李善兰 · 垛积与尖锥
李善兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，1811 年生，1882 年卒于北京。他没有进过京师做官，没有出过洋，也没有拜过一位数学名家为师；大半生在乡间教书、在书铺里访书、在灯下演草，却在四十岁前后，把中国算学里最有生命力的两样东西——垛积与尖锥——推到了当时世界的水准线上。
本册的明线是四样。第一样，垛积：酒坛、米袋、棋子一层层堆起来，堆成一个三角形、一个方锥形，一共多少？他在《垛积比类》里给出一整套算法，把「一层层加起来」变成了公式。第二样，尖锥：一条曲线下的面积，可以看成无数条越来越短的线叠成的一个「尖锥」，他在《方圆阐幽》里用这个图像算出了幂函数的面积、算出了对数的级数——比微积分正式传入中国早了四十年。第三样，译书：他与伟烈亚力合译《几何原本》后九卷，补齐了徐光启留下的那半部书；又译《代数学》《代微积拾级》《谈天》，微分、积分、函数、级数这些词，就是他在这一步定下来的。第四样，素数：他在《考数根法》里讨论怎样判别一个数是素数还是合数，把数论问题带进了中国算学的视野。
暗线一句：从「术」到「理」。中国算学擅长给出可用的算法，李善兰做的事，是追问算法背后那个统一的道理——为什么三角垛的和总是某三个数相乘再除以六、为什么尖锥的积总是底乘高再除以一个整数；他把一堆看似各管一段的「术」，收进少数几条「理」里。他译书时坚持用「微分」「积分」这样的意译，也正是这个念头：学问要能长在自己的语言里。
本册分五幕：第一幕讲海宁的少年怎样从一部《九章算术》走到《垛积比类》（p.6—p.12）；第二幕讲尖锥求积术（p.13—p.19）；第三幕讲墨海书馆与三部译书（p.20—p.26）；第四幕讲同文馆、素数判定与晚年（p.27—p.33）；第五幕讲《则古昔斋算学》与他的身后（p.34—p.40）。
三层读法照旧：故事层无需预备知识；数学层只用到整数四则、乘方与简单的分数运算（p.7—p.9、p.14—p.16、p.21—p.23、p.28—p.30、p.35—p.37），每一步都从头展开；注疏层给出文献、卷次与版本源流，逐页可查。
嘉庆十五年冬，浙江海宁硖石镇的一户人家添了一个男孩，取名心兰，后改善兰，字壬叔。海宁在清代是文风极盛的地方，藏书之家多，书铺也多；王家算不上大户，但家塾里有一架供学子翻检的旧书。
据李善兰晚年自述，他十岁那年在架上翻到一部《九章算术》，读过之后以为「可不学而能」。这句话不是夸口——一个十岁的孩子当然不可能真懂《九章》，他懂的是那种口气：题目摆出来，答案算出来，中间不必绕弯。「可不学而能」五个字，说的是这部书的性格：它把学问做成了手艺。
《九章算术》成书于汉代，全书二百四十六道题，分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。每一章都是官府与民间要用的事：量田、换粮、分钱、开方、算土方、派徭役、算盈亏、解方程组、量距离。没有一道题是为了「有意思」而出的，可每一道题都把一类问题的算法逼了出来。
十四岁那年，他又读到一部更让他吃惊的书——《几何原本》的前六卷，徐光启与利玛窦在 1607 年译出的那半部。这部书的写法与《九章》完全不同：先立界说，再列公论，然后一条一条推下去，后一条压着前一条。一个少年同时读到这两种书，日后做事的路子大概就定了：既要能用，又想知道为什么能用。
这册的故事，从这两部书之间开始。
从十四岁到三十四岁，李善兰没有离开过浙江。他在海宁、嘉兴、杭州一带教书、做幕、访书，靠一份塾师的束脩养活自己。这二十年里，他做的是一件当时很少有人做的事：把中国算学从头到尾读一遍，再算一遍。
他读的书单后世大体可以复原：《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张丘建算经》，这是源头；秦九韶《数书九章》、李冶《测圆海镜》《益古演段》，这是宋元的高峰；梅文鼎的《历算全书》，这是清初的集大成；再加上明末传入的《几何原本》前六卷与《同文算指》。这份书单里有一个断口：宋元数学家最漂亮的那部分——天元术、四元术、垛积、招差——在明代几乎失传，清代学者是从残本与注文里一点点把它们拼回来的。
李善兰读书有个习惯：读一部，就用自己的话把里面的算法重写一遍；重写不通的地方，就是原著有错、或者自己没懂的地方。他把这种练习叫「演草」。据他自己说，二十几岁时演草积了几十册，多数后来散失了。这种笨办法练出来的，是别人没有的两样东西：一是对算式的直觉，二是敢改古书的底气。
与他来往的同道有顾观光、汪曰桢、张文虎等人，都是江南一带精于算学、兼通经史的读书人。他们没有学院，没有刊物，靠借书、抄书、通信联成一个圈子。1845 年，李善兰三十四岁，把自己这些年最要紧的三件东西写成三本薄书，一次交了出来。
后人在李善兰的著作里看到两条主线，一条通向他最出名的《垛积比类》，一条通向《方圆阐幽》。两条线的起点都在很日常的地方。
第一条线：堆起来。粮仓里的米袋一层压一层，最上一层一只，第二层三只，第三层六只，第四层十只——每一层都是一个三角形，每往下一层多一排。一共多少只？这样的堆放法在漕运、仓储、军营里天天出现，古书里叫「垛」。北宋沈括在《梦溪笔谈》里算过酒坛的堆法（他叫「隙积」），元代朱世杰在《四元玉鉴》里把垛积做成了一整套学问。李善兰要做的，是把这套散落的算法收成一条公式。
第二条线：切开看。一块曲边图形的面积怎么算？古人的办法是「割圆」——把圆割成很多小三角形，割得越细越接近。刘徽用割圆术算出了圆周率的近似值，祖冲之把它推到小数点后七位。可割圆只能对付圆和圆弧，碰上抛物线、双曲线下的面积就没办法了。李善兰换了一个图像：把这块面积看成无数条竖线并排站着，线一条比一条短，短到最后收成一个点——形状像一个尖锥。他把这个图像叫「尖锥」。
两条线看起来各管一段：一条数个数，一条算面积。李善兰后来发现，它们其实是同一件事的两种说法——垛积是「离散地加」，尖锥是「连续地加」，加的是同一串数，只是中间那一步有没有跨过去。这个发现，是这册书里最要紧的一处转折。
道光年间，江南的书铺里能买到的算书，大致分两类：一类是《九章》《孙子》这样的古本，好找；另一类是宋元人的著作，难找，而且多半残缺。朱世杰的《四元玉鉴》在清代已是稀见之本，李冶的《测圆海镜》稍好一些，也常有缺卷。李善兰要读的，正是后面这一类。
《四元玉鉴》成书于元大德七年（1303），全书三卷二百八十问，最要紧的是「四元术」——一次设四个未知数，列四个方程，再消成一个。书里还有大量垛积问题：茭草垛、果子垛、酒坛垛，一层层堆起来问总数。这些题目在明代几乎无人能读，因为「天元」「四元」的布算格式失传了，剩下的只是看不懂的记号。
李善兰读《四元玉鉴》读了很多年。他先从《测圆海镜》入手——那部书讲的是勾股容圆，细密而完整，可以用来反推天元术的布算规则；再把规则拿去解《四元玉鉴》，一句一句地对。这种读法很慢，慢到一年只能啃下几十问，但它能把失传的东西重新长出来。
1848 年，他把这些年算过的垛积问题整理成四卷，题名《垛积比类》。「垛积」是题目，「比类」是方法——把形状不同、层数不同的堆垛，按「第几乘」分成类，一类给一条公式。这部书后来被公认为中国垛积术的集大成之作，也是他一生最早成熟的作品。
