花剌子米（约 780—约 850），全名穆罕默德·伊本·穆萨·花剌子米。「花剌子米」不是姓，是籍贯：阿姆河下游的花剌子模，今天的乌兹别克斯坦希瓦一带。他一生大部分时间在巴格达，服务于阿拔斯王朝的马蒙宫廷，是「智慧宫」里那批学者中的一个。
他留下的东西，用一句话可以说清：把「怎么算」写成「照着做」。在他之前，巴比伦人有解法，希腊人有证明，印度人有好用的数字；但那三样东西各自待在自己的地方，谁也不能拿起来就用。他把它们合在一本书里，编成一套谁都能照抄的步骤。
两本书最重要。一本是《还原与对消之书》（约 820），讲六类一次与二次方程，配几何证明，后半部讲遗产分割与丈量。另一本是《印度数字算术》（约 825），讲十个符号与位置记数，阿拉伯原文已佚，只剩一部十二世纪的拉丁译本。
本册分五幕：第一幕讲「没有 x 的算术」是什么样子（p.6—p.12）；第二幕讲他的两把剪刀——还原与对消（p.13—p.19）；第三幕讲配方为什么对，用一张图证（p.20—p.26）；第四幕讲书的后半部：遗产、丈量、商队（p.27—p.33）；第五幕讲两个词怎样走了一千年（p.34—p.40）。暗线一句：一个名字变成两个词。
三层读法照旧：故事层无需预备知识；数学层用到平方、开方与分配律（p.7—p.9、p.14—p.16、p.21—p.23）；注疏层给出抄本、译本与卷次，逐页可查。
花剌子模在阿姆河下游，四面是沙，中间是一块靠河活着的绿洲。城里的人做三件事：种地、织布、做买卖。三件事都要算——水渠要按户分水，布要按尺论价，商队要按路程算日子。
这块地方的位置很特别：往东是中国的西域，往南是波斯与印度，往西是巴格达。商队在这里换骆驼、换语言、也换算法。一个在绿洲长大的孩子，会先学会换算，再学会证明。
关于他的早年，材料只有一句：他出自花剌子模。没有出身、没有师承、没有求学记录。这在一千二百年前不算反常——只有两种人会留下详细的早年：王族与圣徒。一个算学家的童年，通常就这么丢了。
能确定的是他后来去了巴格达，而且一去就没再回来。他带着的，大概就是绿洲上那套「什么事都要算一算」的习惯。这本册子要讲的六类方程，最早的动机不是哲学，是分水、分地、分遗产。
巴格达是 762 年新建的都城，圆形城墙，四面城门，城中心是哈里发的宫殿与清真寺。到马蒙（813—833 在位）手里，这座城市已经成了当时世界上最大的书库之一。
马蒙做了一件影响很深的事：组织翻译。希腊的几何与天文、波斯的行政与历法、印度的数字与星表，被一批一批译成阿拉伯文。这项工作后来被称作「翻译运动」，而它办事的机构，后世称为「智慧宫」（Bayt al-Ḥikma）。
花剌子米就在这个机构里工作。他手边有三样材料：希腊的证明（欧几里得、托勒密）、印度的数字与算法（《悉檀多》一系的星表）、波斯的实用算表（税册、历书、分水账）。三样东西各有各的长处，也各有各的毛病：希腊人讲得清但算得慢，印度人算得快但不说为什么，波斯人的表好用但不成体系。
他要做的事因此很清楚：把三者缝在一起。用希腊的证明给印度的算法撑腰，用波斯的账目给理论找活干。这不是一件浪漫的事，是一件极费耐心的编书工作——而正是这件事，让「代数」成为一门可以教、可以学、可以传给下一个人的学问。
他的两本书，一本教「怎么解方程」，一本教「怎么写数」。前者后来给了欧洲一个词：algebra；后者给了他一个拉丁化的名字：Algoritmi，再由这个名字长出 algorithm。
两件事看似无关，其实是一件事的两半。没有好的记数法，就算不快；没有可照做的步骤，就算不准。他两样都给了，于是「计算」第一次变成一件可以交给别人做的工作。
本册的暗线就藏在这里：一个名字变成两个词。一个人名成了「算法」，一本书名成了「代数」——这在科学史上几乎绝无仅有。更有意思的是，他自己并不知道这两个词会变成什么。他只想编一本能用的书。
第一幕从一个具体的困境开始：在他之前，人们解方程时，纸上写的是什么？没有 x，没有等号，没有指数——一句话要说清「一个平方与十个根等于三十九」，得写整整一行字。
九世纪初的一张算纸上，没有 x，没有等号，没有指数。要写「一个平方加十个根等于三十九」，得写整整一句话：「一个平方与十个根，等于三十九个迪拉姆。」
这不是修辞。这是当时唯一能写的方式。巴比伦人在泥板上用六十进制列算式，但每道题都是一个具体的数例，做完了就完了，不总结方法；希腊人在纸上画图、写证明，但他们的「数」是几何量，不是可以搬来搬去的符号；印度人有好用的十个数字，也会解方程，可他们的写法是韵文口诀，靠师徒口传。
三样东西放在同一张桌子上：会算的说不清，说清的算不动，算得快的不留字。花剌子米要做的，是把这三样缝起来。
缝的办法很朴素：承认没有符号，那就用语言把规则说死。「把减去的项加到另一边」——这句话本身就是一条规则，只要说得准，没有 x 也能执行。他要写的不是一本炫耀聪明的书，是一本别人能照着做完的书。
他开篇先立三个名目，全书只用这三个：
根（jidhr）：任何自乘之后等于某个平方的量。用今天的说法，根就是 x，或者 √n——他说「十的根」，指的是 √10。
平方（māl，本义「财产、财物」）：一个根自乘所得。用今天的说法是 x2。
数（dirham，迪拉姆，当时的银币单位）：不带根的纯数。
这三个名目之外，他一概不认。没有 x3，没有负号，没有零次项的说法。凡是超出这三样的，都要先化归成这三样——这一步化归，正是下一幕的「还原与对消」。
三个名目也有算术上的次序：根乘根得平方，平方乘根得立方（他承认立方存在，但不解三次方程），平方除根得根。这套「乘一次升一级」的规矩，用语言说得清清楚楚，不需要指数记法。
把「根」「平方」「数」三样分放等号两边，只允许正系数，能摆出的样子只有六种。他的分类是：
一、ax2＝bx 平方等于根。约去 x，得 x＝b/a。
