卡尔丹诺 · 大术

先看二次方程为什么「好对付」。以 x²＋10x＝39 为例，配方的思路是几何的：把 10x 拆成两条边贴在边长为 x 的正方形上，再补四个角。补四角用去 4×2.5×2.5＝25，右边变成 64，于是大正方形边长 8，解出 x＝3。整条路是拼图：给一块不规则的地，补成规整的方。

1494 年，帕乔利出版《算术概要》——当时最全的数学汇编。他在书里下了一个断言：三次、四次方程的求解，就目前的手段而言，与化圆为方一样不可能。这不是他懒。二次配方靠的是「补成平方」，而三次要补成立方体：给 x³ 的立方体贴上 px² 的片，再补角块——补块的尺寸同时嵌进三个方向，平面拼图的直觉全部失效。

帕乔利错了两处。其一，三次方程可解，只是解法不再走「拼补」的路；其二，四次方程也可解。但他的断言里有一个正确的内核：老路确实走到头了。新解法必须另起一条路——先降阶，再回头。

另起一条路之前，还有一道更基本的障碍横在那里。下一面讲它。

十六世纪的代数有一条今天的人很难体会的规矩：系数必须是正数。负数不是数——「减号」只能出现在运算里，不能出现在数字表里。于是今天写成一个式子的问题，在当时是一族式子。以三次为例：

x³＋px＝q 是一种「立方与边之和等于数」；x³＝px＋q 是另一种「立方等于边与数」；x³＋q＝px 又是一种。仅含 x³、x 与常数的方程，在当时就分成好几类，每一类要有自己的口诀、自己的推导、自己的例子。如今教科书里的一页，在当时是一本书。

这不是古人的迂腐，是记法在设限。没有负数，就没有「移项到任一边」的自由；没有自由移项，就没有统一的 x³＋px＋q＝0。费罗、塔尔塔利亚、卡尔丹诺各自都要在这片群岛上一岛一岛地登陆——费罗先拿下了一种，塔尔塔利亚拿下了更多种。

本册为了叙述清楚，把公式统一写成今天的形式：x³＋px＋q＝0 的根为 x＝∛(−q/2＋√((q/2)²＋(p/3)³))＋∛(−q/2−√((q/2)²＋(p/3)³))。记住它，下一面看它是怎么从一块立方体的分解里长出来的。

三次方程的钥匙藏在一条恒等式里。把和的立方展开：

(u＋v)³＝u³＋v³＋3uv(u＋v)。

盯着它看一会儿，会发现一件惊人的事：右边也含着一个 (u＋v)。设 x＝u＋v，上式就是 x³＝u³＋v³＋3uv·x，移项成 x³−3uv·x−(u³＋v³)＝0。对照缺二次项的标准型 x³＋px＋q＝0，只要令 p＝−3uv、q＝−(u³＋v³)，那么任何这一类方程的根，都长成「两个数的和」：x＝u＋v。

于是问题从「解三次」降到「解两个条件」：已知 uv 与 u³＋v³，求 u 与 v。把 uv 立方，得 u³v³——两个量，和已知、积已知，它们恰好是某个二次方程的两个根。二次方程是老手艺。

这就是三次方程解法的全部骨架：把未知量劈成两半，让三次的麻烦摊给两个互为镜像的量，再借二次方程把两半各自捞回来。降阶——先化两次为一次，再化三次为二次。这条路在 1515 年前后被费罗走通，1535 年深夜被塔尔塔利亚独立走通，1539 年被卡尔丹诺学会。

具体怎么算？下一幕，用一道真实的题，一步一步走。

《大术》第十一章用的例题是 x³＋6x＝20。按 p.9 的骨架走一遍。第一步，令 x＝u＋v，恒等式给 x³＝u³＋v³＋3uv·x；对照原方程，取 3uv＝6、u³＋v³＝20，即 uv＝2、u³v³＝8。

第二步，u³ 与 v³ 的和为 20、积为 8，所以它们是 t²−20t＋8＝0 的两根：t＝10±√(100−8)＝10±√108＝10±6√3。于是 u＝∛(10＋6√3)，v＝∛(10−6√3)，公式给出的根是两个立方根之和。

第三步，把这两个立方根认出来。试算：设 u＝1＋√3，则 u³＝1＋3√3＋9＋3√3＝10＋6√3——恰好命中；同样 (1−√3)³＝10−6√3。所以 x＝(1＋√3)＋(1−√3)＝2。验算：2³＋6×2＝8＋12＝20。答案 2，一步不差。