先看最简单的一种堆法。米袋一层层码成三角形：最上一层 1 袋，第二层 3 袋（排成 1＋2），第三层 6 袋（1＋2＋3），第四层 10 袋。第 k 层的袋数，就是前 k 个自然数之和：
第 k 层 ＝ 1 ＋ 2 ＋ … ＋ k ＝ k(k ＋ 1) ÷ 2
四层加起来：1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 10 ＝ 20。若堆十层，一层层加：1、3、6、10、15、21、28、36、45、55，总和 220。层数一多，逐层加就笨了，古人要的是直接算出总数的公式。
公式是：
Sn ＝ n(n ＋ 1)(n ＋ 2) ÷ 6
验算一：n ＝ 4，4 × 5 × 6 ÷ 6 ＝ 20，与逐层加的结果一致。验算二：n ＝ 10，10 × 11 × 12 ÷ 6 ＝ 220，也一致。再看 n ＝ 5：5 × 6 × 7 ÷ 6 ＝ 35，而 1＋3＋6＋10＋15 ＝ 35。
这条公式为什么成立？李善兰的写法是「比类」：三角垛的第 k 层是「一乘垛」，它的和必定是三个连续整数相乘再除以六。他不是先猜公式再验算，而是从「层与层之间的差」一步步推出来——第 k 层与第 k−1 层的差是 k，而 k 本身又是一个等差垛的和。一层套一层，套到最外层，就套出了这三个连续整数。
换一种堆法：每层排成正方形。第一层 1 只，第二层 4 只（2×2），第三层 9 只（3×3），第四层 16 只，第五层 25 只。第 k 层就是 k × k，整垛的总数是前 n 个平方数之和。古书叫它「四隅垛」，因为每层四角各有一只，四面是斜边。
五层加起来：1 ＋ 4 ＋ 9 ＋ 16 ＋ 25 ＝ 55。十层则是 385。公式是：
Sn ＝ n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) ÷ 6
验算：n ＝ 5，5 × 6 × 11 ÷ 6 ＝ 55；n ＝ 10，10 × 11 × 21 ÷ 6 ＝ 385。两处都对得上。
再看一种：每层排成正方体。第一层 1 只，第二层 8 只，第三层 27 只——第 k 层是 k 的立方。四级立方垛的总和 1＋8＋27＋64 ＝ 100，恰好是 (1＋2＋3＋4)2 ＝ 100。立方垛的和等于「和之平方」，这条漂亮的关系古书早已记下，李善兰把它排进了自己的分类表里。
三座垛摆在一起，规律就露出来了：一乘垛（三角）的和是三个数相乘除以六，二乘垛（四隅）的和也是三个数相乘除以六，只是中间那个因子从 n＋1 换成了 2n＋1。除数总是六，因子按「乘数」变化——这不是巧合，李善兰要的就是这条线索。
把所有垛排成一张表，规律就清楚了。这张表就是贾宪三角（后世又称杨辉三角），每一行两端为 1，中间每个数等于肩上两数之和：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
斜着看：1＋3＋6＋10 ＝ 20；而在下一行，与 10 相邻的那个数是 20。再看：1＋4＋10＋20 ＝ 35，下一行相邻的数是 35。这条「斜列相加等于下一个」的规律，就是垛积的总纲。
写成公式：设第 k 层的数为 C(k＋p−1, p)（即从 k＋p−1 个里取 p 个的组合数），则
Σk=1n C(k＋p−1, p) ＝ C(n＋p, p＋1)
试三个 p 值。p ＝ 1：左边是 1＋2＋3＋…＋n，右边是 C(n＋1, 2) ＝ n(n＋1)/2，正是三角垛的层数。p ＝ 2：左边 1＋3＋6＋…，右边 C(n＋2, 3)，正是三角垛的总数——n ＝ 10 时为 C(12,3) ＝ 220，与 p.7 逐层加的结果相符。p ＝ 3：右边 C(n＋3, 4)，n ＝ 10 时为 C(13,4) ＝ 715。
一条公式，把三角垛、四隅垛、立方垛以及古书里叫不出名字的几十种垛全部收进去了。这是《垛积比类》真正的位置：它不是在添新题，而是给旧题找到了一个共同的根。
李善兰不是凭空出现的。他背后站着一场持续了一百多年的学风——乾嘉考据学。清代学者为了读通经书，把工夫下在校勘、辑佚、音韵、历算上；读经要读其中的天文历法，于是算学被当成「实学」捡了回来。
乾隆年间编《四库全书》，戴震从《永乐大典》里辑出《九章算术》《海岛算经》等久已失传的算书，写下《算经十书》；此后阮元编《畴人传》（1799），为历代天文算学家立传，第一次把「算学」当成一条独立的学脉来叙述。到李善兰成年时，江南的读书人圈子里，懂算学已经不再是怪癖，而是一种体面。
但考据学有一个天花板：它擅长把古书读对，不擅长把学问往前推。辑出一部宋元算书，校勘得字字有据，就算大功；至于书里的方法能不能用到新问题上，通常不在考虑之内。李善兰起初也在这条路上：他校《四元玉鉴》、注《测圆海镜》，做的都是「把古人的话读通」。
转折发生在他把垛积问题重算了一遍之后。他发现古书给出的答案虽然对，理由却常常是「如此如此，试之皆合」——合了，但不知道为什么合。他于是往前迈了一步：不只问「多少」，还要问「为什么是这个数」。这一步迈出去，考据之学就变成了创造之学。
把这一幕的两端摆在一起看：一端是粮仓里的一垛米，一端是纸上的一个数阵。中间隔着的，是一次视角的转换。
仓库里的人关心的是总数：这垛米有多少袋，够不够装船。他不需要公式，一层层数完就行；层数多了，数得慢一点，但总能数完。算学家关心的是关系：这一垛与那一垛，为什么总数都是三个数相乘再除以六？如果换一种堆法，除数会不会变？
李善兰做的，是把「数完」变成「算完」。这一步的意义不在于快——古代中国的仓吏并不缺时间——而在于一旦写成公式，问题就可以被搬走：搬到别的形状上（方垛、立方垛），搬到别的层数上（任意 n），搬到别的学问里去（下一幕的尖锥）。
他给这套办法取名「比类」。「比」是比较，「类」是分类：先把垛按形状分成类，再在类与类之间比较，找出那个不变的因子。这个方法后来被他用在了更抽象的对象上——曲线下的面积、对数的级数。所以这一页不是一个仓库故事，而是一整套方法论的起点。
一、一个人。李善兰十岁读《九章》，十四岁读《几何原本》前六卷，此后二十年自学不辍，靠「演草」练出了对算式的直觉。
二、一门学问的残本。宋元算学在明代散失，清代学者从残本里把它拼回来。李善兰读《测圆海镜》《四元玉鉴》，读法是把失传的布算规则重新推出来。
三、三座垛与一条公式。三角垛的和是 n(n＋1)(n＋2)/6，四隅垛是 n(n＋1)(2n＋1)/6，立方垛是 [n(n＋1)/2]2；三者被 ΣC(k＋p−1,p) ＝ C(n＋p,p＋1) 一条公式收尽。
四、一次转身。考据学把古书读对，李善兰要问的是为什么对。从「多少」到「为什么是这个数」，中国算学在这里拐了一个弯。
下一幕，他把同一套「比类」的办法，用在了一条曲线下的面积上——那就是尖锥。
道光二十五年（1845），李善兰三十四岁，把三部书稿交给书坊刻印：《方圆阐幽》一卷、《弧矢启秘》二卷、《对数探源》二卷。三部书都很薄，合起来不到十万字；但它们是同一个想法的三次试验。