二、ax2＝c 平方等于数。得 x＝√(c/a)。
三、bx＝c 根等于数。得 x＝c/b。
四、ax2＋bx＝c 平方与根等于数。
五、ax2＋c＝bx 平方与数等于根。
六、bx＋c＝ax2 根与数等于平方。
为什么只有六类？因为他不承认负数。项只能在两边之间搬，不能凭空变成负的；于是「ax2−bx＝c」这样的写法在他那里不存在，它必须先还原成 ax2＝bx＋c，归入第六类。六类不是数学的极限，是「只许正数」这条规矩的结果。
他给的第一道题是：一个平方与十个根，等于三十九个迪拉姆。即 x2＋10x＝39。属于第四类。
解法分五步，用纯语言写出：
一、取根数的一半：十的一半是五。二、把它自乘：五乘五得二十五。三、加到数上：三十九加二十五得六十四。四、开方：六十四的根是八。五、减去五：八减五得三。答案：三。
验算：32＋10×3＝9＋30＝39。对。
这五步为什么对？他没用代数式回答，他用了一张图。把 x2 画成一个正方形，把 10x 画成四条宽 10/4＝2.5 的边条，贴在四边；四角各缺一块 2.5×2.5＝6.25 的小方。补上四角，总面积变成 39＋4×6.25＝39＋25＝64，而补完的形状恰好是一个边长为 x＋5 的大正方形。于是 x＋5＝8，x＝3。
这张图是本册的枢纽。它把「五步操作」和「为什么对」接在了一起：操作是给别人用的，图是给自己看的。第三幕会把这张图一格一格拆开。
后人常替他可惜：既然已经把规则想得这么清楚，为什么不给未知量一个记号？有了记号，一本书可以缩成三页。
但这件事要放在他的处境里看。他的读者不是学者，是计算者：分遗产的、丈量土地的、收税的、做买卖的。这些人不读几何，也不打算学一门新文字。他们要的是一句能听懂、能背下来、能当场执行的话。符号对他们是门槛，不是帮助。
还有一层：符号要能被抄。九世纪的书靠人手抄，抄错一个记号，整道题就废了；而「取根数之半，自乘，加于数」这样的话，抄错一个字也还读得通。在那个传播条件下，啰嗦是一种可靠。
所以他的选择不是「没想到」，而是「不划算」。他知道规则，只是把规则写在语言里。真正的符号代数要再等七百年——等到印刷术普及、等到一群专门跟符号打交道的人出现。工具没到，需求先到了，这就是他的位置。
「取根数之半，自乘，加于数，开方，减半」——这句话里没有「因为」，只有「先做这个，再做那个」。它是一条指令，不是一个论证。
这就是本册要指出的第一件事：证明与程序可以分开。证明回答「为什么这样算是对的」，程序回答「怎样一步步算出来」。希腊人有前者，巴比伦人有后者，花剌子米第一次把两者放进同一本书，而且分开放——前半部给程序，后半部（以及那些图）给证明。
分开的好处极大。程序可以被不识字的人记住、被不懂证明的人执行、被抄写员一字不改地复制。一门学问要传下去，靠的从来不是最聪明的那个版本，而是最容易被复制的那个版本。
这套「六类 ＋ 每类一套流程」的写法，一千年后被人叫作 algorithm——而这个词，正是他名字的拉丁化。他写的是「怎么算」，历史读成了「怎么让机器算」。
第一幕讲起点：在他之前，会算的说不清，说清的算不动。
处境。没有 x、没有等号、没有指数；一句话要说清一道方程。
三名词。根、平方、数。凡超出这三样的，先化归。
六类。只许正系数，故方程只有六种样子；负项靠「搬」消掉。
一道题。x2＋10x＝39：取半、自乘、加之、开方、减半，得 3。
六类：ax2＝bx；ax2＝c；bx＝c；ax2＋bx＝c；ax2＋c＝bx；bx＋c＝ax2。
配方五步：x＝√(c＋(b/2)2)−b/2，此处 b＝10, c＝39，得 √64−5＝3。
几何核：(x＋b/2)2＝c＋(b/2)2。
书的全名很长：《还原与对消之书，论计算》（al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa'l-muqābala）。开头是一段献词，对象是哈里发马蒙，语气恭敬，理由却很实在：
「人们在做计算时，总需要一些东西：分遗产、继承、审判、买卖、互换、丈量土地、开渠、几何。」他接着说，这些东西里有些是必须的，有些是好用的；他写这本书，是为了让计算变得容易，让人不必反复试、不必猜。
这段序言值得停一下。它没有说「数学是通往真理的路」，也没有说「数体现宇宙的秩序」。它说的是：有人要分东西，分不清，所以我写一本怎么分的书。这是九世纪巴格达的口气，不是雅典的口气。
但也别把它读成一本纯粹的账房手册。书里有几何证明，有对「为什么」的追问，有对无理量的处理——他只是把证明放在后面，把用处放在前面。这个次序，本身就是一种判断：先让人用得着，再让人明白为什么。
还原（al-jabr）：「把一个被减去的项，接到另一边的加项上去。」原文的 jabr 本义是接骨、复位——断了的骨头接回去，被挪走的项也接回去。
例一：「一个平方减去五个根，等于六个单位。」写成 x2−5x＝6。这里的 −5x 是「被减去」的项，还原就是把它接到另一边：x2＝5x＋6。
还原之后要看清它落在哪一类。x2＝5x＋6 是「平方等于根与数」，即第六类（bx＋c＝ax2），不是第四类。这两类的配方只差一个符号：第四类是「减半」，第六类是「加半」。
按第六类走：取根数之半 2.5，自乘得 6.25，加于数 6 得 12.25，开方得 3.5，加上 2.5 得 6。验算 36−30＝6。答案 6。
若误当第四类去算，就会得 3.5−2.5＝1，验算 1−5＝−4≠6，错。还原不只是搬项，搬完必须重新认型——这是这套方法最容易踩空的一步。
例二：「十个根减去一个平方，等于二十一。」10x−x2＝21，还原得 10x＝x2＋21，归入第五类。这一类有两个答案：x＝3 与 x＝7。验算：30−9＝21，70−49＝21。都对。
