赵爽，字君卿，约三世纪人。传本《周髀算经》署「汉赵君卿注」，此外关于他的一切都是空白：籍贯不明，生卒不明，做过什么官、跟谁学过、死于哪一年，一概无考。留下来的只有注文——以及注文里的一张图。
本册的明线有五样。第一样，弦图：一个边长等于斜边的正方形，里面放四个全等的直角三角形，中间留下一块小正方形。图一画出来，勾股关系就变成了面积关系。第二样，朱实与黄实：四个三角形涂朱，中间那块涂黄；朱实四块加黄实一块，正好等于弦实——这是赵爽的原话，也是他的证明。第三样，勾股：短边叫勾，长边叫股，斜边叫弦，三个名字系在一条关系上。第四样，开方：知道面积求边长，古人用「实」与「方」两个字来说这件事。第五样，日高术：两根表、两条影子、一个影差，把量不到的高度算出来。
暗线一句：一张图就能承担一次证明。多数人学勾股定理，是记住 a2 + b2 = c2，然后代入数字验算；赵爽做的事情不一样——他给出一张图，让人看见为什么必然如此。图在这里不是插图，图是论证本身。
本册分五幕：第一幕讲这部书的来历与一个只剩名字的人（p.6—p.12）；第二幕讲弦图怎么拼、等式怎么成立、三组数怎么验（p.13—p.19）；第三幕讲实、方、从三个字与开方术（p.20—p.26）；第四幕讲两根表如何量出日高（p.27—p.33）；第五幕讲这张图后来的遭遇（p.34—p.40）。
三层读法照旧：故事层无需预备知识；数学层只用到整数、平方与简单比例（p.7—p.9、p.14—p.16、p.21—p.23、p.28—p.30、p.35—p.37），每一步都从头算起；注疏层给出原文、版本与文献，逐页可查。
南宋嘉定六年，也就是 1213 年，一位叫鲍澣之的官员在汀州刻了一套算书，后世称为《算经十书》。这套刻本里，《周髀算经》排在前面，二卷，正文大字，注文小字，两种字号排在同一页上。
书的开头是一段对话。周公问商高：听说大夫擅长算数，请问古时候伏羲是怎样定下天度的？商高从「圆方」讲起，讲到矩，讲到一句话——「句广三，股修四，径隅五」。勾长三，股长四，斜边正好五。
这句话常被当作勾股定理的最早记载。严格说，它还不是定理，它是一个数组：三、四、五，恰好能围成一个直角三角形。数组可以验证，却还没有回答「为什么」。
小字注文就在这句话下面。注很长，长到把正文压在纸的上半截；注里提到一张图，叫弦图；注里还算了几笔面积。写注的人，就是赵爽。
麻烦在于图本身。注文说「案弦图」，可这张图在传抄中时有时无——有的本子只剩文字，图丢了；后来的刻本按注文的意思又把它补画出来。所以今天看到的弦图，样子出自后人之手，道理却写在注里。
一页纸上，大字是经，小字是注，图在注的旁边。这一册要讲的，就是这几行小字如何把一句口诀变成一次证明。
三、四、五之外，还有别的数组。五、十二、十三；八、十五、十七；七、二十四、二十五。每一组都能围成直角三角形，每一组都满足「两短边的平方和等于长边的平方」。这样的数组有无穷多组，一组一组验下去，永远验不完。
这就显出「口诀」与「证明」的分界。口诀说的是「这一组成立」，证明说的是「所有组都成立，而且不可能不成立」。前者靠算，后者靠理。赵爽要做的，是后一件事。
他的做法不是写一串命题，而是画一张图。图的构造是：取一个边长等于斜边的正方形，在里面摆四个全等的直角三角形，让它们的斜边贴着大正方形的四条边。四个三角形转一圈，中间自然空出一块小正方形。
赵爽把四个三角形叫「朱实」，涂朱红；中间那块叫「中黄实」，涂黄。他的原话是：「勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实。」——朱实四块，加黄实一块，拼成弦实，也就是斜边上的那个大正方形。
这一步之所以是证明，在于它没有依赖任何一组具体的数。设勾为 a、股为 b、弦为 c，四个朱实各是 ab/2，黄实的边长是 b − a，于是 c2 = 4·(ab/2) + (b − a)2。右边展开，正是 a2 + b2。代入哪一组数都成立，因为它压根没有代入。
这就是那一代人的方式：不写「设任意」，而是让图替自己说「任意」。图一摆好，谁来看都一样，这便是普遍性。
看赵爽，有两条线。
第一条线：拼图。面积可以搬、可以叠、可以相加。四个三角形加一块小方，等于一个大方——这条线靠眼睛，靠「移动不改变面积」这个几乎人人默认的事实。它给出的是一幅画，也是一次论证。
第二条线：开方。知道一块正方形的面积，反过来求它的边长。这条线靠算，靠「实」与「方」两个字：面积叫实，边长叫方，开方就是从实里求出方。它给出的是一串步骤，可以照着做，做完能验。
分工也很清楚。木匠下料，拿的是开方那一条：量出两条直角边，算平方和，开方，得到斜边的长度。学者讲理，拿的是拼图那一条：四个三角形一摆，为什么成立就不用再说了。两条线各管一头，谁也不能替谁。
两条线在同一个地方碰头：弦实是 c2，弦是 c；把四个朱实与黄实拼成弦实，是拼图；从弦实开方得弦，是开方。同一件事，一手画，一手算。
这一册就在这两条线之间走。第二幕走第一条，第三幕走第二条，第四幕把它们用到天上——用两根表和两条影子，把量不到的高度算出来。
先说这部书，和那个只留下名字的人。
《周髀算经》成书于西汉，约公元前一世纪。它讲的是天：怎么用一根杆子量日影，怎么从影子推算太阳的高度，怎么把一年的长度定下来。书名里的「髀」是股骨，也指测影的杆——同一个字，一半是人的身体，一半是地上的木头。
书主张一种宇宙模型，后人叫「盖天说」：天像一顶斗笠盖在上面，地像一只倒扣的盘子。这个模型后来被浑天说取代，但书里的算法留了下来——因为影子不会骗人，量多长就是多长。
到赵爽手上时，这部书已经传了三百年。三百年间它靠抄写流传：一片片竹简用绳编起来，抄错一个字，后面的推算就全歪；绳断了，简乱了，还得重新排。所以古代的书都有「注」——不是给人看热闹的，是给书保命的。
注的体例很特别。正文大字，注文小字，两行并排夹在正文下面。注可以只解释一个词，也可以一口气写几百字，把正文没说的话全补上。在经学的传统里，注是贴着别人的文本说话的；说得再好，名义上也只是「解释」。
赵爽读到的开头，是周公与商高的一段问答。周公问：古时候伏羲是怎样定下天度的？商高从圆方讲起，讲矩，讲出一句话——勾长三，股长四，斜边正好五。
书里写下了这组数，书里没有说为什么。三、四、五能围成直角，这是可以量出来的；可为什么恰好是这三个数，换一组还行不行，书里一个字也没有。赵爽要补的，就是这个空。
一个直角三角形有三条边，古人给每条边都起了名字。
短的那条直角边叫「勾」，长的那条叫「股」，斜边叫「弦」。勾是弯曲，股是大腿，弦是弓弦——三个字都是从实物借来的。弓弦绷在弓的两端，恰好是那条斜边；股是站立时最直的那一段；勾是弯过来的那一段。
这套名字比公式早得多。它先有物，再有形，最后才有数。所以古书里不说「直角三角形的两条直角边」，只说「勾」与「股」——听的人眼前先有一个站直的人，再有一条绷紧的弦。
工匠手里另一样东西叫「矩」，就是曲尺。矩的两条边成直角，用它画方、量直、定水平。商高说「折矩以为句广三，股修四，径隅五」——把矩折过来，取勾三、股四，斜边自然就是五。