《方圆阐幽》讲的是「方」与「圆」怎样互相转化——用尖锥术处理圆内接多边形与圆的面积关系。《弧矢启秘》讲弧与矢（弓形的弦与高）之间的换算，把三角学里的弦表、矢表用尖锥重算一遍。《对数探源》讲对数：为什么一张对数表可以用一个级数算出来。三本书的对象不同，用的却是同一件工具——尖锥。
刻书的过程并不顺利。李善兰当时没有官职，也没有富商资助，刻资靠友人凑；他自己校字、自己画图，据说连版式都亲自排过。书刻成后流传不广，几十年间只在江南算学家的小圈子里转抄。直到《则古昔斋算学》合刊，这三部书才被更多人读到。
但它们的命运很快就变了。1850 年代，来华的传教士与洋员中有人读过这几部书，惊讶地发现：这个没有出过国的中国读书人，用一套自己的图像，做出了与微积分同向的结果。这个评价后来成了李善兰进入墨海书馆的敲门砖。
要求一块曲边图形的面积，先要给它找一个「可算的形状」。李善兰找的形状是尖锥——一排竖线并排站着，高度从左往右按某种规律递减，减到右端收成一点。这些线排得越密，尖锥就越接近那块曲边图形。
他按「线的长短怎么变」给尖锥分类。如果第 k 条线的高是底边上对应长度的一次方，就叫「一乘尖锥」；是平方，叫「二乘尖锥」；是 n 次方，就叫「n 乘尖锥」。记号很朴素，意思是「高度按几次方变化」。
举一个具体的：底边长 3、左端最高 9，高度按平方递减——左端 9，中间 2.25（即 1.5 的平方），右端 0。这条曲线就是抛物线 y ＝ x2 在 0 到 3 之间的那一段。它是一个二乘尖锥。
关键问题：这样的尖锥，面积是多少？李善兰给出的答案是「底 × 高 ÷ (乘数 ＋ 1)」。二乘尖锥，就是底乘高再除以 3：9 × 3 ÷ 3 ＝ 9。而用今天的积分验算，∫03 x2 dx 也正好等于 9。
他凭什么得到这条法则？靠的是垛积。把尖锥切成许多薄片，每一片的面积近似是一个小矩形；这些矩形的面积排成一列数，恰好就是一个垛积数列。切片越薄，数列越长，而这个数列的和有公式——他在第一幕里已经算熟了。尖锥与垛积，在这里扣上了。
尖锥求积术：若一个 n 乘尖锥的底为 b、高为 h，则它的面积为
S ＝ b × h ÷ (n ＋ 1)
验算一（一乘尖锥，即三角形）：底 4、高 3，线高按一次方递减，形状是一个直角三角形。公式给 4 × 3 ÷ 2 ＝ 6；三角形面积公式给 4 × 3 ÷ 2 ＝ 6。一致。
验算二（二乘尖锥，即抛物线弓形）：底 3、高 9，y ＝ x2。公式给 3 × 9 ÷ 3 ＝ 9；积分给 ∫03 x2 dx ＝ 27/3 ＝ 9。一致。
验算三（三乘尖锥）：底 3、高 27，y ＝ x3。公式给 3 × 27 ÷ 4 ＝ 20.25；积分给 81/4 ＝ 20.25。一致。
验算四（单位底）：底 1、高 1 的 n 乘尖锥，公式给 1 ÷ (n＋1)；积分给 ∫01 xn dx ＝ 1/(n＋1)。对所有正整数 n 都成立。
更妙的是叠加。两个同底的尖锥叠在一起，积也相加：一乘尖锥（三角形）加二乘尖锥（抛物弓形），底同为 3，高分别为 3 与 9，面积 4.5 ＋ 9 ＝ 13.5；对应积分 ∫03(x ＋ x2)dx ＝ 4.5 ＋ 9 ＝ 13.5。这条「可加性」让李善兰能处理任意多项式曲线：把曲线拆成几个尖锥，分别算，再加起来。
《对数探源》要回答的问题是：对数表上的那些数，是怎么算出来的？纳皮尔造第一张对数表花了二十年，靠的是逐次开方与减法；李善兰给出的是另一条路——用尖锥。
他的出发点是双曲线。曲线 y ＝ 1/x 下、从 1 到某一点之间夹出的面积，正好量出了那个点的对数。这条结论今天写在微积分课本里（∫1t dx/x ＝ ln t），李善兰是用尖锥叠出来的：把这段面积切成许多薄片，薄片的高度按 1、1/2、1/3 … 递减，和就是一个级数。
他算 ln 2 用的级数是：
ln 2 ＝ 2 × (1/3 ＋ 1/81 ＋ 1/1215 ＋ 1/15309 ＋ …)
逐项算：1/3 ＝ 0.333333；1/81 ＝ 0.012346；1/1215 ＝ 0.000823；1/15309 ＝ 0.000065；1/177147 ＝ 0.000006。五项和 0.346573，乘 2 得 0.693147——与今日 ln 2 的值到小数点后六位全同。
这条级数收敛得极快：五项就到六位，十项可到十位。造表的人只需做加法与除法，不必开方。李善兰在书里说，依此法「对数可坐而得」。这不是夸口——他把一个需要二十年耐心的工作，变成了一道可以在灯下算完的题。
把李善兰的尖锥放到世界数学的坐标里，会看到一个耐人寻味的错位。
时间上，他晚了两百年。卡瓦列里在 1635 年提出「不可分法」——把面积看成无穷多条线之和，与尖锥的图像几乎一样；牛顿与莱布尼茨在 1660—1680 年代把它变成微积分，并发现了求积与求导互逆这条要害。李善兰的三部书刻于 1845 年，比卡瓦列里晚二百一十年，比牛顿晚一百八十年。
水平上，他走到了同一道门口。幂函数求积、尖锥叠加、对数级数——这三件事他都做出了正确结果；他用的「切薄片、加和、取极限」的思路，与定积分的定义在精神上一致。但他没有跨过最后那道门：没有把「求积」与「求导」认成一件事。所以他算得出 ∫03 x2 dx ＝ 9，却不会有「微积分基本定理」这个念头。
差的不是聪明，是一整套符号与语言。牛顿有 ẋ 与流数，莱布尼茨有 dy/dx 与 ∫；李善兰只有汉字与图。符号不是装饰，它决定了一个人能把什么样的操作写下来、传下去。这也是为什么，十一年后他会去上海译那几本书。
尖锥不是凭空冒出来的图像，它有一条很长的来路。《周髀算经》开篇就写「圆出于方，方出于矩」——圆是从方里裁出来的，方是用矩尺量出来的。这句话定下了中国几何的一个基本态度：曲的东西，要用直的东西去逼近。
刘徽注《九章》，把这句话变成算法：圆内接正六边形、十二边形、二十四边形……边数一倍倍翻，面积一步步逼近圆，这就是割圆术。祖冲之把 π 算到 3.1415926 与 3.1415927 之间，靠的就是这套逼近。
到了宋代，沈括在《梦溪笔谈》里提出「会圆术」，用弦、矢、直径互推圆弧长；元代郭守敬编《授时历》，用「弧矢割圆术」处理球面上的三角关系。这条传统的核心手法一直是「割」：把曲线割成许多小直线段，加起来逼近。
李善兰换了手法：他不割，他叠。割是把曲线切成小段，段是直的；叠是把面积切成窄条，条是竖的。两种办法在极限处等价，但「叠」有一个好处——每一条窄条都是矩形，矩形面积是底乘高，不会引入新的曲线。尖锥术之所以能一口气算到任意幂次，靠的就是这一点。它是中国几何传统里长出来的一枝，不是移植来的。
一、三本薄书。1845 年，《方圆阐幽》《弧矢启秘》《对数探源》同刻。薄，但三者共用一件工具。
二、一个图像。面积可以看成无数条越来越短的线叠成的尖锥；线高按几次方递减，就叫几乘尖锥。
三、一条法则。S ＝ b × h ÷ (n＋1)。三角形、抛物弓形、三次曲线弓形，四次验算全对。
四、一张表。双曲线下的面积就是对数；ln 2 ＝ 2(1/3 ＋ 1/81 ＋ 1/1215 ＋ …) ＝ 0.693147，五项到六位。