注意最后一步的戏剧性：两个「长得不像」的立方根，相加之后√3 恰好抵消。这抵消不是巧合，是骨架里 uv＝2 预先安排的。公式不是碰运气，是造了一条让运气必然发生的路。

学来三次方程的人里，有一个年轻人盯上了四次的。费拉里，1522 年生，博洛尼亚人，十四岁进卡尔丹诺家为仆，主人发现他在抄写时偷学算学，索性收他为徒。1540 年前后，费拉里拿下了四次方程。

以 x⁴＋x²−4x−3＝0 为例走一遍他的想法。第一步，两边配成完全平方的形状：给左边加上 2kx²＋k²，写成 (x²＋k)²＝(2k−1)x²＋4x＋(k²＋3)。第二步，要求右边也是完全平方，其判别式须为零：16−4(2k−1)(k²＋3)＝0，展开即 2k³−k²＋6k−7＝0。这是一条三次方程——正是刚学到手的那一招。试 k＝1：2−1＋6−7＝0，命中。

第三步，代回：(x²＋1)²＝x²＋4x＋4＝(x＋2)²。平方相等，只能差一个符号：x²＋1＝±(x＋2)。取正号：x²−x−1＝0，解出 x＝(1±√5)/2；取负号：x²＋x＋3＝0，判别式为负，无实根。

验算 (1＋√5)/2≈1.618：6.854＋2.618−6.472−3＝0。四次方程降为三次、三次降为二次，两级楼梯一步不缺。这就是「公式」二字的分量：它是一条可以反复走的楼梯。

1543 年，卡尔丹诺与费拉里到博洛尼亚去，见到了费罗的女婿德拉·纳维，并翻阅了费罗的遗稿。他们在稿子里看到了费罗对三次方程的解法——比塔尔塔利亚的深夜早了大约二十年。

这件事改变了一切账目的性质。誓言约束的是「塔尔塔利亚的成果」；可如果解法另有源头，誓言的标的物就不再是秘密的全部。卡尔丹诺不是律师出身吗——他做了律师会做的事：保留自己的权利。1545 年《大术》在纽伦堡出版，三次方程的解法赫然在列，书里同时交代了两个源头：

「博洛尼亚的费罗发现了这一解法……此后威尼斯的塔尔塔利亚也独立发现了它。我们则按费罗的方法验证，并加入了自己的证明与推广。」

从出版规矩看，这段致谢其实相当规矩：源头有人、独立发现有人、自己的贡献如实报告。可从誓言的角度看，「不发表」三个字被绕过了——绕它的方式不是否认，而是归档：把塔尔塔利亚归进历史，把自己的行为归给学术。两边各自站在一条规矩上，而两条规矩相撞。

这一撞，撞出了后面六年的争吵。先把数学讲完，回头算这笔账。

以 x³＝15x＋4 为例，即 x³−15x−4＝0。先试根：x＝4 代入，64−60−4＝0，命中。根是 4——一个干干净净的正整数。另外两根也可求：整式除法得 (x−4)(x²＋4x＋1)＝0，二次部分给 x＝−2±√3，即约 −0.268 与 −3.732。三个实根，全部躺在这里。

现在走公式：对照 x³＋px＋q＝0，有 p＝−15，q＝−4。令 x＝u＋v，得 3uv＝15、u³＋v³＝4，即 u³v³＝125。于是 u³、v³ 是 t²−4t＋125＝0 的两根：t＝2±√(4−125)＝2±11√(−1)。

看这行算式：根号下是 −121。三个实根的方程，公式却让两个立方根都必须从负数开方里捞出来。若拒算 √(−121)，公式就断了；若硬算下去——下一面会看到——捞出来的恰好还是 4。

这不是公式错了。判别式可验：−4p³−27q²＝−4×(−15)³−27×16＝13500−432＝13068＞0，三个相异实根，与试根一致。公式与答案都对，中间地带出了问题——问题不在数学，在数的世界太小。

在写下「折磨」那句名言之前，卡尔丹诺先给自己出了一道题，写在《大术》第 37 章：把 10 分成两部分，使两部分的乘积等于 40。

按常规列式：a＋b＝10，ab＝40。于是 a、b 是 t²−10t＋40＝0 的两根，配方：(t−5)²＝25−40＝−15，即 t＝5±√(−15)。

照十六世纪的规矩，到此为止——没有这种数。可卡尔丹诺往下写了一步，写成两个具体的数：5＋√(−15) 与 5−√(−15)，然后做验算。和：(5＋√−15)＋(5−√−15)＝10，对；积：(5＋√−15)(5−√−15)＝25−(−15)＝40，也对。两个「不存在的数」，和与积都严丝合缝。