没有矩的人怎么办？后世工匠有一个办法：取一根绳，打成十三个等距的结，围成一个三边分别是三段、四段、五段的三角形，最长边所对的角就是直角。三加四加五等于十二，正好用完绳上的十二段，余一个结收口。
这个办法能用，靠的正是勾股关系反过来成立：三边符合 32 + 42 = 52 的三角形，一定是直角三角形。工匠不必知道为什么，绳一拉紧，直角自己就出来了。知道「怎么用」与知道「为什么」，中间隔着一次证明——这正是下一幕要跨过去的那一步。
三、四、五能用。五、十二、十三也能用：25 + 144 = 169。八、十五、十七也能用：64 + 225 = 289。这就像在山里捡石头，捡到一块、两块、三块，都能用；可捡到什么时候才算完？
口诀的麻烦在这里：它只能一组一组地给，给不出「所有」。一组数验一次，验一百组是一百次，验一万组也还差着无穷多组。只要有一组反例藏在后面，前面所有的验算都白费。
而且古人并不缺数组。三、四、五是小的；五、十二、十三稍大；到了「勾」与「股」相差很小的情形，数字会变得很长——长到用算筹要摆满一桌子，长到算错一位就全盘皆错。靠穷举，路走不通。
于是有两条路可选。第一条：找一个办法，把所有的数组一次造出来，再造的时候顺便证明它一定合格。第二条：不造数组，直接证明「凡是直角三角形，两条直角边的平方和必等于斜边的平方」——不谈具体的数，只谈边与边的关系。
赵爽走的是第二条。他跳过了「有多少组」这个问题，直接去问「为什么每一组都成立」。这个跳跃看着像是绕远，其实是唯一能走通的路：不谈数，就不必一个一个数。
跳到这一步，手上得有个东西替自己说话。代数还没发明，符号还没有；能用的只有图形与面积。于是有了那张图。
赵爽的注文里有一句话，是全册的枢纽：「勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。」
这句话拆开看，是三个术语加三个动作。「勾股各自乘」——勾自乘，股自乘，各得一个数；「并之」——把两个数加起来；「为弦实」——这个和叫弦实；「开方除之」——对弦实开方；「即弦」——得到弦。
关键在「实」这个字。「实」在古算里指被开方的那个数，也就是面积。勾自乘得勾实，是一个正方形的面积；股自乘得股实，是另一个正方形的面积；两者相加得弦实，是第三个正方形的面积。三个「实」，是三个方块。
于是「并之」不是抽象的加法，而是把两个方块拼在一起；「开方」也不是抽象的运算，而是把拼好的方块还原成一个边长。整句话用面积的语言说了一遍，又用数的语言说了一遍——同一件事，两种说法。
这就是注文的高明处。它没有另起一套理论，只是把正文里的「三、四、五」换成了「勾、股、弦」，再把「勾、股、弦」换成三个方块。换完之后，具体的数消失了，普遍的关系留了下来。
但光有这句话还不够。「并之为弦实」——凭什么两个方块加起来正好等于第三个方块？这一步不能靠说，只能靠看。所以要画图。
赵爽没有自己的书。他一生做的事，是给别人的书写注。在看重「立言」的传统里，这不是一件显赫的事——注排在经后面，字号小一半，作者署名往往只有三个字。
可注有一个好处：它不必从头建立一个体系，可以直接在最要紧的地方停下来，把话说完。经是给所有人读的，注是给肯停下来的人读的。写得好的注，比经更难，因为它没有地方躲。
赵爽的注就有这个特点。正文说「径隅五」，他就问：为什么是五；正文给了三个数，他就把三个数换成三个方块；正文没有图，他就画一张图。每一步都贴着原文，每一步都往前走了一寸。
于是出现一个奇特的结果：经流传了两千年，注也流传了两千年；可真正把「勾三股四弦五」变成一条定理的，是那几行小字。后人读《周髀》，读的是经；学勾股，学的是注。
这也是一种「造物」。他没有造一个新学科，他造的是一张图——一张可以独立于文字、自己把道理说完的图。图一旦画成，就不再需要注者站在旁边解释；谁来看，图都对他说同样的话。
一张图能承担一次证明。这句话在这一幕还只是假设，下一幕要把它拆开，一块一块地验。
第一幕走了三条线。
第一条是一部书。《周髀算经》讲天、讲影、讲一年的长度；它有一套自己的语言——髀、矩、勾、股、弦。这套语言是为测量造的，不是为证明造的。
第二条是一句口诀。「句广三，股修四，径隅五。」它准确，好用，可以教给工匠；它也给不出「为什么」，更给不出「所有」。
第三条是一个只留名字的人。字君卿，约三世纪，注了这部书。他没有生平，只有注文；注文里有一句话、一张图。
三条线在同一个地方碰头：那句「勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦」。它用书的语言（勾、股、弦），回答了口诀的问题（为什么），出自那个没有生平的人之手（注）。
碰头之后，问题就变了。原来问的是「三、四、五对不对」，现在问的是「为什么两个方块加起来等于第三个方块」。前一个问题用算筹回答，后一个问题只能用图回答。
下一幕就去看那张图：四个三角形，一块黄，怎么摆，怎么算，为什么摆好之后就不用再算了。
一、《周髀算经》是一部讲测量的书，它的名字、术语、问题都从量天而来。勾、股、弦三个字，本来是弓、腿、弦的实物名。
二、「勾三股四弦五」是数组，不是定理。数组能验，不能证；能答「这一组」，不能答「所有组」。要跨过这一步，得换一种说法——不谈数，谈边。
三、赵爽用注完成了这次替换：把数换成边，把边换成方块，把加法换成拼合。替换的产物是一句话和一张图。
下一幕拆图：四个朱实，一块黄实，一个弦实——它们凭什么正好相等。
赵爽的注文开头是两个字：「案弦图」。「案」是察看、依据的意思。他面前有一张图，他要看着这张图说话——不是随手画个示意图，而是把图当作依据。
图的构造极简单：拿四个一模一样的直角三角形，转着摆一圈。第一个摆正，第二个转九十度，第三个再转九十度，第四个再转。四个的斜边朝外，正好贴着外面那个大正方形的四条边。
摆好之后，中间空出一块。这块空地不是设计出来的，是四个三角形「让」出来的——每一个都占去一角，中间自然剩下一个小方块。赵爽把它涂黄，叫「中黄实」。
这一步的关键在于「一样」。四个三角形必须全等：同样的勾，同样的股，同样的弦。有一个不一样，中间的空隙就不是方块，图也就不成立了。所以这张图的第一个前提，是「任取一个直角三角形，复制四份」——这个动作对任何直角三角形都做得到。
这就是图能说「任意」的秘密。它不画某一个特定的三角形，它画的是「随便哪一个」：勾可以长一点，股可以短一点，图的样子会变，但摆法与关系不变。
下一步要问两件事：中间那块空的，边长是多少；四个三角形加一块黄，面积怎么算。答完这两问，等式就出来了。
设勾为 a，股为 b，且 b > a；弦为 c。每个三角形的两条直角边就是 a 与 b，斜边是 c。
先算边长。大正方形的每一条边上，被两个三角形各占去一段：一段长 a，一段长 b，因为四个三角形是转着摆的，勾与股必然交替挨着。整条边长是 c，那么中间那块的一边，就是长段减短段——b − a。四条边都这么算，四条边一样长。
再定形状。有一个极省事的办法：把整张图绕中心旋转九十度。大正方形转九十度还是自己；四个全等的三角形互相换了位置，看上去与原来一模一样；既然三角形都没变，中间剩下的那块也只能与原来重合。