五、一个错位。他比卡瓦列里晚两百年，却独立走到了同一道门口；差的不是聪明，是符号。这一课，他在十一年后的上海补上了。
咸丰二年（1852），李善兰四十一岁，第一次到上海。他原本是为避乱而来——太平军已下江南，海宁一带不能安坐读书。到上海后，他听说城里有家「墨海书馆」，是伦敦会传教士开的印书局，印书用活字与机器，还养着几个懂算学的洋人。
墨海书馆在麦家圈，1843 年由麦都思创办，是近代中国第一家采用铅印机器的出版机构。馆里的洋人里，有一个三十七岁的英国人叫伟烈亚力（Alexander Wylie），1847 年来华，通汉文，能读中国算书，正在编一部中国文献的提要。
两人见面的情形没有详细记载，但结果很清楚：伟烈亚力读过李善兰的《对数探源》，知道这个中国人自己走出了尖锥术；李善兰则发现，这个洋人手里有几部书，正是中国算学缺的那几块。一个想要中国的算学，一个想要西方的算学，两人一拍即合。
他们的合作方式后世称为「对译」：洋人口述，华人笔受。伟烈亚力看着英文原书，把意思讲成汉语；李善兰听着，一边理解数学内容，一边写成文言，遇到中国没有的概念，就当场造一个词。一部书往往要磨上一两年。李善兰不通外文，伟烈亚力不通高深算学，可两个人合起来，把书译成了。
《几何原本》共十三卷（后世附增两卷，合十五卷）。1607 年徐光启与利玛窦只译了前六卷——平面几何的基础部分；后九卷一直空着，空了二百五十年。
后九卷讲什么？卷七至卷九是数论：最大公约数的求法（辗转相除）、素数的无穷性、比例理论。卷十是不可公度量：证明 √2 这类数不能用两个整数之比表示——这是希腊数学最锋利的一刀。卷十一至卷十三是立体几何：棱锥、圆锥、球、正多面体。
举三条最要紧的。其一，素数无穷：若素数只有有限个，把它们全部相乘再加 1，得到的数要么本身是素数，要么含有不在表中的素因子——两种情形都矛盾。故素数无穷多。其二，球体积：V ＝ 4/3 πr3，李善兰译作「球积等于三分之四乘圜周率乘半径之立方」。其三，正多面体只有五种：正四、正六、正八、正十二、正二十面体——这条结论在卷十三末尾，用每个顶点处平面角之和必须小于四直角来卡死。
译后九卷的难处不在算，在体例。欧几里得的写法是一条命题压一条命题，每一步都要引前面的界说或公论；中文没有对应的书写传统。李善兰的办法是把「论曰」写成严整的文言推理，界说、公论、命题、解、论依次排开，硬生生在文言里造出了一种「证明体」。
咸丰九年（1859），李善兰与伟烈亚力译成《代数学》十三卷，底本是英国德摩根（Augustus De Morgan）的《代数初步》。这部书把「用符号代替数」这件事讲透了——中国算学里也有未知数（天元、四元），但那是布算格式，不是符号运算。
差别在哪里？天元术的「元」只能布在算筹盘上，一个题目一个元；代数的 x 可以脱离具体题目，参与加减乘除、开方、移项，成为一个可以操作的对象。前者是「设未知数解题」，后者是「研究符号本身的运算规律」。
《代数学》里几条基本法则，中国读者是第一次见到：指数律 am · an ＝ am＋n；负指数 a−n ＝ 1/an；二项展开 (a＋b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2。这些式子在《垛积比类》里其实见过影子（贾宪三角就是二项系数），但那里是「数阵」，这里是「公式」，一字之差，用法全变。
书里最实用的一章是一元二次方程：ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根为
x ＝ [−b ± √(b2 − 4ac)] ÷ 2a
中国古法（开带从平方）能解同类问题，但要一步步布算；有了这条公式，方程的解成了一个可以直接写出来的式子。李善兰在译序里说，代数之妙在「以简御繁」——四个字，说中了符号的全部好处。
同一年，李善兰译成《代微积拾级》十八卷，底本是美国卢米斯（Elias Loomis）的《解析几何与微积分初步》。这是微积分第一次以完整的书的形式进入中文。书名里的「代」指代数，「微」指微分，「积」指积分，「拾级」是拾级而上——由浅入深的意思。
书分三段：解析几何（用坐标把曲线写成方程）、微分（求变化率）、积分（求面积与总和）。李善兰造了两个关键术语：「微分」指无穷小的增量，「积分」指把无穷多个微分加起来——「积」字既是「累积」，也暗合中国算学的「垛积」，用得极准。
举一个书里的标准例。求 y ＝ x2 的微系数（今称导数）：给 x 一个无穷小的增量 dx，则
dy ＝ (x ＋ dx)2 − x2 ＝ 2x·dx ＋ (dx)2
后一项是二阶无穷小，略去，得 dy/dx ＝ 2x。反过来，求 y ＝ x2 下的面积：把区间分成无穷多个 dx 宽的窄条，每条面积 x2dx，加起来得 x3/3。在 0 到 3 之间，27/3 ＝ 9——与第二幕用尖锥算出的结果完全相同。
这一步对李善兰本人的意义，比对中国读者的意义更大。他十九年前用尖锥摸到的答案，如今有了一套通用的写法：不必每次切薄片，只需写出原函数。他在译序里没有明说这层体会，但第二年就动手译《谈天》，把微积分用到天体上去了。
译书最难的一步，往往不是理解，而是给一个没有的东西起名字。英文的 function、differential、coefficient，中文里一个现成的词都没有。李善兰的办法是从古汉语里找字，按意思重新组合，而不是音译。
他造的这批词，今天还在用：函数（「函」是包含，一个量随另一个量而变，如函之含物）、微分与积分（取「微」「积」二字的本义）、系数（相伴之数）、常数与变数、级数、未知数、方程式、根、曲率、渐近线、切线、法线、抛物线、双曲线、椭圆、摆线。他还与韦廉臣合译《植物学》，造了「细胞」一词。
也有失败或改道的：他把 logarithm 译成「对数」（沿用旧译），把 algebra 译成「代数学」（日本人后来用「代数」），把 equation 译成「方程式」（今日简称「方程」）。有些词传下来了，有些被日本译名取代，还有些在两国之间来回搬家——近代中文科学术语的版图，一半是这时候画下的。
为什么坚持意译？他在《代微积拾级》序里说，译书如「借屋」，借来的屋子住不久。音译词是借屋，意译词是自己盖的屋——盖得再简陋，梁柱是自己的，日后能加层。这个念头，与他一生「从术到理」的追求是同一条筋：学问要能长在自己的语言里。
1607 年，徐光启与利玛窦译出《几何原本》前六卷。徐光启在序里写下一句被后人反复引用的愿望：「欲求超胜，必须会通；会通之前，先须翻译。」 翻完六卷，利玛窦劝他先停一停，说后九卷太难，译出来也没人读。这一停，就是二百五十年。
1857 年，李善兰与伟烈亚力把后九卷译完，在松江刊刻。两部书终于在纸面上接成了一部完整的《几何原本》。李善兰在序里没有夸张，只说了一句：徐文定公未竟之业，今始卒之。
这二百五十年里，中西两边各走了很远。欧洲有了解析几何、微积分、力学、天体力学；中国则经历了明清易代、文字狱、考据学的兴盛与算学的复苏。当李善兰在墨海书馆第一次看到 dy/dx 时，他面对的不是一部书，而是二百五十年的差距。
