变换群给几何分类（一种几何＝某个群下的不变量）；李研究连续群（今称李群）；若尔当写出第一本系统的置换群论著；二十世纪，有限单群的分类耗掉上百人几十年。量子力学一登场，群表示论直接成了物理的语言——对称性从一个技巧，变成了描述世界的框架。

回头看，阿贝尔与伽罗瓦各自只数了几支很小的队伍（120 人、60 人），却教会后人一件事：要理解一个对象，先看它能被怎样变换而保持自身。这句话后来把几何、代数、物理串在了一起。

一个人名能挂多少东西，往往说明他的工作伸进了几个方向。阿贝尔名下的名单不短：阿贝尔群、阿贝尔函数、阿贝尔簇、阿贝尔积分、阿贝尔求和、阿贝尔极限定理、阿贝尔判别法。前四个属代数与复分析，后三个属分析的基础——一个人在两处都留了名字。

最活跃的一支是椭圆曲线。y²＝x³＋ax＋b 这样的方程，解集是一条曲线，曲线上的点能用 p.22 那套加法相加：两点连线交曲线于第三点，再把第三点对横轴作镜像，得和点。一套几何作图，把曲线上的点做成了一个阿贝尔群——这正是阿贝尔与雅可比那套加法定理的现代形态。

这支学问今天在三个地方最忙：数论上，怀尔斯 1994 年证明费马大定理，走的是椭圆曲线与模形式之间的桥；密码学上，椭圆曲线上的离散对数至今没有高效算法，比特币用的 secp256k1 就是一条椭圆曲线，签一次名要算的正是那条曲线上的群运算；算法上，从纠错码到整数分解，都要用到曲线上的点群。

还有一件与数学本身无关的纪念：二〇〇三年起，挪威设立阿贝尔奖，每年颁给一位数学家，与菲尔兹奖并称。奖名挂在一位生前没有教职、身后靠朋友编全集的人身上——这个安排本身，比任何碑文都准确。