一个四边形，绕自己的中心旋转九十度后与自身重合——它只能是正方形：四条边被转到了彼此的位置上，所以等长；四个角被转到了彼此的位置上，所以相等；内角和三百六十度，四等分就是每角九十度。
还有一条更直观的旁证。四个三角形围成一圈，中间没有缝隙：大正方形的每个顶点处，恰好是一个勾对角与一个股对角相接，而这两个角相加正好九十度，与正方形顶点严丝合缝。外面没有缝，里面才有一块完整的空地。
边是 b − a，角是直角，这块黄实的面积就是 (b − a)2。下一件事，把四块朱与一块黄加起来。
面积可以相加。大正方形被四个三角形和中间的小方块完全分尽，不重叠，不留缝。所以：
弦实 ＝ 四个朱实 ＋ 一个黄实
逐项写出来。大正方形边长是弦 c，面积是 c2。一个三角形的两条直角边是 a 与 b，面积是 ab/2，四个就是 4 × ab/2 = 2ab。中间小方边长 b − a，面积是 (b − a)2。于是：
c2 ＝ 2ab ＋ (b − a)2
把右边展开。(b − a)2 = b2 − 2ab + a2。代回去：
c2 ＝ 2ab ＋ b2 − 2ab ＋ a2 ＝ a2 ＋ b2
2ab 与 −2ab 正好抵掉。抵掉这两个项，是整张图最妙的地方：四个三角形在面积上「互相抵消」，剩下的只有两个正方形。所以朱实看着占了图的大半，其实一点也没留下。
为什么非得四块？两块对拼，只能得到一个矩形，矩形的四条边围不出一个正方形；三块摆不成一圈，总差一个角。四块刚好：每块占一条边，转一圈回到原处，中间留下一个完整的空。这个「四」不是随手定的，是围成一圈所需的最少数。
这就是赵爽注文那几句话的算式形态：「勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四」——一个三角形是 ab/2，两个是 ab，四个是 2ab；「以勾股之差自相乘为中黄实」——(b − a)2；「加差实亦成弦实」——两者相加等于 c2。
注文形容这个构图，用了四个字：环而共盘——四个朱实环绕一圈，同处一弦实之盘。这四个字里没有一个数目：盘可大可小，三角形可胖可瘦；只要四块全等、直角朝里、首尾相接，这句话就站得住。
整条推导也没有用过一个具体的数。a、b、c 可以是任何一组勾股弦，只要 b > a。三、四、五并不在图里——图里只有一条长边、一条短边，和它们夹出的直角。这就是「证明」与「验算」的分别：验算代入数字，证明带走字母。
公式是普遍的，验算还得落到具体的数上。四组数，四遍，一遍不省。
第一组：勾三，股四，弦五。四个朱实：4 × (3 × 4 ÷ 2) = 24。黄实：(4 − 3)2 = 1。相加 24 + 1 = 25，而 52 = 25。合。
第二组：勾五，股十二，弦十三。四个朱实：4 × (5 × 12 ÷ 2) = 120。黄实：(12 − 5)2 = 49。相加 120 + 49 = 169，而 132 = 169。合。
第三组：勾八，股十五，弦十七。四个朱实：4 × (8 × 15 ÷ 2) = 240。黄实：(15 − 8)2 = 49。相加 240 + 49 = 289，而 172 = 289。合。
第四组：勾七，股二十四，弦二十五。四个朱实：4 × (7 × 24 ÷ 2) = 336。黄实：(24 − 7)2 = 289。相加 336 + 289 = 625，而 252 = 625。合。
还有一条约定要注意：弦图要求股大于勾。若勾比股长，把两个名字对调即可，图照样成立；若两者相等，中间那块就缩成一点，图退化成四个等腰直角三角形（p.44 会再遇到这个情形）。所以公式写作 a2 + b2，不写「长边的平方加短边的平方」——加法不分长短。
四组里有一处巧合值得看一眼。第二组的黄实是 49，第三组的黄实也是 49——因为 12 − 5 = 7，15 − 8 = 7，两条弦不同，勾股之差却相同。同一块黄实，可以配出两条不同的弦：169 − 49 = 120，289 − 49 = 240，两个朱实面积差一倍，黄实却不变。
第四组的黄实突然变大：289，几乎和朱实 336 一样多。因为勾股相差十七，差得越多，中间那块就越大。图会变得很挤，四个三角形瘦长，中间空出一大块。但等式照样成立——这就是「普遍」的意思：图的样子可以千变万化，关系一动不动。
图能证明，靠的是一条几乎不用说出口的事实：把一块图形挪个位置，它的面积不变。
这条事实太朴素，朴素到容易被当成废话。可它是整张图的地基：四个三角形之所以能「加」起来，正因为它们挪进大正方形之后，面积一点没少；中间那块黄之所以能「补」，正因为它是剩下的全部。若移动会改变面积，图就一句话也说不出。
与此相对，代数的证明靠的是另一套东西：符号的变形。(b − a)2 展开成 b2 − 2ab + a2，靠的是分配律；2ab 与 −2ab 抵掉，靠的是加法逆元。每一步都是符号按规则走，与图形长什么样无关。
两条路都通，但气质不同。代数说「算出来给人看」，图说「指出来给人看」。算的那条路要求人信规则；指的那条路要求人信眼睛。赵爽选后者，因为他手上的工具只有矩与筹，没有字母。
这也带来一个代价。图证依赖「看见」，而看见是有条件的：图得画得准，位置得摆得对，中间不能有含糊。一张画歪了的图，能「证」出任何结论。所以图证比代数证更依赖画图人的诚实。
这里要替古人说一句公道话。后世读赵爽，常有一个疑问：注文里翻来覆去只举三、四、五，是不是只验了一个特例？不是。特例是用来开门的，门开了，走的是通衢。弦图对四个三角形从未规定尺寸：勾股之差可以是 1，也可以是 17（p.16 第四组），图会一个宽松、一个拥挤，等式却一动不动。注文的算式里也没有一处依赖 3、4、5——它依赖的只有「四块全等」「直角朝里」「首尾相接」这三件事。
那么古书为什么偏爱举例？因为举例在古代算书里担的是「让人上手」的差事，不是「代替证明」的差事。《九章算术》二百四十六题，题题都是具体数目，可每条术文都是普遍的：术文说「以所有率乘所求率」，不说「以三乘四」。先给一个摸得着的例子，再让人自己往上走——这是文体，也是教法。《论语》说「举一隅不以三隅反，则不复也」：举一隅是教的人做的，反三隅是学的人做的。把例子当成全部，是停在了门口；把它当成入口，才走到屋里。后世误读赵爽，多半是停在了门口。
可它也有代数比不上的好处。图证的结论是「一眼」到手的：不用跟着一串变形走，看完就明白为什么。这种「明白」不是记住了公式，而是看见了结构。两千多年后的人再画这张图，仍然一眼能懂——这正是图的力量。
把第二幕的四步并排看，会发现一件怪事：整场证明里，没有出现过任何一个具体的数字。三、四、五没出现，五、十二、十三也没出现；出现的只有 a、b、c 与两次「相加」。
可它偏偏对所有的数字都成立。这就是「不算而算」：不比划具体的量，反而管住了全部的量。算术是「一个一个地管」，图证是「一次全管」。
另一件怪事是：证明的每一步都能在图上指出来。「2ab」指的是那四块朱红；「(b − a)2」指的是中间那块黄；「c2」指的是整个大方。三个符号，三块颜色，一一对上。