他的应对方式很特别：不是丢掉自己的东西去学，而是拿自己的东西去接。他用垛积理解级数，用尖锥理解积分，用「比类」理解分类，用「以简御繁」理解符号。正因为他手里有一套自己的算法，他才能在译书时判断哪些是真正的新东西，哪些只是换了个说法。这一点，是那些只会背诵洋书的人做不到的。
一、一次相遇。1852 年，上海墨海书馆，李善兰与伟烈亚力开始「对译」：洋人口述，华人笔受。
二、半部书补齐。1857 年，《几何原本》后九卷刊行；数论、不可公度量、立体几何进入中文，距前六卷已二百五十年。
三、三部大书。《代数学》（1859）给了符号，《代微积拾级》（1859）给了微积分，《谈天》（1859）给了新的宇宙图景。
四、一批词。函数、微分、积分、系数、级数、切线、渐近线——今天仍在用的术语，多定于此时。
五、一个判断。他不是丢掉自己的东西去学，而是拿垛积、尖锥、比类去接。手里有算法的人，才看得出什么是真新。
同治七年（1868），李善兰五十七岁，受聘为北京同文馆算学教习。同文馆是洋务派办的第一所新式学堂，1862 年设，最初只教外语；1867 年加设天文算学馆，争论了整整一年才开出来。
那场争论很凶。反对的人说：让科举正途出身的读书人去学洋人的算学，是「用夷变夏」；赞成的人说：洋人的船坚炮利，根子在算学，不学算学就造不出机器。最后算学馆还是开了，第一批学生大多是八旗子弟与低品官学生，年纪偏大，基础很薄。
李善兰在同文馆教了十四年，直到去世。他教的课从《几何原本》讲到《代微积拾级》，再到天文与力学；教材多半是他自己译的书，讲法也是他自己的：先讲一条「理」，再演几道「术」，最后让学生自己布算。据学生回忆，他讲课时声音不高，遇到学生算错，从不斥责，只在纸上把错处圈出来，让人自己重算一遍。
1869 年，他升任算学总教习，管算学馆的教学。这一个职位在当时并不显赫，俸禄也不算高；但它意味着「算学」第一次在中国有了一个常设的、带学位性质的教学位置。同年，他把《则古昔斋算学》的稿子重新整理，准备合刊。
李善兰把素数叫「数根」——数的根，不能再往下分的数。这个译法比后来的「素数」「质数」更形象：一个合数可以拆成几个数相乘，拆到最后拆不动了，剩下的就是根。
定义很干脆：大于 1 的整数，如果只有 1 与它本身两个因数，就叫数根。按这条定义，1 不算（它只有一个因数），2 是最小的数根，也是唯一的偶数数根——其余偶数都能被 2 整除。
一百以内的数根有二十五个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。从一到一百，数根越来越少，但永远不会没有——欧几里得在《几何原本》卷九已经证明过，李善兰把这条证明译进了后九卷。
找数根最古的办法是「筛」：把 2 的倍数划掉，把 3 的倍数划掉，把 5 的倍数划掉……剩下的就是数根。这个方法希腊人叫「埃拉托色尼筛」，中国算书里也有类似的「求一术」式的排除法。筛法笨，但可靠；它一条一条地排除，绝不会漏，也绝不会错。
问题在于：筛到什么时候停？如果要判断一个很大的数是不是数根，总不能把它的平方根以前的数根全试一遍。《考数根法》要解决的，正是「怎样少试几次」。
《考数根法》里最要紧的一条判据是：若 n 是数根，则 2n−1 除以 n 的余数必定是 1。写成同余式：
2n−1 ≡ 1 (mod n)
验一个真的：n ＝ 13，212 ＝ 4096，而 13 × 315 ＝ 4095，所以 4096 ÷ 13 余 1。通过。
验一个假的：n ＝ 15，214 ＝ 16384，15 × 1092 ＝ 16380，余 4，不是 1。立刻断定 15 是合数——不必试除，一步就到。
再验一个大的：n ＝ 91。要算 290，硬算是一位数二十七位的数，但可以逐步取余：26 ＝ 64，212 余 642 ＝ 4096 除 91 余 1（91 × 45 ＝ 4095）。于是 290 ＝ (212)7 · 26 余 1 · 64 ＝ 64，不是 1。91 被判定为合数——而它确实是 7 × 13。
这条判据有一个漏洞：它是必要条件，不是充分条件。有些合数也能通过检验——最小的例子是 341 ＝ 11 × 31，2340 除以 341 恰好余 1。这类数后来被称为「伪素数」。李善兰在书里没有把这条判据说成万灵药，他另给了辅助的排除法：先筛去小数根，再用这条判据复核。两层筛子叠起来，绝大多数合数都逃不掉。
筛法还有一个更基本的省力办法：判断 n 是不是数根，只需试到 √n 为止。理由是：如果 n ＝ a × b 且 a、b 都大于 √n，那么 a × b 就大于 n，矛盾。所以两个因数里必有一个不超过 √n——试到那里还没找到，就说明没有。
例一：97。√97 ≈ 9.85，只需试 2、3、5、7。97 是奇数（非 2）；数字和 16（非 3）；末位非 0、5（非 5）；97 ÷ 7 ＝ 13 余 6（非 7）。四个数试完，97 是数根。
例二：221。√221 ≈ 14.9，试 2、3、5、7、11、13。前五个都除不尽；221 ÷ 13 ＝ 17，整除。221 ＝ 13 × 17——若从 2 试到 13 共六次，就抓到了。
例三：1009。√1009 ≈ 31.8，要试 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31 共十一个数根。试完都不整除，1009 是数根（它确实是）。
这三个例子说明一件事：试除法的代价随 √n 增长。判断一万以内的数，最多试到 100，尚可手算；判断一亿以内的数，要试到一万，就得靠表或机器。李善兰的判据之所以可贵，正因为它把「试很多次」换成了「算一次幂再取余」——虽然不能全包，但能一口气筛掉绝大多数。
李善兰进同文馆的那一年，朝堂上正在吵一件事：读书人该不该学洋人的算学。这不是学术争论，是路线争论。
反对的一方以大学士倭仁为首，理由是「立国之道尚礼义不尚权谋，根本之图在人心不在技艺」；他们担心的是，一旦科举正途的读书人去学洋学，人心就散了。赞成的一方以恭亲王奕䜣为首，理由是「洋人制器，无一不自算学中来」。争论到最后，算学馆开了，但报名的人很少，且多是低品官学生。
这场争论里还有一种调和的说法，叫「西学中源」：说西方的算学本就出自中国，只是传过去又传回来。有人拿《周髀》比勾股，拿《九章》比方程，拿垛积比级数。这种说法在今天看是附会，在当时却有一个实际作用——它让学洋学的人不至于背负「用夷变夏」的罪名。
李善兰对这套说法态度很微妙。他确实相信中国算学有自己的根（尖锥、垛积都是证据），但他从不认为因此就可以不学。他在译序里反复讲的是「补其所未备」「取其所长」，而不是「吾固有之」。这是一个真正懂行的人的判断：知道自己有什么，也知道自己缺什么。
李善兰一生有两个身份：自己读书的人，和教别人读书的人。前半生是前者，后半生兼有两者。这个转变看似平常，对中国算学却是一件大事。
在他之前，算学是靠「家学」与「友朋」传的：一个人得到一部好算书，抄给几个朋友，朋友再抄给朋友。梅文鼎的学问传给儿子与孙子，戴震的算学传给弟子，李善兰自己也是靠借书、抄书学出来的。这种传承方式的好处是深，坏处是窄——一部书失传，一条学脉就断。