他写下的那句话，值得整句读：「把心灵的折磨放下：5＋√(−15) 与 5−√(−15) 相乘，得 25 减去负 15，即 40……这是极其精巧的算术。」折磨与精巧，写在一行里。

他把门推开了一条缝，没有走进去——他称这些量为「虚构的」，算完就搁下。真正走进去的人，在三十年后。下一面。

1572 年，博洛尼亚的水利工程师邦贝利出版《代数》。他是接到工地任务才学的算学，却把卡尔丹诺搁下的那片雾走了个来回。他从 p.21 的那道题出发：x³＝15x＋4，公式给出 u³＝2＋11√(−1)、v³＝2−11√(−1)，要开立方。

邦贝利的办法：假定「负数开方」也服从通常的运算法则，设 u＝a＋b√(−1)，把立方展开：

(a＋b√(−1))³＝(a³−3ab²)＋(3a²b−b³)√(−1)。

对照 2＋11√(−1)，要找 a³−3ab²＝2、3a²b−b³＝11。试 a＝2，b＝1：8−6＝2，12−1＝11——双双命中。所以 u＝2＋√(−1)；同理 v＝2−√(−1)。于是 x＝u＋v＝4，与试根一致。

看清这座桥的结构：出发在实数，落脚在实数，中间从虚数上过。虚数在此不是目的，是工序——像脚手架，楼盖好了，数是实的。但脚手架必须「当真」才架得住：运算规则一丝不苟。把不可能的量当真地算，是数学里反复出现的动作；负数、无理数、虚数，走的都是同一条路。

两枚骰子，每枚六面。关键一步是把「两枚」读成「一枚加一枚」：第一枚六种可能，第二枚六种，合起来 6×6＝36 种搭配，每一种搭配同样可能——这是计数的第一原则：先把所有均可能的情况数全。

第二步，数出每种点数和的搭配数。和为 2：只有（1,1），1 种；和为 3：（1,2）（2,1），2 种；和为 4：3 种；和为 5：4 种；和为 6：5 种；和为 7：（1,6）（2,5）（3,4）（4,3）（5,2）（6,1），6 种；然后对称回落：8 是 5 种，9 是 4 种，10 是 3 种，11 是 2 种，12 是 1 种。全表合计 1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36——与总搭配数对上，计数自洽。

于是「公平赌注」有了精确的意思：押「和为 7」，赢的机会是 6/36＝1/6；押「和为 2」，只有 1/36。同样一枚硬币大小的赌注，赔率差了六倍。凭感觉的人押大数或小数，会数的人押中间——规律不在骰子里，在计数的耐心里。

《论掷骰》的叙述正是这条路线：先列全 36 种，再列表计数，再谈公平。三百年后的概率论教科书，第一章仍是这三步。

《论掷骰》里有一个当时赌徒普遍算错的问题：掷一枚骰子，掷三次，至少一次出六的机会有多大？

直觉的算法是错的：「一次的机会是 1/6，三次就是 3×1/6＝1/2」。卡尔丹诺指出错处：机会不能简单相乘累加，因为事件会重叠——第一次出的六与第二次出的六，不能算两份赢面。

他的正确路数：反过来数「一次都没出六」。一次不出六的机会是 5/6；三次都不出六，机会是 (5/6)³＝125/216（三次相互独立，可以相乘——乘法要用在「都不出」上，不是用在「至少出」上）。于是至少一次出六的机会：

1−(5/6)³＝1−125/216＝91/216≈0.421。

比直觉的 1/2 小了约 8 个百分点。押这个局的公平赔率由此可算，赌桌上的常识就此改写。「从反面计数」这个手法，在今天的概率课上叫补集——第一次出现 systematic 的用法，就在这本抽屉里的手稿上。

同一套办法还能算更长的局：掷六次至少一次出六，是 1−(5/6)⁶≈0.665；掷四次至少一次出双六（两枚骰子），是 1−(35/36)⁴≈0.109。一个公式，管一整族赌局。

《论掷骰》末章碰了一个更深的题目，即后来著名的「分赌注问题」：两人对赌，先赢六局者取全部赌金；一方 5 胜、另一方 3 胜时赌局中止，赌金怎么分才公平？按已胜局数 5:3 分？直觉都这么说。可直觉是错的：3 胜的一方若继续赌，仍可能翻盘，分法应当看「剩下那些局」的机会。