于是图与算式不再是两套东西。算式是图的另一种写法，图是算式的另一张脸。看算式的人得到一条可以推演的公式；看图的人得到一次可以直接理解的说明。两条路通向同一个结论，这就是交汇。
交汇处还留着一个问题：既然弦实可以拼出来，那么反过来——知道弦实，怎么求出弦？拼图给的是「等于」，开方才能给出「多长」。下一幕走另一条线：从面积回到长度。
一、弦图的构造：四个全等直角三角形首尾相接，斜边贴外框，中间余下边长 b − a 的正方形。图对任何直角三角形都画得出，所以它说的是「任意」。
二、等式：c2 = 4·(ab/2) + (b − a)2 = a2 + b2。2ab 与 −2ab 相抵，朱实全部消失，只剩两个正方形。
三、图证的根据是「移动不改面积」；它的长处是一眼明白，短处是依赖图画得准。代数与图证，是同一结论的两张脸。
下一幕换一条线：既然弦实是 c2，那么从弦实开方，怎么得到 c。
第二幕结束时，手上有一个等式：c2 = a2 + b2。它说的是面积——斜边上的那个大方块，等于两个直角边上的方块之和。
可工匠要的不是面积，是长度。他要一根多长的木头，才能撑住那个斜边；他要一段多长的绳，才能围出那个直角。面积回答了「多少方」，没回答「多长」。
从面积到长度，中间隔着一个动作：开方。已知一个正方形的面积，求它的边——这件事在古算里叫「开方术」，是《九章算术》「少广」章的第一件事。它的地位，相当于今天的开平方运算，只是当时没有计算器，全靠筹棍一根一根摆。
这一步之所以重要，是因为它把「关系」变成了「数」。关系是普遍的，数是具体的：c2 = a2 + b2 对所有的直角三角形都成立；a = 3、b = 4 时 c = 5，这就是一个可以拿去做事的数。
于是同一件事有了两副面孔。拼图给的是「为什么等于」，开方给的是「等于多少」。前者让人明白，后者让人用得上。缺了哪一副，这件事都不完整。
这一幕走第二条线：先看开方怎么做，再看它怎么解出一类方程，最后看这些数排成什么队伍。
拿一个具体的数走一遍：一一五六，开方。答案本来就知道是三十四，但过程要一步一步摆出来，因为方法比答案值钱。
第一步，定十位。三十四的平方是四位数，所以答案有两位。先看前两位「十一」：三三得九，不超过十一；四四十六，超过十一。所以十位是三。
第二步，减。三十的平方是九百，从一千一百五十六里减掉，余二百五十六。这二百五十六，是「原来的大方减去已经定下的三十见方」剩下的那一块。
第三步，定个位。剩下这块的形状是两条带子加一个小角：两条带子各是三十乘个位，小角是个位自乘。所以它的面积是 2 × 30 × x + x2，其中 x 是个位。
这三块，古人有专门的名字。刘徽注开方术，把已定下的大正方形叫「方」，两侧的带子叫「廉」，角上那一小块叫「隅」。方、廉、隅，三个字，正好对上三块面积。开方的每一步因此不是照着口诀拨筹，而是在图上把一块一块补上去：先立一方，再添两廉，末了补一隅。算法与图形在这里是同一件事的两种写法。
这套名字用了近千年。南宋秦九韶《数书九章》讲「正负开方术」，解高次方程时仍按「方」「廉」「隅」称呼各项——名称能沿用这么久，说明它指的不只是三块面积，而是一整套按位置分块的算法结构。图不是讲解时后加的插图，它本来就是算法的底稿。
第四步，试。取 x = 4：2 × 30 × 4 = 240，42 = 16，相加 256。正好等于余数。所以个位是四，答案三十四。
验回去：342 = 1156。写成算式是 (30 + 4)2 = 900 + 240 + 16——九百是十位的方，二百四十是两条带子，十六是角上那一小块。开方就是把这三块还原成一个边。
这套动作今天写在纸上，叫竖式开平方；古人用筹棍摆，摆法不同，道理一样：先定高位，再逐位往下试，每一步都用「两块带子加一个角」来核对。会了这个，才算真的会用勾股定理——因为 c = √(a2 + b2) 这一步，靠的就是开方。
开方术只管一种情形：一个正方形，求边。可实际问题常常是「一个正方形加一条带子」，求边——这就多出了一项，古人叫「带从开方」，「从」就是跟着的那条带子。
看一个具体的例子：x2 + 12x = 64。左边是「一个边长 x 的正方形」加上「一条宽十二、长 x 的带子」；右边是总面积六十四。
硬试也能试出来：x = 4 时，16 + 48 = 64。可试出来的答案不算方法。古人用的是「补角」：把那条带子劈成两半，分别接在正方形的两条邻边上。
十二的一半是六。把宽六的两条带子接到正方形相邻的两边，右上角还缺一块六乘六的小方。补上这块小方，整个图形就成了一个边长 x + 6 的大正方形。它的面积是：
(x + 6)2 = x2 + 12x + 36 = 64 + 36 = 100
于是 x + 6 = 10，x = 4。补上的那个三十六，正是「配方」这个动作在图上干的事：它不是凭空加一个数，而是在缺角处真的补上一块方。
赵爽自己的注里，就有一个现成的用例。他求勾时写：「以差实减弦实，半其余，以差为从法，开方除之，复得勾矣。」「以差为从法，开方除之」，正是带从开方。设勾为 x，股与勾之差为 d，这句话写成算式是：
x2 + dx ＝ (c2 − d2) / 2
左边是「一个方加一条带」，右边是一个已经能算出的面积。把 c2 = a2 + b2 与 d = b − a 代进右边，得 (a2 + b2 − b2 + 2ab − a2)/2 = ab；左边代入 x = a，得 a2 + (b − a)a = ab。两边相等，勾就解出来了。公式不是先有、再拿图来解释的——它本身就是从图上读出来的：黄实加两廉，正好拼成一个以勾为长、以股为宽的矩形。
这套办法后世发展成「增乘开方法」，能解三次、四次乃至更高次的方程。但在赵爽的时代，它还是一块一块补出来的图形：带子劈两半，缺角补小方，方补全了，边就出来了。代数里的「配方」，名字就是从这儿来的。
三、四、五是一组。六、八、十也是一组——把前一组每条边都乘二。九、十二、十五同样，乘三即可。这样的「放大版」要多少有多少，但它们其实是同一组数的不同尺码。
真正有意思的是那些不能再约的：三条边互素，没有公约数。三、四、五是一组；五、十二、十三是一组；八、十五、十七是一组；七、二十四、二十五也是一组。这些叫本原勾股数。
它们可以由两个数造出来。取两个正整数 m 与 n，要求 m > n，且一奇一偶，然后令：
勾 = m2 − n2 股 = 2mn 弦 = m2 + n2
验一下为什么一定成立。把前两个平方相加：
(m2 − n2)2 + (2mn)2 = m4 − 2m2n2 + n4 + 4m2n2
中间两项 −2m2n2 与 +4m2n2 合起来是 +2m2n2，于是：
= m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2
正好是弦的平方。取 m = 2, n = 1 得 3、4、5；取 m = 3, n = 2 得 5、12、13；取 m = 4, n = 1 得 15、8、17；取 m = 4, n = 3 得 7、24、25。前面验过的四组，全在这里。