同文馆的算学馆是另一种样子：有课程、有年限、有考试、有教材、有教习。学生不必自己去访书，教材由教习选定；学得好的可以保举做官，学得差的要留级。这套制度把算学从「一个人的爱好」变成了「一门可以批量传授的学问」。
李善兰参与了这个转变，但他做的事还是老派的：自己编讲义，自己批作业，遇到好学生就单独讲。据同文馆的学生后来回忆，他不太会用新式的分班教法，更喜欢把几个人叫到案前，看他们布算，看到错处就圈出来。这种方式带不出大批学生，却带出了几个真正懂行的。
一、一个职位。1868 年入同文馆，1869 年任算学总教习，直到 1882 年去世——十四年。
二、一门新学问。他把素数叫「数根」，一百以内二十五个；筛法可靠但笨，试除只需到平方根。
三、一条判据。2n−1 ≡ 1 (mod n)：13 通过，15 被拒，91 被拒；341 是漏网的反例。必要而非充分，两层筛子叠用。
四、一场争论。算学馆开在「用夷变夏」的指责声里；李善兰的态度是知道自己有什么，也知道自己缺什么。
五、一次转型。算学从家学、友朋，走进课程与教室。
同治十一年（1872），李善兰六十一岁，把一生的算学著作合编成一部丛书，题名《则古昔斋算学》，二十四卷，收书十三种。「则古昔」出自《诗经》，意思是取法古人；「斋」是他书斋的名号。这个名字很能说明他的自我定位：他不是要另立门户，而是要接着古人的话往下说。
十三种书大致分四类。讲垛积尖锥的：《方圆阐幽》《弧矢启秘》《对数探源》《垛积比类》《尖锥变法解》《级数回求》。讲古算整理与注解的：《四元解》（解朱世杰四元术）、《麟德术解》（解唐麟德历）。讲曲线与测量的：《椭圆正术解》《椭圆新术》《椭圆拾遗》《火器真诀》。讲数论的：《考数根法》。另有《天算或问》一卷，是问答体的札记。
他把这些书合在一起，有一个明确的目的：让人看到一条线索——从垛积到尖锥，从尖锥到级数，从级数到椭圆与弹道。单看任何一本，都只是解决了一类问题；合起来看，是一套方法在不同对象上的反复使用。
丛书刊行后流传不广，但读过的人评价极高。华蘅芳说他的尖锥术「能于西人未言之先，独辟蹊径」；夏鸾翔受他影响，做出了中国最早的圆锥曲线研究。这几句话后来成了评价李善兰的标准说法：不是「中国的牛顿」，而是「在没有牛顿的地方，自己走到了同一个门口的人」。
《级数回求》解决的问题看起来很技术，其实是数学里最常遇到的一类：已知 y 用 x 表示的级数，怎样把 x 用 y 表示出来？ 用今天的说法，叫级数反演。
举个最简单的例。设
y ＝ x ＋ x2
已知 y 求 x，其实是解一个二次方程；但若 y ＝ x ＋ x2 ＋ x3 ＋ … 呢？方程的次数无穷，公式法用不上。李善兰的办法是「待定系数」：先假设
x ＝ y ＋ Ay2 ＋ By3 ＋ Cy4 ＋ …
再把这个式子代回 y ＝ x ＋ x2，逐项比较 y 的各次幂，定出 A、B、C。代进去算：x2 ＝ y2 ＋ 2Ay3 ＋ …；右边 x ＋ x2 ＝ y ＋ (1＋A)y2 ＋ (2A＋B)y3 ＋ …。要与左边的 y 相等，则 1＋A ＝ 0，2A＋B ＝ 0，逐条解出 A ＝ −1，B ＝ 2，C ＝ −5。于是
x ＝ y − y2 ＋ 2y3 − 5y4 ＋ …
验算：取 y ＝ 0.2，逐项算 0.2 − 0.04 ＋ 0.016 − 0.008 ＋ 0.00448 ＝ 0.17248；再加两项得 0.1698。而真解由 x2 ＋ x − 0.2 ＝ 0 得 x ＝ (−1＋√1.8)/2 ＝ 0.17082。级数的值与真解只差千分之几，且越往后越近。
这条方法的重要性在于通用：反演不依赖方程的次数，只依赖级数的系数。李善兰用它处理过对数的反求、三角函数的反求——今天叫「反函数的级数展开」，是分析学的基本工具之一。
《椭圆正术解》《椭圆新术》《椭圆拾遗》三书，是李善兰晚年用力最深的部分。椭圆有两个基本问题：面积好算（πab），周长难算——它没有初等公式。难处在于：椭圆的弧长积分算不出初等函数，只能用级数逼近。
设长半轴 a、短半轴 b，离心率 e 满足 e2 ＝ 1 − b2/a2。周长 C 的级数是：
C ＝ 2πa × [1 − e2/4 − 3e4/64 − 5e6/256 − …]
实算一个：a ＝ 5，b ＝ 4，则 e2 ＝ 1 − 16/25 ＝ 0.36，e ＝ 0.6。方括号内：1 − 0.09 − 0.006075 − 0.000455 ＝ 0.90347；乘以 2π × 5 ＝ 31.4159，得 C ≈ 28.384。
核对：用拉马努金近似式 C ≈ π[3(a＋b) − √((3a＋b)(a＋3b))]，代入得 π[27 − √(19×17)] ＝ π(9.0278) ≈ 28.362。两者相差 0.022，约万分之八——级数取三项已经够用。
李善兰的特别之处在于他不只用级数，还造了「术」：把椭圆的弧、面积、切线、法线分别列出算法，写成可以按步骤操作的条文，最后附上算例。《椭圆拾遗》里甚至有「已知弧长反求角度」的问题——那就是椭圆积分的反问题，只能用级数回求来做。三部书合起来，是一部关于椭圆的完整手册。
《火器真诀》是《则古昔斋算学》里最实用的一部。它讲的是炮弹怎样飞——仰角多少、初速多大、能打多远。在 1860 年代，这是洋务派最急着要知道的事。
理想的弹道是一条抛物线（不计空气阻力）。设初速 v、仰角 θ、重力加速度 g，则射程与最高点为：
R ＝ v2 sin 2θ ÷ g H ＝ v2 sin2θ ÷ (2g)
实算：v ＝ 100 米每秒，θ ＝ 45°，g ＝ 9.8。射程 R ＝ 10000 × 1 ÷ 9.8 ≈ 1020 米；最高点 H ＝ 10000 × 0.5 ÷ 19.6 ≈ 255 米。
换一个仰角：θ ＝ 30°，sin 60° ≈ 0.866，射程 10000 × 0.866 ÷ 9.8 ≈ 884 米；最高点 10000 × 0.25 ÷ 19.6 ≈ 128 米。仰角越小，射程越短，弹道越平——这就是炮手调角度的依据。
公式里最要紧的一句是 sin 2θ：它在 θ ＝ 45° 时取最大值 1，所以四十五度打得最远；30° 与 60° 的射程相同，只是弹道一个平、一个高。这条「四十五度最远」的结论，古人凭经验知道，李善兰给了它一个可以算出来的理由。
当然，真实炮弹要受空气阻力，射程远小于此，弹道也不再是抛物线。《火器真诀》没有处理阻力——它给的是「理」，不是「表」。这一点李善兰自己在书里说清楚了：算的是无阻力之常理，用时要按实测修订。
李善兰在同文馆的最后十四年，生活并不宽裕。算学总教习的俸禄有限，他又不肯收学生的贽敬，晚年的日子过得清简。据同文馆的同事说，他住的屋子很小，四壁都是书，桌上永远摊着算稿。
他的身体在七十岁后转坏。光绪八年（1882）十月，他在北京去世，年七十一。同文馆为他请恤，朝廷赐了恤金；友人为他整理遗稿，把未刻的几种抄本收了进去。
身后的事，有一件颇值得一说。他没有留下成体系的门派，也没有一个能接住他全部学问的弟子。华蘅芳、夏鸾翔各自做出了成绩，但走的是不同的路：华蘅芳偏重普及与教育，夏鸾翔偏重圆锥曲线，谁也没有把垛积、尖锥、译书、数论四样串起来。他这条学脉，到他为止。