对消（al-muqābala）：「两边同类的项相抵。」原文 muqābala 意为面对面、相对——两样同类的东西面对面站着，就相互抵消。用今天的话，就是等式两边同减一个量。
例一：「五十个单位加一个平方，等于二十九个单位加十个根。」写成 50＋x2＝29＋10x。两边各减去 29：21＋x2＝10x。归入第五类，两个答案 3 与 7。验算：50＋9＝59，29＋30＝59；50＋49＝99，29＋70＝99。
例二：「五个平方加三个根，等于两个平方加十二个根。」5x2＋3x＝2x2＋12x。对消 2x2 与 3x：3x2＝9x。归入第一类，两边同除以 x：3x＝9，x＝3。验算：45＋9＝54，18＋36＝54。
两把剪刀合起来，就是一套化简流程：先还原（去掉所有减项），再对消（两边同类相抵），再看剩下的是六类中的哪一类。任何一道题，走完这三步都能归型——这就是全书的方法论骨架。
化简要能做，得先会乘。他给的规矩只有一句：把每一部分与每一部分相乘。这条规矩，就是后来的分配律。
例一：(10−x)2。四步相乘：10×10＝100；10×(−x)＝−10x；(−x)×10＝−10x；(−x)×(−x)＝x2。合计 100−20x＋x2。
例二：(10＋x)(10−x)。中间两项 ＋10x 与 −10x 正好相消，得 100−x2。这是「平方差」最早的文字表述之一。
根与根相乘，规矩不同：根相乘，先把被开方数相乘再开方。√18×√8＝√(18×8)＝√144＝12。相除同理：√18÷√8＝√(18/8)＝√(9/4)＝3/2。
开方也有规矩：√(x2)＝x，√(9x2)＝3x。若开不尽，就把根留着——他明确说，遇到开不尽的数，「就让它带着根」，不必强行化掉。这是九世纪对无理量最实用的态度：不否认它，也不逼近它，就把它当一个可运算的对象。
序言里那串用途不是客套。九世纪的巴格达，算术是一件有编制的工作：宫廷要算历（定斋月与朝觐）、要算税（土地税、人丁税、商税）、要算水（底格里斯河与运河的分水）、要算钱（铸币与兑换）。这些活都归「计算者」（ḥāsib）干。
花剌子米的服务对象就是这批人。所以他写书的方式也必须照顾他们：不设公理，不列定义，不上来就证明。上来先给一道题、一个做法、一个答案，然后才解释为什么。这在希腊人看来是本末倒置，在实际工作者看来是唯一可行的次序。
这也带来一个代价。他的书被后世一些学者评为「只讲方法，不讲原理」；甚至有人说他「把希腊的证明丢掉了」。这是误读，但误读有原因：证明被放在后半部，被商业算例压在下面，抄写时最容易被省略。真正丢掉的不是证明，是证明的位置。
暗线的这一层可以说清：他选择先当匠人，再当学者。这门学问后来能长成参天大树，恰恰因为它的根先扎在账本里，而不是扎在学园里。
把六类当成「数学定理」，会看不出它的妙处。把它当成六种句型，就看得很清楚。
学一门语言，先学句式：「主语＋动词＋宾语」。看到一句话，先认出它属于哪个句式，再按句式去理解。花剌子米的六类就是六种句式：平方等于根、平方等于数、根等于数、平方与根等于数、平方与数等于根、根与数等于平方。
于是每道题的处理变成三步：第一步，化简（还原＋对消）；第二步，归型（看它落进六类中的哪一类）；第三步，套用该类流程。三步走完，答案就出来了——不需要每次重新想办法。
这三步的意义超出解方程。它第一次把「解题」变成「识别＋调用」：先认出形状，再取出对应的工具。今天的算法设计里，这一步叫「模式匹配」；今天的中学课堂上，它叫「先化成标准形式」。两者同一个祖先。
第二幕讲工具：两把剪刀把任何一道题剪成标准形状。
还原。把被减去的项接到另一边。x2−5x＝6 变成 x2＝5x＋6，得 x＝6。
对消。两边同类相抵。50＋x2＝29＋10x 变成 21＋x2＝10x，得 3 或 7。
乘除开方。逐项相乘；根相乘则先乘被开方数；开不尽就带着根。
归型。化简之后看它属于六类中的哪一类，再取对应流程。
还原（jabr）：x2−bx＝c ⟹ x2＝bx＋c；bx−x2＝c ⟹ bx＝x2＋c。
对消（muqābala）：a1x2＋b1x＝a2x2＋b2x ⟹ (a1−a2)x2＝(b2−b1)x。
乘：(10＋x)(10−x)＝100−x2；√18·√8＝12；√18/√8＝3/2。
他的书里有一批图。现存的十四世纪抄本上还能看到几幅，画得笨拙，线条不齐，但意思清楚：把「平方」画成一个正方形，把「根」画成一条边，把「数」画成面积。
这个对应关系不是装饰。它是证明的全部。一旦「平方」是面积、「根」是边长，那么「加上十个根」就只能是「在四边各贴一条面积相当的边条」；而「配方」就只能是「把四个角补齐」。代数的每一步，在图上都有一个动作。
希腊人早就这么干过。《几何原本》第二卷的命题 4 就是「(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2」，用图证；命题 5、6 处理「长方形与正方形的关系」，实质上就是二次方程。花剌子米接的正是这条线——但他多做了一件事：把图上的动作翻译成一套文字指令，让不会看图的人也能算。
所以第三幕要讲的不是「他怎么解方程」，而是「他凭什么说解对了」。答案在一张图上：补四个角。
题：x2＋10x＝39。构造分四步，每一步都对应一个代数动作。
第一步，画方。画一个正方形，边长记作 x，面积就是 x2。
第二步，贴四条。把 10x 分成四份，每份 2.5x，画成四条宽 2.5、长 x 的窄条，贴在正方形的四条边上。此时总面积正好是 x2＋10x＝39。
第三步，补角。贴完四条，四个角上各留下一个 2.5×2.5 的空缺。补上四块，每块 6.25，四块共 25。总面积变成 39＋25＝64。