这个通式晚于赵爽，不可算作他的成果。但它说明一件事：那些散落的数组并不是碰巧，它们是一族，由一个简单的动作生成。赵爽没有走到通式，他用图证明了「每一组都成立」；后人补上了「怎样把每一组造出来」——两步合起来，才是一幅完整的图景。
同一个关系，可以画成一个方块的拼合，也可以写成一串开方的步骤。这两种说法，哪一种更「真」？
图说的是「为什么」：四个三角形加一块黄，正好铺满整个大方，中间没有空隙，外面没有多余。这件事，看过的人就懂了，不需要记任何公式。它的力量在于「一次说清」，短处在于「必须看见」。
算式说的是「多少」：把 a 与 b 代进去，开方，得到一个数。这个数可以量、可以锯、可以造桥。它的力量在于「可以执行」，短处在于「不解释为什么」。
古人没有把两者对立起来。赵爽注里既有图，也有算式：图在前，算式在后；图给根据，算式给结果。他从不觉得需要二选一。
这种态度后来丢过一次。宋元之后，图渐渐从算书里退场，只剩口诀与算式；到了明清，许多人会算勾股，却说不出为什么。图被当成了「给小孩子看的示意图」，它的论证身份被忘掉了。直到近代学者重新整理古算书，才把图从插图的位置上取回来。
形与数，本来就是同一件事的两面。看见形的人，得到理解；算出数的人，得到用处。一册书若只给其中一面，读者就只拿到一半。
把第二幕与第三幕并排放在一起。
第二幕走的是「拼」：四个朱实加一个黄实等于弦实，展开抵消，得 c2 = a2 + b2。它给出的是一个恒等式——对所有的直角三角形都成立，与具体数值无关。
第三幕走的是「开」：把 a 与 b 的平方和算出来，开方，得 c。它给出的是一串动作——照着做，就能得到一个长度。
两条路的交点，是那个「弦实」。拼图把它算出来，开方把它拆开。算出来的是面积，拆开的是边长；面积是「多少方」，边长是「多长」。同一个方块，两种问法。
实际用起来，两条路各有各的场合。造桥的人要的是数：跨度多少、料下多长，必须开方算出来。教书的人要的是理：学生问「凭什么」，必须把图摆出来。同一个人，上午在工地上开方，下午在纸上画图，两件事并不矛盾。
这也是本册反复出现的那句话的实处：一张图能承担一次证明，可一张图不能代替一把尺。图回答「为什么」，尺回答「多长」；缺了图，人只会算不会想；缺了尺，人只会想不会做。
还有一层对照值得放在这里。同一个恒等式，西方另有一份更早也更完备的文本。《几何原本》卷二命题四：「一直线任两分之，其元线上直角方形，与两分线上直角方形并，及两分线矩内形二，并等。」写成今天的式子，就是 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2，一分不差。卷二通篇都是这类「形与数」的恒等式，命题四正是完全平方的原型。
两个传统在这里显出差别。希腊把它立成一条命题，独立成立，可以反复引用；中国把它化进一套算法，藏在「方、廉、隅」三个字里，每算一步就重现一次。一个把恒等式供在架上，一个把恒等式使在手里——而两边画的其实是同一张图：大方、两带、一角。
下一幕把这两样一起搬到户外：用一根杆、两条影子，去量一个够不着的高度。那时图与算都要用上——图给比例，算给数。
一、开方是从面积回到长度的动作。一千一百五十六开得三十四，靠的是「先定十位、再定个位」，每一步都用「两带加一角」核对。没有开方，勾股定理只能看，不能用。
二、带从开方处理「方加一条带子」：x2 + 12x = 64 补上 62 得 (x + 6)2 = 100，x = 4。「配方」这个名字，来自真的补上一块方。
三、勾股数是一族，不是一堆。本原数组可由 (m2 − n2, 2mn, m2 + n2) 生成，通式晚出，不可归给赵爽；赵爽给的是「每组都成立」的证明，后人补的是「怎样造出每组」的生成法。
下一幕出门：一根八尺的杆，两条长短不一的影子。
古人量天，用的不是望远镜，是一根杆。杆叫「表」，也叫「髀」，高八尺——大约一个人的高度再多一点。立在地上，太阳一照，旁边就有一条影子。
影子每天都在变。早晨长，正午短，傍晚又长；夏天短，冬天长。这些变化先被用来定节气：影最长的那天是冬至，最短的那天是夏至。一年的长度，就是从一个冬至到下一个冬至。
可影子还能干另一件事。它不只回答「现在是什么时候」，还回答「太阳有多高」——只要知道怎么从影长换算出高度。
换算的根据，是一条几乎不用说出口的事实：太阳离得极远，射到地上的光线可以看成彼此平行。平行光打在同样的杆上，影长与杆高之比就固定——杆高两倍，影长也两倍。
于是有了一个比例：表高比影长，等于「太阳比表高的那段」比「表到太阳正下方的水平距离」。这个比例里，表高是已知的，影长是量得到的；不知道的只有太阳的高度与它的水平距离——两个未知，一个式子，还差一个条件。
赵爽的注里有一张「日高图」，解决的就是这个「差一个条件」。办法是再立一根表。两根表，两条影，两个式子，两个未知数就解出来了。这是全书最像「现代应用数学」的一页。
先只立一根表。设表高为 H，影长为 s，太阳的高度为 h，表到太阳正下方的水平距离为 x。
光线从太阳射到表顶，再落到影端，是一条直线。这条直线与地面成一个角，记作 θ。它同时属于两个直角三角形：
tan θ ＝ H / s （表高比影长）
tan θ ＝ (h − H) / x （太阳比表高的那段，比水平距离）
两个式子说的是同一个角，所以右边相等：
H / s ＝ (h − H) / x
这个式子里，H 与 s 都是量得出来的，未知的是 h 与 x 两个。一个式子解不出两个未知数——还需要一次观测。
为什么要用「相似三角形」而不是「三角函数」？因为古代没有 tan 这个记号。赵爽用的是「勾股」：把太阳、表顶、影端连成一个直角三角形，再用另一个与之相似的小三角形去比。相似三角形的对应边成比例，这条性质不需要三角函数表，只需要「形状一样」。
比例的写法也有讲究。写成「表高比影长」，是因为古人的起点是勾股：表是股，影是勾，两者成直角。换成「影长比表高」也一样能算，只是每一步都要倒过来写。比例的漂亮之处正在于此：四个量成比例，怎么摆都成立，只要对应关系不错。
所以这一页的全部内容，可以压缩成一句：同一时刻，杆高与影长之比是常数；知道这个常数，就能从任何一个影长算出对应的「高度差」。
再立一根表，与第一根相距 d，仍在同一条南北线上。两根表一样高，都是 H；同一时刻，两条影却不一样长：离太阳正下方近的那根，影子短；远的那根，影子长。
设近的影长 s1，远的影长 s2，则 s2 > s1。两根表到太阳正下方的水平距离，也差着 d。
把上一页的比例各用一次。近表：H / s1 = (h − H) / x1；远表：H / s2 = (h − H) / x2。
两表必须立在同一条直线上，这条线还得指向太阳的正下方——古人取南北方向。若两表一东一西，影长的差就不再对应表距，公式里的 d 也不是真正的距离。这一条限制，术文没有明说，却是整个方法成立的前提。不写出来的前提，往往是最容易出错的。
两式相除，或者直接移项：x1 = s1(h − H)/H，x2 = s2(h − H)/H。两式相减，左边是 d：
d ＝ (s2 − s1) · (h − H) / H
现在只剩一个未知数 h。把 (h − H) 解出来，再加表高：