这不是他的失败，是时代的转折。他之后，中国数学的传习方式变了：学堂取代书院，译本取代抄本，留学取代家学。新一代人可以直接读英文原版，不必再从《九章》与《四元玉鉴》里把方法重新推一遍。李善兰是最后一位「从古书里长出来的大家」，也是第一位「把西学译进中文的人」。这两个身份叠在一个人身上，此后不再有。
一个数学家留下什么？公式会过时，方法会被推广，著作会被重印或散失。但有一件东西留得最久：词。
今天的中学生在课本上读到「函数」「微分」「积分」「系数」「级数」「切线」「渐近线」，不会想到这些词是十九世纪五十年代在上海一间印书局的木桌上，一个不通外文的中国人和一个不通高深算学的英国人，一句一句商量出来的。词一旦定下，就成了一种公共财产——它规定了后来的人怎样思考，甚至规定了哪些问题看起来「自然」。
李善兰的词有一个共同点：都用汉字的本义去对应数学的含义，不用音译。「函数」取「函」的包含义，「微分」取「微」的细小义，「积分」取「积」的累积义。这套造词法后来被日本学者部分采纳、部分改写，再倒流回中国，形成今天中日两国术语「同形不同源」的复杂局面。
更深的遗产是他的方法：拿自己手里的东西去接外来的东西。他用垛积接级数，用尖锥接积分，用比类接分类。这不是「中学为体」的口号，而是一种真实的思想操作——只有真正懂一门学问的人，才知道它能接住什么。这一点，比任何一个公式都更难学。
一、一部丛书。1872 年《则古昔斋算学》二十四卷、十三种合刊，四类内容共用一套方法。
二、一条反演的法则。y ＝ x＋x2 反求 x ＝ y−y2＋2y3−5y4＋…，待定系数逐项定出。
三、一条算不完的曲线。椭圆周长 2πa[1−e2/4−3e4/64−…]，三项即准到万分之八。
四、一条抛出去的弧。R ＝ v2sin2θ/g，四十五度最远——经验变成了可算的理由。
五、一个身后。学脉至其身而止；但他造的词，今天还在每一间教室里被念出来。
把五幕串回一条线，正好是十九世纪中国算学的一段断代史。
1811，生于浙江海宁硖石。1821，十岁在家塾架上读到《九章算术》。1825，十四岁读《几何原本》前六卷。1845，《方圆阐幽》《弧矢启秘》《对数探源》三书同刻，尖锥求积术成立。1848，《垛积比类》四卷成书。1852，到上海，入墨海书馆，与伟烈亚力相识。1857，《几何原本》后九卷刊行，距前六卷二百五十年。1859，《代数学》《代微积拾级》《谈天》相继译成。1868，任同文馆算学教习。1869，升算学总教习。1872，《则古昔斋算学》二十四卷合刊，《考数根法》在其中。1882，卒于北京，年七十一。
七十一年，前半生是一个人的书房，后半生是一间教室。他把中国算学里最有生命力的两样东西推到了当时的水准线上，又把西方数学最要紧的几部书译成了中文——两件事他都做成了，但只来得及做一次。
时间线的下一格属于后来者：学堂取代书院，译本取代抄本，留学取代家学。他译下的那些词，留在了每一本教科书里。
李善兰的书分四类，各有各的读法。给不同的读者排四条路线。
只想知道他做了什么：读《垛积比类》的序与卷一——序讲他的方法，卷一讲三角垛的造表；不必通读四卷，看懂前二十问即可。配《方圆阐幽》十条，一部薄书一个下午能读完，尖锥的全套想法都在里面。
想看微积分怎么进来的：读《代微积拾级》的译序与卷十、卷十四——前者讲他为什么要译，后者讲微分与积分的定义。译本用文言、竖排、汉字标幂次，读起来慢，但能看到一个新学问第一次被写成中文时的样子。
想看数论：读《考数根法》卷一。《数根》的定义、筛法、以二试之的判据，都在这一卷；卷二卷三是算例与辨难，可以跳读。想看曲线与弹道：读《椭圆正术解》与《火器真诀》，前者细密，后者实用。
四条路线殊途同归：他一生的书都在讲同一件事——把可用的算法，收进可讲的道理里。
本册收在三道题目上——它们在他那个年代悬着，今天仍各有各的悬法。
其一，为什么没有跨过那道门？尖锥术算出了 ∫03x2dx ＝ 9，却没有发现求积与求导互逆。差的不只是符号，还有一整套「把操作写成式子」的习惯。这个问题今天仍然值得追问：一门学问的语言形式，究竟在多大程度上决定了它能走多远。
其二，素数判定还有多快？李善兰的「以二试之」是必要条件，绕不过伪素数；二十世纪有了概率判定与 2002 年的 AKS 多项式算法。但他的问题没有变：怎样用尽量少的计算，判断一个数是不是根。今天的密码学每天都在算这道题。
其三，意译与音译，哪条路更远？他坚持意译，造出了「函数」「微分」「积分」；同一时期日本多用意译加汉字组合，另有大批音译词后来被淘汰。术语是思维的模具：词选得准，后来的人想得顺；词选得偏，整代人要绕路。这是语言问题，也是数学问题。
第一幕那条公式，可以用一把棋子亲手验出来。材料：围棋子或硬币二十枚、一张桌面。
步骤一：摆第一层 1 枚。步骤二：第二层摆 3 枚（1＋2），压在下面。步骤三：第三层摆 6 枚（1＋2＋3）。步骤四：第四层摆 10 枚（1＋2＋3＋4）。数一数总数：20 枚。
公式给的是同一个数：
4 × 5 × 6 ÷ 6 ＝ 20
再加一层：第五层要 15 枚，总数 35；公式 5 × 6 × 7 ÷ 6 ＝ 35。再往下想：第十层要 55 枚，十层总 220；公式 10 × 11 × 12 ÷ 6 ＝ 220。
为什么每层多出来的数正好是层号？第四层比第三层多 4 枚（10−6），第五层比第四层多 5 枚（15−10）。多出来的那一排，长度就是层号——所以第 k 层的数，等于前 k 个数之和。一层套一层，套到最后，就是那三个连续整数。
追问一步：如果每层摆成正方形（1、4、9、16、25），五层是多少？55。公式 5 × 6 × 11 ÷ 6 ＝ 55。同一把棋子，可以摆出两种垛，验两条公式。
第二幕那条「底乘高除以三」的法则，可以用方格纸亲手逼近。任务：量出 y ＝ x2 在 0 到 3 之间的面积。
步骤一：画坐标轴，横轴 0 到 3，每 0.5 一格。步骤二：描点 (x, x2)：0、0.25、1、2.25、4、6.25、9。步骤三：连成曲线，曲线下方就是待量的面积。
步骤四：用小矩形去填。每格宽 0.5，取每格左端的高度作矩形高：0.5 × (0 ＋ 0.25 ＋ 1 ＋ 2.25 ＋ 4 ＋ 6.25) ＝ 0.5 × 13.75 ＝ 6.875——这是「不足」的估计。改取右端的高度：0.5 × (0.25 ＋ 1 ＋ 2.25 ＋ 4 ＋ 6.25 ＋ 9) ＝ 0.5 × 22.75 ＝ 11.375——这是「有余」的估计。
真值被夹在中间：6.875 ＜ 面积 ＜ 11.375。而李善兰的公式给 3 × 9 ÷ 3 ＝ 9，正在两者之间。
步骤五：把格子切细。若把区间分成 n 份，上下两个估计之差恰好是 27/n：n ＝ 6 时差 4.5（与上面 11.375−6.875 相符），n ＝ 12 时差 2.25，n ＝ 60 时差 0.45。格子越细，两头越挤，真值被夹得越紧——这就是「尖锥」的全部秘密。
垛积：把物品按层堆垛后求总数的问题。宋元算书已有，李善兰《垛积比类》集其大成，按「乘数」分类给公式。
比类：李善兰的方法论——先按形状分类，再在类间比较，找出不变的因子。其法相当于先造差分表、再由差分反求通项。