第四步，认边。补完之后，整个图形是一个大正方形，边长 x＋2.5＋2.5＝x＋5。所以 (x＋5)2＝64，x＋5＝8，x＝3。
验算：9＋30＝39。图证完了，方程也解完了，两件事是同一件事。这一步的意义在于：那个凭空出现的「二十五」不是魔术，它就是四个角的面积。
题：x2＋21＝10x。这是第五类。它有两个正根：3 与 7。为什么会有两个？看几何。
把 10x 看成一个长方形：长 10、宽 x。方程说：从这个长方形里挖掉一块 x×x 的正方形，剩下的面积是 21。剩下的形状是一个 (10−x)×x 的长方形。
于是问题变成：找一个长方形，周长 20、面积 21，边长各是多少？答案是 3 与 7——2(3＋7)＝20，3×7＝21。而 x 可以是其中任意一边，所以 x＝3 或 x＝7。
他的算法写法：取 10 的一半 5，自乘得 25，减去数 21 得 4，开方得 2，用 5 加 2 得 7，用 5 减 2 得 3。「加」与「减」各给一个答案，两个都写下来。
这一步比它的样子重要。到了十六世纪，欧洲的算书还在为「负根」争论；而九世纪的巴格达，一个算学家已经平静地写下两个答案，因为它们对应两个真实的长度。「方程有几个根」，在他那里不是理论问题，是量地时能不能量出两条边的问题。
把六类各写成一个答案，全书就可以收起来了。下面每一行都配一个算例，算例都是本册实算。
一、ax2＝bx → x＝b/a。例 3x2＝12x，x＝4（48＝48）。
二、ax2＝c → x＝√(c/a)。例 2x2＝50，x＝5。
三、bx＝c → x＝c/b。例 7x＝35，x＝5。
四、ax2＋bx＝c → x＝[−b＋√(b2＋4ac)]/(2a)。例 x2＋10x＝39，x＝3。
五、ax2＋c＝bx → x＝[b±√(b2−4ac)]/(2a)。例 x2＋21＝10x，x＝3 或 7。
六、bx＋c＝ax2 → x＝[b＋√(b2＋4ac)]/(2a)。例 5x＋6＝x2，x＝6。
六行里有四行是同一件事：第四、五、六三类的差别，只在根号前那个符号，与根号里那个减号。他没有把这四行合成一行，因为合起来要写「±」，而「±」需要一个能容纳负数的记号系统。差一步，就差七百年。
他的世界里没有负数。这不是没想到，是用不上：分遗产不会分出负的迪拉姆，量地不会量出负的尺。既然用不上，就没有名目，也没有记号。
后果是一整套分类学：因为系数必须为正，方程才有六种样子；因为只认正根，第五类的两个答案才都要写出来；因为不认零，ax2＝bx 才敢直接除以 x 而不讨论 x＝0。
还有一句常被引用的话。第五类若碰到 (b/2)2<c，也就是根号里出现负数，他会说：「这道题不可能。」不是「无解」，是「不可能」——因为在量的世界里，确实没有这样的长方形。一个数学判断，被一句日常语言说尽了。
这不只是「落后」。分类让每一类都有独立可执行的流程，工程上更可靠：一个收税的人不需要理解「统一公式」，他只需要认出这是第几类，翻到那一页，照着做。代价是看不到全貌——方程的完整图像、根的个数与系数的关系、代数学基本定理，都要等到人们愿意承认负数与虚数之后。数的范围，往往是被用途划定的，不是被逻辑划定的。
六类各有各的名字，各有各的流程，各有各的算例。这在教学上是好事：可查、可背、可练。一个学生学完六类，拿到任何一道题都能动手。
在数学上是坏事：看不到它们本是同一件事。同一道题，只因项摆在哪一边，就要换一套说法、换一个公式、换一张图。这就像六把钥匙开六把锁，而锁其实是同一把，只是转了个方向。
统一要等符号。1591 年韦达用元音字母表示未知量、辅音表示已知量；1637 年笛卡尔用 x, y, z 表示未知、a, b, c 表示已知。字母一进来，项就可以自由搬家，六类立刻塌成一行：ax2＋bx＋c＝0。分类学退场了。
但它留下两样东西，一直留到今天：一是配方（把二次式凑成完全平方，今天用来推求根公式、化圆方程、算方差）；二是「先化标准形」的习惯（做题第一步先整理成标准形式，再动手）。分类学死了，分类学的肌肉记忆活着。
第三幕讲证据：配方不是口诀，是补四个角。
图与式的对应。平方是正方形，根是边，数是面积；加十个根＝贴四条边条。
关键数。四角之和 4×(2.5)2＝25，即根数一半的平方。
两个答案。x2＋21＝10x 对应「周长 20、面积 21」的长方形，边长 3 与 7，两个都算。
一句「不可能」。根号里出现负数，他说这题不可能——因为量不出来。
配方：x2＋bx＝c ⟹ (x＋b/2)2＝c＋(b/2)2。
第五类：x＝b/2±√((b/2)2−c)，b＝10, c＝21 得 7, 3。
第六类：x＝b/2＋√((b/2)2＋c)，b＝5, c＝6 得 6。
《还原与对消之书》的后半部，讲的全是「俗事」：遗产怎么分，地怎么量，账怎么算。这三样占了全书将近一半的篇幅，而且写得比前半部更细。
遗产部分尤其细。伊斯兰继承法有一套复杂的份额规则：固定份额（farḍ）与余产（ʿaṣaba）两套并行，还要处理遗赠（最多为遗产的三分之一）、债务、以及「份额加起来超过一时怎么办」（ʿawl，按比例缩减）。这些都是分数运算，一步算错，一家人就要打官司。
丈量部分是另一路。他给的不是定理，是公式清单：圆、环、菱形、三角形、弓形、以及「用影子量高度」。这些公式有的精确，有的只是近似（比如圆面积取 22/7），他也不隐瞒，直接写明「这是常用的做法」。
把这两部分放进一本代数书，今天看来奇怪，当时却很自然。代数是工具，工具要有活干。一本只讲工具的书没人买，一本只讲活的书传不下去——两样合起来，才有人抄。
题：某人去世，遗赠一个外人：遗产的四分之一再加十个迪拉姆。余下的按教法分给两个儿子和一个女儿，女儿得儿子的一半。若女儿实得 100 迪拉姆，问遗产几何？
第一步，设。设遗产为 x。遗赠是 x/4＋10。