h ＝ H ＋ H · d / (s2 − s1)
这就是「日高术」的全部公式。用文字说：表高乘表距，除以影差，再加表高。古人写作「以表高乘表间为实，相多为法，除之，所得加表高」——「实」是分子，「法」是分母，「相多」就是影差。
式子最值得看的地方是分母：s2 − s1 是两条影子的差，通常很小。分母小，结果就大；这个「小」既是术的巧妙，也是术的软肋——下一页算完数，再回来说这件事。
代进一组数。表高八尺；两表相距二十尺；近表影长六尺，远表影长八尺。这些数按术文的比例缩小过，便于手算，不是《周髀》原数。
先算影差：8 − 6 = 2。再算分子：8 × 20 = 160。相除：160 ÷ 2 = 80。加表高：80 + 8 = 88。日高八十八尺。
验回去。由 h = 88，太阳比表高出的那段是 88 − 8 = 80。
近表：x1 = 6 × 80 ÷ 8 = 60，即近表到太阳正下方六十尺。远表：x2 = 8 × 80 ÷ 8 = 80，八十尺。两者相差二十尺，正好是表距。三条数据自洽。
再看比例是否一致。近表：表高比影长是 8 : 6；远表是 8 : 8。同一根表，两条影子，比例不同——因为到太阳正下方的距离不同，光线与地面的夹角在两个位置并不相同。
这一点容易被忽略。严格说，平行光假设下同一时刻的角度应当相同；但实际上太阳距离有限，两地表影的夹角确有微小差别，正是这个差别被「影差」抓住。术文不是用平行光，而是用「两点的角度差」来推算距离——这也是为什么它要立两根表，而不是一根。
数值算完，公式也就可信了。剩下的问题是：这个公式有多准。下一幕算一次误差，答案不轻松。
日高术真正做的事情，不是「算出太阳多高」。它做的事情是：把一件够不着的事，换成一件够得着的事。
太阳够不着：没有人能爬上去量。影子够得着：蹲下去，用尺量，一寸就是一寸。于是问题从「太阳多高」变成「影子多长」，再变成「两条影子差多少」——每换一次，问题就往下走一步，走到手能够到的地方。
这种换法，是数学最实用的一种本事。测山高、测塔高、测河宽、测月地距离，用的都是同一套：找一个与目标相似的三角形，量它够得着的那两条边。相似三角形是一台换算机：把不可测的量，按比例换成可测的量。
但换算有代价。换过去的量必须真的与目标成比例；比例一旦不成立，算得再准也是错的。日高术假定光线平行、地面水平、两表在同一条直线上——这三条只要有一条不成立，结果就偏。
还有一层更细的代价。换过去的量若是「小量」，误差也会被放大。影差只有一两尺，尺上错一分，结果就差好几分。这是所有「间接测量」的通病：越是靠差值算出来的东西，越经不起粗糙的测量。
可即便如此，这套办法仍然值得学。因为它教会人一件事：看不见的东西，可以用看得见的东西去说——前提是说清楚「凭什么可以这样换」。
把上一页的数改一改。表高还是八尺，表距还是二十尺，只是远表的影长从八尺变成七尺——影差从二尺缩到一尺。
重算：8 × 20 = 160，160 ÷ 1 = 160，160 + 8 = 168。日高变成一百六十八尺，比原来多了八十尺，几乎翻倍。
影差只少了一尺，答案却差了八十尺。这就是分母变小的后果：h = H + Hd/(s2 − s1)，影差在分母上，分母减半，商就加倍。
再进一步：真实的测量不可能精确到「尺」。若影差真值是二尺，量的时候各差一寸（零点一尺），一条量成一尺九，一条量成二尺一，结果分别是：
160 ÷ 1.9 ＋ 8 ≈ 92.2 160 ÷ 2.1 ＋ 8 ≈ 84.2
同一个太阳，算出来一个九十二尺，一个八十四尺，差了八尺。相对误差约百分之五。而这只是一寸的测量误差。
这就是日高术的软肋：它的方法是对的，它的数值是不可靠的。《周髀》算出的「日高八万里」，按今天的眼光看差得极远；但错不在公式，错在「用两条相差一寸的影子去定八万里」这件事本身——分母太小，任何一点误差都会被放大成天文数字。
看清这一点，比记住公式更重要。一个方法能走多远，取决于它最薄的那一环；而最薄的一环，往往藏在分母上。
一、相似三角形是一台换算机：杆高比影长等于高度差比水平距离。一根表只能列一个式子，两根表才能解出两个未知数。
二、日高术的公式：h = H + H·d/(s2 − s1)。八尺表、二十尺距、六尺与八尺影，得八十八尺；反验两表距日下六十尺与八十尺，差恰二十尺。
三、影差在分母上，误差被放大。影差从二尺减到一尺，答案从八十八尺跳到一百六十八尺；一寸的测量误差，能带来约四尺的结果偏差。方法对，数值未必可靠——这是两件事。
下一幕回头看这张图：它被画出来之后，遭遇了什么。
赵爽注完之后，这部书就开始了自己的旅行。从三世纪到十三世纪，一千年里它靠手抄流传：一个人抄完，交给下一个人；抄错一字，错字就跟着走一千年。
抄本时代，图是最容易丢的东西。文字抄错还能猜，图一旦漏画，后人就不知道原图长什么样。所以古书里的图常常只剩一个名字：正文说「见图」，可图上哪儿去了，没人知道。赵爽注里的弦图，就经历了这样的命运。
转机在宋代。刻书兴起，一套书可以印几百部，图也随版刻下，不再靠人手一张一张描。1213 年鲍澣之在汀州刻《算经十书》，《周髀算经》有了今天能看到的最早刻本。刻工按注文的意思，把图补了出来。
补图不是随便画。注文说「勾股相乘为朱实二」，补图的人就得让四个三角形的面积真的等于 2ab；注文说「以勾股之差自相乘为中黄实」，中间那块就得真的是 (b − a)2。图画错一笔，注文就对不上；所以补图的人其实是在做一道几何题。
再往后，明代《永乐大典》收了一部，清代《四库全书》又收了一部；十八世纪，戴震从《永乐大典》里把这部书辑出来，校勘文字，重排图版。今天读到的本子，多半经过这一道手。
一千年，一条线：注文留下来了，图丢过又补回来。补回来的图，样子未必与赵爽画的一样；可它必须满足的条件，一条也没变。这就是数学的好处——形式可以丢，关系丢不掉。
若手上只有注文、没有图，能不能把图复原出来？能，只要注文说得足够清楚。复原的步骤本身就是一次几何练习。
第一步，定外框。注文说「弦实」，即以弦为边的正方形。取任意一条弦，画一个正方形，边长记作 c。
第二步，放三角形。注文说「勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四」。取四个全等直角三角形，直角边为 a 与 b，斜边为 c；把四个斜边分别贴住外框的四条边。贴的时候要注意方向：四个必须转着来，不能都朝同一边，否则中间空出的不是方块。
第三步，验中间。贴好之后，中间空出一块。量它的边：外框边长 c 被两段分掉，一段 a、一段 b，剩下 b − a。四条边都这么算，四边相等。再看角：外框顶点处两个角恰好拼满九十度，所以内部这块的四个角都是直角。
第四步，核面积。四个朱实共 2ab，黄实 (b − a)2，相加应等于 c2。若不等，说明画错了：不是三角形不全等，就是方向摆错。
这四步说明一件事：图不是随手画的装饰，图是可以被文字「锁住」的。注文给条件，图给满足条件的对象；条件足够，图就唯一（差一个整体旋转）；条件不足，图就画不准，注文与图对不上。