隙积：沈括《梦溪笔谈》中的堆垛求积法，垛积术的前身；「隙」指堆垛内部看不见的空隙。
尖锥：李善兰造的求积图像——把一块面积看成无数条递减的竖线叠成，形如尖锥。线高按 n 次方递减者称「n 乘尖锥」。
尖锥求积术：S ＝ b × h ÷ (n＋1)。与今日 ∫0hxndx ＝ hn＋1/(n＋1) 同值。
数根：李善兰对素数的称法——「数之不可析者」。一百以内二十五个。
以二试之：《考数根法》的判据，2n−1 ≡ 1 (mod n)；必要而非充分，341 是著名反例。
级数回求：已知 y 关于 x 的级数，反求 x 关于 y 的级数；李善兰用待定系数法逐项定出。
微系数：《代微积拾级》中对导数的译名，今已不用，代之以「导数」或「微商」。
函数：李善兰定译，取「函」之包含义；今为数学最常用的词之一。
对译：墨海书馆的译书方式——洋人口述，华人笔受，遇到新概念当场造词。
则古昔斋算学：李善兰自编算学丛书，二十四卷十三种，1872 年刊于上海。
人物
李善兰（1811—1882）：本册主人公。字壬叔，号秋纫，浙江海宁人。同文馆算学总教习，《则古昔斋算学》的作者，《几何原本》后九卷的译者。
伟烈亚力（Alexander Wylie，1815—1887）：英国伦敦会传教士、汉学家。与李善兰合译《几何原本》后九卷、《代数学》《代微积拾级》《谈天》《重学》。
韦廉臣（Alexander Williamson，1829—1890）：英国传教士，与李善兰合译《植物学》，「细胞」一词出于此。
韩应陛（？—1860）：松江藏书家，出资刊刻《几何原本》后九卷，世称「韩刻本」。
华蘅芳（1833—1902）：晚清数学家，译《代数学》《微积溯源》，评李善兰尖锥术「独辟蹊径」。
夏鸾翔（1823—1864）：晚清数学家，受尖锥术影响，著《万象一原》，研究圆锥曲线。
戴煦（1805—1860）：与李善兰同时的算学家，独立研究对数与级数，二人有通信往还。
主要书目
李善兰：《则古昔斋算学》二十四卷（1872）；《几何原本》后九卷（与伟烈亚力合译，1857）；《代数学》十三卷（1859）；《代微积拾级》十八卷（1859）；《谈天》十八卷（1859）。
本册反复出现一个字：积。它在三处出现，写法各异，其实是一件事。
第一处，垛积（p.7）：一层一层的数加起来。1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 10——加的是整数个物件，加数有限，答案精确。这是「离散地积」。
第二处，尖锥（p.15）：一条一条的线叠起来。线有无穷多条，每条有长无宽，加起来得到的是面积。这是「连续地积」——李善兰没有「极限」这个词，他用「叠至无穷」四个字代替。
第三处，积分（p.23）：∫03x2dx。同一个面积，写成一行符号，一步算出 9。这是「符号地积」——有了一套写法，就不必每次重新切薄片。
三种写法的关系，正好是数学抽象的三级台阶：先数个数（离散），再量面积（连续），最后写成式子（符号）。李善兰走完了前两级，走到第三级门口站住了。而他译的那几本书，把第三级的写法带进了中文——他自己没能用上几年，后来的人用了整整一百五十年。
公案一：尖锥术有没有受过西方影响？有「传入说」与「独立说」两派。传入说主张尖锥与西方不可分法形似，可能间接受明末清初译书影响；独立说指出尖锥的表述、术语、论证路径全是中国式的，且李善兰当时未见过微积分著作。学界目前的通行看法是独立所得，但承认「形似」确实存在——数学史上，同一个想法在不同地方出现，并不罕见。本册取独立说。
公案二：后九卷的署名与刊刻。译本署「伟烈亚力口译，李善兰笔受」，实际数学内容的理解与表述主要出自李善兰；刊刻者是松江韩应陛，不是墨海书馆。后世有「李善兰独译」与「二人合译」两说，较持平的说法是：没有伟烈亚力的底本与口述，译不成；没有李善兰的算学与文言，也译不成。
公案三：李善兰恒等式的归属。《垛积比类》中有一批组合恒等式，二十世纪被西方学者重新发现并命名为「李善兰恒等式」，其组合证明迟至现代才给出。争议不在归属，而在「他是否意识到这是一般恒等式」——原书的写法是逐类造表，未必自称为定理。这一点，读原书比读转述更清楚。
延伸阅读：钱宝琮《中国数学史》第七编（李善兰专章）；李俨《中国算学史》第十一章；梅荣照《李善兰的尖锥求积术》（《自然科学史研究》1983 年第 2 期）；郭世荣《李善兰垛积术与有限差分法》；沈国威《近代中日词汇交流研究》第四章；伟烈亚力《中国文献纪要》算学类。
这一册讲一个人在没有师承的条件下，把一门老学问往前推了一步，又转身去把另一门新学问译进来。这件事是给孩子的第一课：学问不必等人来教，书在那里，路就在那里。
全书的主线只有一句话：堆起来的东西可以算，切开来的东西也可以算——算得出来，就说得清道理。故事从一个孩子在书架上翻到一部古书讲起，讲到一层层堆起来的米袋、一条越收越窄的尖锥，讲到上海印书局里两个语言不通的人怎样把一部书磨出来，讲到最后十四年的一间教室。孩子读完能带走的东西：一座亲手摆出来的三角垛、一张亲手量出来的尖锥面积图，以及「先分类、再比较」这个笨而有效的办法。
数学层的部分家长可以放心：本册只用整数四则、乘方、简单的分数与开平方，连「极限」都只用「叠至无穷」四个字代替，没有符号运算的先修要求。如果孩子只读故事层，他也能完整读完一条传记线：自学、著书、译书、教书——五幕独立成立。
暗线「从术到理」是留给大人的部分：会做一件事，和知道这件事为什么这样做，是两层境界。前者能养家，后者能传下去。这句话适用于算学，也适用于任何手艺。
一、为什么米袋要堆成三角形？带孩子看一次真实的堆垛——水果摊的橘子、仓库的箱子——问他：为什么这样堆不容易塌？答案在力学里：底层承重最大，所以最宽。再问：一共多少个？这就从生活走进了 p.7 的公式。聊的重点不是算对，是让他发现「堆放方式」本身有规律。
二、一张纸能叠出多少个「无穷」？把一张纸对折，再对折，折到第七次就很难了。问孩子：如果能折三十次，厚度是多少？答案是超过珠峰（0.1 毫米 × 230 ≈ 107 公里）。这是「指数」的手感，也是尖锥里「叠至无穷」的日常版——无穷不是一个大数，是一种越叠越快的趋势。
三、如果新学的东西没有中文名字？这是李善兰天天面对的问题。可以玩一个游戏：给孩子一个他没见过的物件（比如一个夹子、一个量角器），让他自己起名字，并说出理由。他会发现：起名不是随便叫，而是要先看懂它是干什么的。这就是「函数」「微分」这些词的来历——先懂，再命名；名字起得准，后来的人学得顺。
三件事都不需要课本，只需要一次散步、一张纸、一个游戏。读完这册书，最好的结果不是记住「李善兰是谁」，而是对「一件事为什么可以这样算」多了一点好奇。
《数学家的故事》第三辑 第 27 册
李善兰 · 垛积与尖锥
体例：五幕 · 52 页 · 三层可读（故事／数学／注疏）
插画：40 幅（留白线体）
数值：全册关键数值实算复核
本册为「格物致知」系列数学通识读物之一，面向全龄读者。
故事层无需预备知识；数学层对应小学高年级至初中；注疏层供检索与延伸。
格式 · 格物致知 · JUST FOR FUN