第二步，写余。余下 x−(x/4＋10)＝3x/4−10。
第三步，按份额分。两个儿子各得两份、女儿得一份，共五份，女儿占 1/5。所以 (3x/4−10)/5＝100。
第四步，还原。两边乘 5：3x/4−10＝500；还原得 3x/4＝510；两边乘 4 除以 3：x＝680。
第五步，验。遗赠 680/4＋10＝180；余 500；女儿得 100，两个儿子各 200；合计 180＋500＝680。对。
还要查一条规矩：遗赠不得超过遗产的三分之一。180/680≈26.5%，合规。算术题做完，还要过一道法度——这是遗产题与普通方程题最大的不同。
他给的丈量公式，取 π＝22/7，简洁好用。四条常用的：
圆。周长 ＝22/7×直径；面积 ＝22/7×半径2。例：直径 7 尺，周长 22 尺，面积 22/7×12.25＝38.5 平方尺。
圆环。面积 ＝22/7×(外半径2−内半径2)。例：外径 10、内径 6，得 22/7×(25−9)＝352/7≈50.29 平方尺。
菱形。面积 ＝两对角线之积的一半。例：对角线 10 与 8，得 40 平方尺。
三角形。面积 ＝底×高的一半。例：底 12、高 5，得 30 平方尺。
还有一件不是公式的本事：用影子量高度。立一根 5 尺的竿，量出它的影长 3 尺；再量塔的影长 45 尺。因为竿与塔都竖直、太阳光平行，两个三角形相似，所以 5:3＝h:45，h＝75 尺。这是比例论在工地上的用法，也是欧几里得第六卷最实用的一条。
一道合股。甲出 300 迪拉姆，乙出 500，共赚 240。按出资分：甲得 240×300/800＝90，乙得 240×500/800＝150。比就是份额，这正是欧多克斯比例论的日常版。
一道换算。1 第纳尔换 12 迪拉姆。用 7 第纳尔买 10 尺布，每尺几迪拉姆？7×12＝84，84/10＝8.4。换算的本质是乘一个比，不是背一张表。
一道二次。用 24 迪拉姆买布。若每尺便宜 1 迪拉姆，同样的钱可多买 2 尺。问每尺原价几何？
设原价 p，则原来买 24/p 尺；降价后可买 24/(p−1) 尺。条件：24/(p−1)−24/p＝2。两边乘 p(p−1)：24p−24(p−1)＝2p(p−1)，即 24＝2p2−2p，对消得 p2＝p＋12——第四类。根数一半 0.5，自乘 0.25，加 12 得 12.25，开方 3.5，减 0.5 得 3，所以 p＝4。
验：24 迪拉姆原价 4 可买 6 尺；降价到 3 可买 8 尺，多 2 尺。对。这道题没有几何、没有遗产，只是一桩买卖，却要动二次方程——这就是「代数」这个名字后来能取代「还原与对消」的原因：它管的事，比名字宽。
九世纪的巴格达，学问分三等。宗教之学最尊（经、法、传述）；医与天次之（关乎性命与节令）；算学再次——它是「工具」，替别人办事的。
但「工具」有工具的好处：它有用，所以有人养。宫廷要定历（斋月与朝觐的日期）、要收税、要分水、要铸钱、要测地。这些活养住了一批人，也养住了一批书。花剌子米本人就做过三件「国家工程」：编天文表（zīj）、写地理志（《大地的形貌》）、改制历法。
更微妙的是：正因为算学不被当成「高等学问」，它才没有被经学的框子管住。它可以吸收印度的数字、波斯的天文、希腊的几何，不必先论证这些外来东西「合不合正统」。边缘位置给了它自由。
暗线到这里可以收一收：一个名字变成两个词，靠的不是地位，是可用。他的书被抄了一千二百年，不是因为写得深，是因为写得能上手。
书要走出去，得先有路。这条路走了三百年，分三段。
第一段：巴格达 → 科尔多瓦。八世纪起，西班牙的科尔多瓦成了另一个学术中心，巴格达的书被商人与学者带过去。十世纪时，科尔多瓦的图书馆藏书号称四十万卷。
第二段：托莱多 → 拉丁欧洲。1085 年基督教势力攻下托莱多，这座城市留下大量阿拉伯文书籍。十二世纪，一批翻译家在此工作：1145 年，切斯特的罗伯特把《还原与对消之书》译成拉丁文，标题写作《Liber algebrae et almucabala》；几乎同时，克雷莫纳的杰拉德译了托勒密的《天文学大成》。
第三段：拉丁 → 方言 → 印刷。1202 年斐波那契在《算盘书》里系统介绍印度—阿拉伯数字；十五世纪出现大批「算法书」（algorismus 教材）；1494 年帕乔利的《算术、几何、比与比例大全》把代数写进教科书。到十六世纪，「algebra」已经是一个不用解释的词。
一个细节值得记住：欧洲人把那些数字叫「阿拉伯数字」，其实它们来自印度。花剌子米自己写的书名就叫《印度数字算术》——他从不据为己有。名字记错了，路没走错。
第四幕讲用途：一本算术书的后半部，才是它的活路。
遗产。遗嘱 → 余产 → 份额 → 分数运算；算完还要过「不超过三分之一」这一道法度。
丈量。圆、环、菱形、三角形四条公式，加一条「用影子量高」的相似三角形法。
商队。合股按比分成，换算乘一个比，买布题化归成 p2＝p＋12。
地位。算学排第三，却因此不受经学束缚，能吸收印度、波斯、希腊三家的东西。
遗产：x−(x/4＋10)＝500 ⟹ 3x/4＝510 ⟹ x＝680。
丈量：S圆＝(22/7)r2；S环＝(22/7)(R2−r2)；S菱＝d1d2/2。
买布：24/(p−1)−24/p＝2 ⟹ p2＝p＋12 ⟹ p＝4。
1145 年，一个叫切斯特的罗伯特的英国人，在西班牙把一本阿拉伯文的数学书译成拉丁文。他给译本起的名字是《Liber algebrae et almucabala》——「还原与对消之书」的直译，只是把两个阿拉伯词原样搬了过去。
他大概没有意识到，「algebrae」这个生造的拉丁词，会在八百年后成为全世界中学课本上的一章。