后世补图的人，做的正是这四步。他们没有见过赵爽的原图，却画出了与注文一致的图——这不是模仿，是复原。数学的传递，靠的从来不是「原样」，而是「同样的关系」。
中国古代算书里，图有两种用法，性质完全不同。
第一种：图作记录。画一个田的形状、一座仓的剖面、一件器物的尺寸，图是「题目配图」，作用是让人知道题目在说什么。这种图可以换，画得丑一点也无妨，只要形状对得上。
第二种：图作论证。图本身就是推理的一步，抽掉图，证明就断了。赵爽的弦图属于这一种：注文说「加差实亦成弦实」，凭的是什么？凭的就是那张图把四块朱与一块黄摆进了同一个大方里。
两种图在古代算书里混在一起，久而久之，读者只认得第一种。看到图，先想「这是帮我理解题意的」，不会想「这是证明」。于是第二类图的地位就低了：既然只是帮助理解，那么文字说清楚了，图就可以省掉。
刘徽在《九章算术注》的序里写过一句话，把图的位置说得很清楚：「析理以辞，解体用图。」——讲道理用文字，拆解形体用图。这句话把「辞」与「图」并列为两种工具，不是主仆。
可惜这句话后来少有人照着做。宋元之后，算书越刻越简，图越删越少；到明清，许多本子只剩口诀与算式。图一少，「为什么」就无处安放；「为什么」一丢，剩下的就只有「怎么算」。
这不是中国独有的问题。任何一门手艺，传久了都容易只剩操作，丢掉根据。区别在于：有的传统会有人回头把根据找回来，有的传统就让它一直丢着。
同一条定理，希腊与中国的证明走的是两条路。
希腊的路：链。《几何原本》第一卷命题 47 的证明，先作一条从直角顶点落到斜边的垂线，把斜边上的正方形切成两个矩形；再用两个三角形全等（命题 4），加上「同底等高的三角形是矩形的一半」（命题 41），逐块证明每个矩形等于对应的那个直角边上的正方形。
这条路的每一步都依赖前面已经证过的命题。命题 47 站在 4 与 41 的肩上，4 与 41 又站在更前面的命题上，一路退到五条公设与五条公理。它的力量在于「无一处可疑」：任何一步不服，都可以往回追，一直追到不能再追的地方。
中国的路：摆。赵爽不引用任何前命题，直接把四块朱与一块黄摆进大方，让面积自己说话。这条路不往后退，它往前指：看，就是这样。
两条路的代价不同。链的代价是长：一个命题要读十几页前置，读者若中途掉队，就再也跟不上了。摆的代价是「信眼睛」：图若画得含糊，或读者不肯信「移动不改面积」，整条论证就悬空了。
两条路也各有长处。链能长得极远——从五条公设可以长到非欧几何、长到微积分、长到整个现代数学。摆能到得极快——一张图，几秒钟，看的人立刻明白。前者适合建立体系，后者适合传递理解。
赵爽没有选择的权利。他手上没有公理体系，也没有符号代数；他只有一张图、一支笔、一部讲天的旧书。他在自己的条件下，走到了能走的最远处——这一点，比「谁先谁后」更值得记住。
一张图最坏的遭遇，不是被烧掉，是被挂起来。
被烧掉，人还知道它曾经有用。被挂起来，人只当它好看。弦图后来就遇上了第二种命运：它被印在算书的扉页，被画在蒙学课本的边角，被当作「勾股定理的示意图」——图还在，可它不再证明任何东西。
为什么会这样？因为图的论证功能，依赖于「读者愿意跟着图走一遍」。读者若只看结论，图就退成装饰；教科书若只要求背公式，图就退成插图。图没有变，是读图的方式变了。
这种退化有一个标志：图上的标注越来越少。原图的每一块都有名字——朱实、黄实、弦实；退化成插图之后，只剩一个空框，连哪块是勾、哪块是股都不标了。标注一少，图就说不出话；说不出话的图，只能看。
要把它救回来，办法也简单：重新标上名字，重新走一遍。问一句「这块为什么等于那块」，图就活了。这也是这一册反复拆图的原因——不是为了讲一个已知的定理，是为了把「看图的方法」交出去。
一张图能承担一次证明，前提是有人肯在它面前停下来。停下来的人越多，图活得越久。
把全册的问题收在一处：一张图，凭什么算证明？
第一层，图给出的是关系，不是数值。图上没有写三、四、五，写的是勾、股、弦。关系对所有的直角三角形都成立，所以图证的是「所有」，不是「这一个」。
第二层，图的每一步都可以翻译成话。「四块朱加一块黄等于整个大方」翻译成「面积可加」；「黄实的边是 b − a」翻译成「整边减去两段」；「2ab 与 −2ab 相抵」翻译成「加法逆元」。翻译得出来，图就是严密的；翻译不出来，图就只是示意。
第三层，图证依赖的前提必须说出来。「移动不改面积」不是自明的，它是一条公理；「四个三角形全等」不是显然的，它是一个构造条件。把这些前提摆到桌面上，图证就站得住；藏着不说，图证就成了「看图说话」。
这三层合起来，就是本册对「图能不能证明」的回答：能，但要满足三个条件——谈关系不谈数、每步可翻译、前提说明白。赵爽满足了前两条，第三条在他那个时代不必说，因为读者共享同一套直观。
今天的人读图，多了一层便利：可以用坐标把图上的每一点都算出来，用代数把每一步都验一遍。图与算，终于可以互相校对。这大概就是赵爽当年想要而做不到的事。
一、注文留下来了，图丢过又补回来。宋刻本、大典本、四库本，一条线传到现在；补图的人按注文的约束重画，复原的是关系，不是笔迹。
二、古书里的图有两种：记录题意的图与承担论证的图。弦图属于后者；它后来被当成前者，于是退成插图。要救回来，只需重加标注、重走一遍。
三、两条证明的路都成立：希腊的链，中国的摆。链能长，摆能快；赵爽在自己的条件下走到了最远处。
下面三页，把这一册收一收：时间线、三种读法、几个还没有答案的问题。
把这一册的事排成一条线。
约 3 世纪 赵爽注《周髀算经》，作弦图与日高图
7 世纪 李淳风等奉敕注《算经十书》，《周髀》在其中
1084 年 北宋秘书省刊本（今佚）
1213 年 鲍澣之汀州刻《算经十书》，今存最早刻本
15 世纪 《永乐大典》收录
1773 年后 戴震自《大典》辑校，重排图版
1963 年 钱宝琮校点《算经十书》
这条线上，只有第一个点属于赵爽。后面每一个点，都是别人替他把书接着往下传：抄的人、刻的人、辑的人、校的人。他们没有一个留下名字，可没有他们，那张图早就没了。
这条线上还藏着另一条线：图的存佚。文字一直在，图却时有时无。每一次重刻，都是一次「按注文重新画一遍」的机会；每一次重画，都可能画得不一样。所以同一部书的不同版本，注文一字不差，图却各不相同。读古书的人常说「以注校图」，说的就是这个道理。
线也有断口。北宋刊本今已不存；宋刻本只剩残卷；图在流传中丢过多次。今天能看到的完整图，多半是明清人补的。所以读这一册时，看到的不是一张三世纪的图，而是一张「按三世纪的道理重画」的图。
这不算遗憾。数学的传承本来就不靠原件，靠的是关系：只要关系对，重画一百次也还是那张图。反过来，关系错了，原件摆在面前也没用。
同一册书，三个人可以读出三种东西。
孩子读拼图。拿四张一样的三角形纸片，摆进一个方框，看中间剩下的小方块。不用讲公式，也不用讲面积，只要摆一遍，就会记住「四块三角加一块小方，正好是一个大方」。这一层要的是手感与惊讶。
少年读算式。把 a、b、c 代进去，算 32 + 42 = 52；再学开方，把 1156 开成 34；再试 5、12、13。这一层要的是「会算」，并且知道算出来的数能用在什么地方。