卡尔丹诺走出了半步：他指出关键在未赌的局数，而不是已胜的局数——这一步方向完全正确。但他没有建立「未来各局所有可能结局」的计数框架，给出的数值也不对。问题被提对了，工具还差一件：需要一个能把未来每一局都「当作已经发生」来数的办法。

这件工具要等一百多年。1654 年，帕斯卡与费马就同一问题通信，各写出完整的解：列出中止点之后所有可能的未来对局（至多再赌几局必分胜负），按每种结局分配赌金，公平的分法就是按这些未来结局的份额分。以 5:3、先赢六局为例：至多再赌 3 局，未来结局共 2³＝8 种，其中 5 胜方在 7 种里最终得胜，故按 7:1 分——而不是直觉的 5:3。

史家把 1654 年那批信定为概率论的正日子；而 1564 年的抽屉手稿，是这批信之前唯一的系统尝试。差半步，也是走出来的。

把《论掷骰》与两百年后的概率论并排看，那条延伸线是这样走的。第一站：计数。36 种搭配、列表、公平赔率——本册 p.28 已走。第二站：期望。1657 年惠更斯把它写成定义：把每种结局的收益乘以它的机会，加起来——「和为 7 押一枚银币」的期望值可以直接算，公平赌注即期望为零。

第三站：大数定律。雅各布·伯努利 1713 年证明：同样的赌局重复极多次，频率会越来越贴近理论机会。「数出来的表」从此不只是记账，是预言。第四站：正态与误差——十八世纪的天文观测、十九世纪的统计，都站上了同一块地基。

回头给卡尔丹诺定位，有三句话可以说准。其一，他数对了：36 种搭配与反面计数，是后世一切的第一步。其二，他缺了概念：没有期望、没有独立性的一般定义，工具停在具体赌局。其三，他建立了姿态：机会可以被算，赌注应当被算——这套姿态在 1654 年之前，只在他一个人的手稿里。

差半步与早百年，说的是同一件事。

把第三幕那条「折磨」的线拉长，是一张值得整面抄下的谱系表：

1545，卡尔丹诺，5±√(−15)——写下它，称「虚构」，搁下。1572，邦贝利，∛(2＋11√(−1))＝2＋√(−1)——当数用，架桥。1637，笛卡尔，在《几何学》里给这类量起名「虚的」——名字带着贬义，可名字本身就是承认。1748，欧拉给出 e^iθ＝cos θ＋i·sin θ，1777 年引入记号 i——虚数从「工序」升格为「对象」。1799，高斯证明代数基本定理：每个多项式方程在复数里都有根——虚数成了所有方程的家。1831，高斯发表复平面：每个复数是平面上的一个点，加减乘除都是平面上的动作。

谱系表读到这里，可以为 p.22 那道「折磨」补一句结案：卡尔丹诺写下的两个「虚构的数」，今天叫复数共轭；它们和为 10、积为 40 的验算，今天叫韦达定理的一个特例。验算一步没错——错的只是当年数的世界太小。

还有一层更深的。三次方程迫人接住复数，而二次方程从不如此——若没有三次公式的「折磨」，复数或许还要在门外多站几百年。一个具体问题的解法，反过来改写了数本身：这是数学史上最漂亮的回旋之一。

今天翻开代数教材，会见到一件耐人寻味的事：三次求根公式印在课本里，却在实际解题中几乎不再被人使用。求三次方程的根，数值方法（试值、牛顿迭代）更快更稳。公式没有输——它换了个岗位：从计算工具变成理论地标。它证明的是一件比「算出来」更深的事：这一类方程有统一的解法。有此一证，后人敢于把目光投向更高次、更一般的方程。

公式还留下一个精巧的副产品：判别式。对 x³＋px＋q＝0，量 Δ＝−4p³−27q² 无须解方程，就报出根的底细：Δ＞0 三个相异实根；Δ＜0 一个实根配一对共轭复根；Δ＝0 有重根。验算本册出现过的三例：x³＋6x−20，Δ＝−4×216−27×400＝−11664＜0——一实根（2）配一对复根；x³−15x−4，Δ＝13068＞0——三实根；x³−3x＋2，Δ＝0——重根（1 为二重根，另一根 −2）。

这套「不解方程而知道根的形状」的手艺，后来长成伽罗瓦理论的方向盘：判断一个方程能不能解，比解它更根本。五次方程不可解性的证明，站在 p.15 那两级楼梯的肩膀上。