同一时期，另一本书也在被抄写。它的拉丁译本开头一句是 「Dixit Algorizmi」——「阿尔戈里兹米说」。抄手把这句话当成了作者的名字，于是「Algorizmi」成了一个专名；再后来，它变成了「algorismus」，指一门技艺：用印度数字做计算。
于是发生了一件稀奇的事：一个人的名字，变成了「算法」；一本书的书名，变成了「代数」。同一批抄本，两个词，两条路。而他本人，只在那句「阿尔戈里兹米说」里留下了痕迹。
第二本书讲的事，看起来比第一本简单：怎样用十个符号写出任何数。但它的影响更大。
诀窍只有一条：位置给权。同一个符号写在不同的位置，值差十倍。比如两千零二十六，写作 2026，意思是 2×103＋0×102＋2×10＋6。这条规则今天看来天经地义，当时却是三种记数法竞争的结果：希腊字母记数（α＝1、β＝2……）、罗马数字（Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ）、以及印度的位值制。
位值制胜在三点。一、能写。算盘要求人坐在它面前拨珠，位值制只要一张纸。二、能查。算式留在纸上，别人可以复核，错在哪一步看得见。三、能传。十个符号，抄错一个还认得出；一张算盘，坏了就得重做。
最关键的是那个「零」。没有零，2026 与 226 无法区分；有了零，空位有了名字。印度人在七世纪就给了零一套运算规则，阿拉伯人把它叫 ṣifr（空无），拉丁化成 zephirum，再变成今天的 zero。「零」这个词，本身也是一条旅行路线。
竖式也一并传来。478 加 365：个位 8＋5＝13，写 3 进 1；十位 7＋6＋1＝14，写 4 进 1；百位 4＋3＋1＝8。得 843。乘法 24×36：24×6＝144，24×30＝720，相加 864。每一步都写在纸上，每一步都能被人重做一遍——这一点，比答案本身重要。
「算法」不只是「一种算法」。它指一类东西，有四个特征：步骤有限、每步确定、每步可做、有输入有输出。用一道题检验一下。
输入：x2＋21＝10x。
第一步，化简。已无减项，无需还原；两边无同类项，无需对消。停在原式。
第二步，归型。平方与数在左、根在右，属第五类。
第三步，取半。根数 10 的一半是 5。
第四步，自乘。5×5＝25。第五步，减数。25−21＝4。第六步，开方。√4＝2。
第七步，加与减。5＋2＝7；5−2＝3。
输出：x＝7 或 x＝3。
七步，没有一步需要「想到」。换一个人，只要识字、会加减乘除、会查根号表，就能得到同样的答案。这就是算法的全部要求：它不要求执行者聪明，只要求执行者照做。
对照希腊的证明：证明要求读者「看出」某条辅助线为什么该画。看不出，就走不下去。算法把「看出」这一步，提前到写书的时候做完了。
把三个人放在一起看，本册的要点就清楚了。
巴比伦（约前 1800）。泥板 BM 13901 第一题：「我把正方形的边与面积相加，得 0;45。」即 x2＋x＝0.75。步骤：取 1 的一半 0.5，平方得 0.25，加 0.75 得 1，开方得 1，减 0.5 得 0.5。与花剌子米的五步一字不差。
丢番图（约 250）。《算术》用缩写记号表示未知量的各次幂，是符号的先声；但他只认正有理根，主要处理不定方程，没有一般分类，也没有证明。
花剌子米（约 820）。没有记号，却有一般分类（六类）＋几何证明＋可执行流程，三者齐备，而且写成一本书。
所以「代数之父」这个称号有两种给法：给丢番图，因为他先用了记号；给花剌子米，因为他的书成了教科书。前者是发明，后者是传播。三千年前的巴比伦人已经会配方，可他既没有说清为什么，也没有把方法写全——这一步才是分水岭：从「会做一道」到「会做一类」。
Algoritmi → algorismus → algorisme → algorithm。这四个词形的背后，是词义的三次搬家。
第一次（十二至十五世纪）：指「用印度数字计算的技术」，是一门手艺。大学里有「算法课」，教材叫《Algorismus vulgaris》，讲的是进位、加法、乘法、开方。
第二次（十六至十九世纪）：词义变宽又变窄。宽的时候泛指「算术」；窄的时候只指「十进制的」。同时，人们已经忘了它原是一个人的名字——十九世纪甚至有人提出，它来自希腊语 algiros（痛苦），意思是「痛苦的算术」。一个误读，流传了近百年。
第三次（二十世纪）：1936 年图灵定义「可计算」，1940 年代电子计算机出现，「算法」变成「任何有限步可执行的确定程序」。此时它已经与阿拉伯数字无关，与花剌子米也无关——只剩那个词壳。
暗线的意思在这里显出来：名字比人活得久，但名字的意思会被后人反复改写。他写的是「怎么算」，历史读成了「怎么让机器算」。这不是背叛，是语言的常态：词一旦出门，就不再属于造它的人。
书名太长，欧洲人只取了两个词：al-jabr 与 al-muqābala。前者活了下来，后者只活在拉丁标题里，随后消失。为什么是前者？因为它排在前面，也因为它的意思更有画面感。
jabr 的本义是接骨：骨头断了，接回去。用在方程上，就是把被减去的项「接回」另一边。所以「代数」的字面意思，其实是「复位术」。这个隐喻一直没散：解方程，就是把被缠绕的未知量松开——汉语说「解」，英语说 solve（松开），阿拉伯语说「还原」，三种语言，同一个动作。
中文的「代数」是另一条路。1859 年，李善兰与伟烈亚力合译《代数学》，取「以字母代未知之数」的意思命名。「复位」与「代换」，两个名字，两种想象：一个想着「把东西搬回原位」，一个想着「给未知找个替身」。同一门学问，进门的方向不同。
顺带说一个常被忽略的事实：al-muqābala 没有被选中，但它对消的动作活在了每一个解方程的人手里。词会死，动作不会。
第五幕讲流传：一本书变成两个词，两个词走了一千年。
两个词。al-jabr → algebra；Algoritmi → algorithm。
十个符号。位置给权，零占空位；能写、能查、能传。
四个特征。步骤有限、每步确定、每步可做、有输入输出。
三种传统。巴比伦有算法无证明，希腊有证明无算法，花剌子米三者合。
位值：2026＝2×103＋0×102＋2×10＋6。
竖式：478＋365＝843；24×36＝144＋720＝864。
算法七步：化简 → 归型 → 取半 → 自乘 → 减数 → 开方 → 加减，得 7, 3。
约 780 年生于花剌子模（阿姆河下游，今乌兹别克斯坦希瓦一带）。早年无传记材料。
813—833 年马蒙在位，巴格达的翻译事业最盛；花剌子米在「智慧宫」工作。
约 820 年《还原与对消之书》成书，献于马蒙。前半六类方程与几何证明，后半遗产、丈量、算例。
约 825 年《印度数字算术》成书，讲十个符号与位值制。阿拉伯原文佚，仅存十二世纪拉丁译本。
约 830 年编天文表（Zīj al-Sindhind）、撰《大地的形貌》，另有论犹太历与基督教历的短篇。
约 850 年卒。卒年另有 840、847 两说。
1145 年切斯特的罗伯特在西班牙译出拉丁本《Liber algebrae et almucabala》。十二世纪《Algoritmi de numero Indorum》拉丁译本流传。
1202 年斐波那契《算盘书》系统介绍印度—阿拉伯数字。1494 年帕乔利《算术、几何、比与比例大全》把代数写进教科书。
1591 年韦达用字母表示数；1637 年笛卡尔确立 x, y, z 的用法，六类塌成一行。
1831 年Rosen 在伦敦刊布阿拉伯原文与英译，现代研究自此有据。1859 年李善兰与伟烈亚力合译《代数学》，「代数」成为中文定名。1936 年图灵定义可计算，「算法」获得现代含义。
他的书没有一本留下亲笔。今天能读到，走的是三条不同的路。
第一条：阿拉伯文抄本。《还原与对消之书》现存数部抄本，最早为牛津 Bodleian 图书馆 Hunt. 214（十四世纪），另有哥达、柏林、大马士革等处藏本。这条最可靠，但最晚——原书与现存抄本之间隔了五百年。
第二条：拉丁译本。1145 年切斯特的罗伯特译本、以及克雷莫纳的杰拉德一系的译本，是欧洲人读到的版本。译得不算精细，一些术语被硬搬（algebra 就是硬搬的结果），但骨架完整。
第三条：希伯来译本与再译。十三至十五世纪，一批阿拉伯算书被译成希伯来文，再转译成拉丁文。这条路上丢的东西最多，也最容易被忽视。
三条路合起来，才有本册这些内容。传播链大致是：阿拉伯文原稿 → 抄本 → 拉丁/希伯来译本 → 印刷本（十六世纪起）→ 现代校勘本（Rosen 1831；Rashed 2007）。每一次转手，都是一次可能丢失；每一次丢失，都靠另一条路上的副本补回来。一本书能活一千年，靠的从来不是一本。
一、如果符号只是「方便」，为什么它改变了数学？花剌子米用语言说清了全部规则，可符号一进来，六类立刻塌成一行，代数变成一门可以「推演」的学问。方便到什么程度，就不再只是方便？
二、分类是进步还是权宜？六类让每一类都能被独立执行，也让视野被切成六块。今天的中学生仍在学「先化标准形」——这究竟是分类学的遗产，还是它的残余？
三、「有用」能保证「正确」吗？他的圆面积取 22/7，误差约万分之四，一千年里盖了无数房子、分了无数地。一个长期有用的近似，算不算错？
这三问没有标准答案，也不必有。它们的作用是提醒：本册讲的每一个「解决」，都同时留下了它自己解决不了的地方。
这次不用 10，换一个好剪的数：x2＋8x＝48。所有长度都是整数，剪起来不费事。
材料：1 厘米方格纸、铅笔、尺、剪刀、胶带。
第一步，画方。剪一个 4×4 的正方形（面积 16），这就是 x2，其中 x＝4。
第二步，贴四条。8x 分成四份，每份 2x。剪四条 2×4 的长条（每条面积 8，四条共 32），贴在正方形四边。
第三步，看缺口。四个角各留下一个 2×2 的空缺。剪四块 2×2 的小方（每块 4，四块共 16）补上。
第四步，量边。补完是一个大正方形，边长 4＋2＋2＝8，面积 64。而 16＋32＋16＝64，正好对上。
第五步，回头验。大正方形边长也可以写成 x＋4（因为四角各补了 2，两边合计 4）。所以 x＋4＝8，x＝4。代回原式：16＋32＝48。对。
换一个数再试。把 8 换成 6：四角是 1.5×1.5，不好剪。这就是为什么古人偏爱「根数为偶数」的算例——不是数学需要，是剪刀需要。
材料：六张卡片（或六张便条）、一支笔。
第一步，写正面。六张卡片各写一个类型名与它的样子：平方等于根；平方等于数；根等于数；平方与根等于数；平方与数等于根；根与数等于平方。
第二步，写背面。每张背面写三样：一个算例、一句流程、验算。比如第四类：x2＋6x＝27；取半 3，自乘 9，加 27 得 36，开方 6，减 3 得 3；验 9＋18＝27。
第三步，抽题归型。下面六道题，每道正好对应一类，把卡片翻到正面，先把题归型，再翻背面照做。
①2x2＝18x ②3x2＝27 ③5x＝45 ④x2＋6x＝27 ⑤x2＋12＝7x ⑥4x＋5＝x2
第四步，对答案。① x＝9；② x＝3；③ x＝9；④ x＝3；⑤ x＝3 或 4；⑥ x＝5。全部代回去验一遍——验算不是多余的一步，它是这套方法唯一的安全带。
第五步，加两道「陷阱题」。看能不能识别出来：x2＋4＝0（无正数答案）；x2＋5＝2x（根号里是负的，按他的说法「不可能」）。
后代一：竖式算术。十二至十六世纪的「算法书」把位值制编成一套课堂练习：先认符号，再练加法，再练乘法，最后练开方。这套练习一直活到今天的小学课本里。它是「算法」最成功的一次普及——成功到没人再觉得它是一种思想。
后代二：求根公式与它的尽头。十六世纪，卡尔达诺与费拉里给出三次、四次方程的求根公式，用的还是「归型＋配方」的老思路：把方程化成标准形，再套一个可执行的流程。可是五次方程走不通了——1824 年阿贝尔证明：一般的五次方程没有根式解。这不是「还没找到」，是「不可能有」。三千年的算法传统，在这里第一次撞到墙。
后代三：可计算性。1936 年，图灵为了回答「什么问题是能算的」，造了一个假想的机器：一条无限长的纸带、一个读写头、一张规则表。这台机器做的事，正是花剌子米描述过的事——照着一张表，一步一步改纸带上的符号。差别只在：图灵证明了有些事它做不到。
三代连起来看，才看得清本册的位置：他给了「能算的」那一半，图灵划出了「不能算的」那一半。两半合起来，才是完整的图景。一门学问成熟，往往不是因为它能回答更多，而是因为它知道了自己的边界在哪。
公案一：谁先发明了代数？巴比伦泥板（约前 1800）已有配方算例，比花剌子米早两千六百年；丢番图（约 250）已有缩写记号。可为花剌子米辩护的理由是：他第一个给出一般分类与可执行流程，并写成教科书。「发明」与「成立为一门学问」，不是一回事。
公案二：他的书里到底有没有几何证明？现存抄本的图多为后世补绘，有些学者据此认为几何论证是后加的。但正文中「补四个角」「画正方形」等文字描述与图一一对应，文字本身已构成论证。本册取「有证明」一说，同时承认图版不可尽信。
公案三：那些数字是「阿拉伯」的还是「印度」的？符号源于印度，经阿拉伯人传入欧洲，故欧洲称「阿拉伯数字」；而花剌子米自己的书名就写着「印度计算」。名字记错了，路没走错——这类误名在科学史上比比皆是。
延伸阅读：F. Rosen,《The Algebra of Mohammed ben Musa》（1831，阿拉伯原文与英译）；S. Gandz 等,《The Algebra of Abu Kamil》（相关导论）；C. B. Boyer,《A History of Algebra》；R. Rashed,《Al-Khwārizmī: Le commencement de l'algèbre》（2007）；O. Neugebauer,《Mathematische Keilschrift-Texte》；J. Høyrup,《Lengths, Widths, Surfaces》；D. E. Knuth,《The Art of Computer Programming》vol. 1。
这一册的主角没有留下一条定理以他的名字命名，也没有任何一句妙语传世。它讲的是一个更朴素的问题：怎样把「会算」变成「谁都能算」？花剌子米的答案是：把方法写成步骤，把步骤写成书。
全册骨架五步：绿洲与书房（引子）、没有 x 的算术（第一幕）、还原与对消（第二幕）、一张图为什么算数（第三幕）、遗产与商队（第四幕）、两个词（第五幕）。数学层集中在 p.7—p.9、p.14—p.16、p.21—p.23、p.28—p.30、p.35—p.37。
这册的数学比前一本容易：只有一次与二次方程，没有极限，没有无穷。难点不在算，在「为什么只有六类」——那需要一点「只许正数」的想象力。孩子若卡住，可以只记住一句：因为不认负数，所以方程只能有六种摆法。
两页动手做都很适合饭桌上做：p.44 剪纸配方（全部整数，剪得开），p.45 做六张卡片（做完就能自己出题）。剪刀与卡片，比公式更容易记住。
一、为什么他不发明符号？p.10 给了两个理由：读者是不学几何的计算者，符号对他们是门槛；手抄时代啰嗦反而可靠。可以问孩子：如果一本书要抄一百遍，是希望它写得漂亮，还是写得不容易抄错？
二、一张图怎么能当证明？p.21 的四步，每一步都在图上有一个动作：画方、贴条、补角、量边。可以拿 p.44 的剪纸做一遍。孩子剪完会明白：那个凭空出现的「二十五」，其实是四个角。
三、名字重要吗？p.34 与 p.38 讲了两条线：一个名字变成「算法」，一个书名变成「代数」，而他本人只留下一句「阿尔戈里兹米说」。可以问：如果一件事被记住、而做它的人被忘掉，这算成功还是失败？
最后一点提醒：本册的年代多为「约」，著作的成书年份都不可考。读到「约 820 年」，不妨停一下：为什么一个一千二百年前的年份，只能给出一个大概？这个问题会带孩子走进抄本与文献的世界。
《数学家的故事》第三辑 · 第 22 册
花剌子米 · 移项与还原
明线：根与平方的名目 · 六类方程 · 还原与对消 · 配方的几何证明 · 遗产与丈量 · 位值制与算法
暗线：一个名字变成两个词 · 先让人用得着，再让人明白为什么 · 词会死，动作不会
时代：约 780—约 850 · 阿拔斯王朝（花剌子模—巴格达；下延至 1145 拉丁译本、1202 斐波那契、1494 帕乔利、1936 图灵）
主典：《还原与对消之书》（约 820，阿拉伯原文存抄本）·《印度数字算术》（约 825，仅存拉丁译本）·《大地的形貌》·天文表 Zīj al-Sindhind
体例：扉页与题解 2 页 · 引子 3 页 · 五幕 35 页（每幕：故事 1 · 数学 3 · 故事/暗线 1 · 交汇 1 · 小结 1）· 收束与留问 3 页 · 动手做 2 页 · 小典 2 页 · 延伸 2 页 · 家长导读 2 页 · 版权 1 页，共 52 页。
《数学家的故事》第三辑十册：欧多克斯 · 花剌子米 · 朱世杰 · 卡尔丹诺 · 纳皮尔 · 拉普拉斯 · 李善兰 · 威尔斯特拉斯 · 康托尔 · 哥德尔。本册为第三辑第二册。
正文中的年代、人物、文献均据 p.47 所列材料与各页注疏；数值例（六类算式、配方、遗产、丈量、汇率、买布二次题、位值竖式）均为本册实算。插画为写意示意，不追求器物形制与历史场景的复原。