成人读证明。问一句：图凭什么算证明？前提是什么？能不能把它翻译成一串命题？与希腊的公理演绎相比，它少掉了什么、多出了什么？这一层要的是「凭什么」，不是「是什么」。
三种读法不是三个年龄，是三个问题。孩子问「它长什么样」，少年问「它等于多少」，成人问「它凭什么成立」。三个问题都问过，才算是把一件东西看全了。
三层不是三个版本，是同一册书的三种用法。孩子摆过一遍，少年算过一遍，成人问过一遍，这本书才算读完。跳过任何一层，都只拿到三分之一。
若只能读一层，建议读第一层。因为「看见」比「记住」难，也比「记住」值钱。
一、若赵爽手上有字母，他会怎么写？他大概会把「勾股各自乘，并之为弦实」写成一行 a2 + b2 = c2——可他若真写了这一行，那张图也许就不会被画出来。符号省力，也省掉了「看见」的机会。省下来的力气，是否值得丢掉那一眼？
二、图证能不能完全变成文字？可以，但要补上「面积可加」「移动不变」这些前提。补完之后，图还剩下什么？剩下的是「一眼」——那种不必逐句读就明白的东西。形式化保住了严格，是否也丢掉了理解？
三、为什么后来的算书把图丢了？本册给了一半答案：图的论证身份被遗忘，读者只当它是插图。可更深的原因——刻书成本、科举不考、师徒口授——本册答不了。这不是一个数学问题，是一个关于「知识怎样活下去」的问题。
四、日高术错得那么远，古人为什么不怀疑？因为方法自洽：两根表、两条影、一个影差，每一步都算得通。错在看不见的地方——分母太小，误差被放大，而当时没有人能独立测第二次。一个自洽的错，可以活一千年。
这四个问题都没有标准答案。好的问题比答案活得久：答案会被修正，问题会一直问下去。
材料：硬纸一张、剪刀、直尺、铅笔。目标：亲手拼出弦图，把公式变成手上的四块纸。
第一步，画四个一样的三角形。取勾五、股十二、弦十三：画一条十二厘米的直角边，在端点作垂线取五厘米，连起来，斜边正好十三厘米。照这个样子剪四块。
第二步，画一个十三厘米见方的框。这就是「弦实」。
第三步，摆。四块三角形的斜边贴住框的四条边，一块转一个方向，转着摆满。摆的时候会发现：四块之间自动留出一个方块，不用调，位置自己就对了。
第四步，量中间那块。它的边长是 12 − 5 = 7 厘米，面积 49 平方厘米。四块三角每块 5 × 12 ÷ 2 = 30 平方厘米，四块共 120。
120 ＋ 49 ＝ 169 ＝ 132
第五步，换一组再拼。勾八、股十五、弦十七：四块共 4 × 60 = 240，中黄 (15 − 8)2 = 49，合 289 = 172。两次的中黄都是四十九，纯属巧合——因为 12 − 5 与 15 − 8 都等于七。换勾三、股四试试：中黄只有 1，四块共 24，合 25。
摆的时候手会发现一个细节：四个三角形的直角都朝里，斜边朝外。直角朝里，四个直角才围出中间那块空；若有一个直角朝外，中间就合不上了。这个「朝里」不是谁规定的，是斜边必须贴住外框逼出来的——外框的一条边只能容一条斜边，剩下的两条直角边自然朝内。
最后想一想：若勾与股相等，中黄会怎样？中黄消失，边长变成零。图变成四个等腰直角三角形拼成一个大方，中间没有空隙。此时 c2 = 2a2，弦是勾的 √2 倍——不再是整数。弦图退化了，关系却还在。再想一想：若四块三角形不全等，中间还是方的吗？
材料：手电筒一支、两根一样高的铅笔、卷尺、白纸。目标：不出门，用桌面模拟一次日高术。
第一步，做两根「表」。把两支铅笔竖直固定在桌面，相距 20 厘米，量出笔高，设为 8 厘米（可以把笔截短或用纸筒）。
第二步，打光。手电筒放在桌子一端，让两支笔都投出影子。量两条影长：近的一条 6 厘米，远的一条 8 厘米。
第三步，算。影差 8 − 6 = 2；表高乘表距 8 × 20 = 160；除以影差 160 ÷ 2 = 80；加表高 80 + 8 = 88。光源高八十八厘米。
第四步，验。用卷尺量光源到近表的水平距离，应是 6 × 80 ÷ 8 = 60 厘米；到远表应是 8 × 80 ÷ 8 = 80 厘米。两者差二十厘米，与表距相符，就算对了。
第五步，改一个数，看结果怎么跳。把远表往近处挪，使影差变成 1.5 厘米：160 ÷ 1.5 ≈ 106.7，加八得 114.7 厘米。影差只少了半厘米，答案却高了二十六厘米。再调到 2.5：160 ÷ 2.5 = 64，加八得 72 厘米。
没有手电筒，也可以用太阳。选一个晴天的上午，把两根一样的竹筷插在花盆里，相距二十厘米，量影长，按同样的公式算。算出来的不是太阳的高度，而是「按这个模型折算的高度」——数值会大得离谱，但方法与古人用的完全一样。
最后想一想：若两支笔挨在一起（表距为零），会发生什么？影差也为零，分母是零，公式算不出来。两根表必须分开，不是为了好看，是为了让分母不为零——「分开」本身就是方法的一部分。
弦图 以弦为外边、四个全等直角三角形首尾相接、中间余一块小方的图。赵爽用它证明勾股关系；「案弦图」三字是全部文献的起点。
勾股定理 直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。西方称毕达哥拉斯定理；巴比伦泥板早有数组，但一般证明以希腊与赵爽为早。「百牛定理」之名起于传说，无可据。
勾股数 三个正整数，满足两数平方和等于第三数平方。写作 (a, b, c)，通常令 a < b < c。
本原勾股数 三数互素（最大公约数为 1）。(3,4,5) 是本原的，(6,8,10) 不是——它是前者的两倍。
倍数 本原组乘同一个正整数，仍是勾股数。所以勾股数有无穷多组：本原组无穷，倍数也无穷。
生成公式 取 m > n > 0，一奇一偶，则
勾 ＝ m2 − n2 股 ＝ 2mn 弦 ＝ m2 + n2
八组实例（括号内为 m, n）：
(2,1) → 3, 4, 5 32 + 42 = 9 + 16 = 25
(3,2) → 5, 12, 13 52 + 122 = 25 + 144 = 169
(4,1) → 15, 8, 17 152 + 82 = 225 + 64 = 289
(4,3) → 7, 24, 25 72 + 242 = 49 + 576 = 625
(5,4) → 9, 40, 41 92 + 402 = 81 + 1600 = 1681
(6,1) → 35, 12, 37 352 + 122 = 1225 + 144 = 1369
(6,5) → 11, 60, 61 112 + 602 = 121 + 3600 = 3721
(5,2) → 21, 20, 29 212 + 202 = 441 + 400 = 841
一处巧合 (5,12,13) 与 (8,15,17) 的勾股之差都等于 7，所以弦图里中间那块黄实都是 49。两条不同的弦，配同一块黄：169 − 49 = 120，289 − 49 = 240。
时代 通式晚于赵爽，欧几里得《几何原本》卷十命题 29 有等价形式。赵爽注提供的是面积关系与具体数组，不是生成公式。
实 被开方的数，也就是面积或积。「弦实」就是以弦为边的正方形面积；「实如法而一」的「实」是被除数。
方 开方所得的边，也指正方形本身。「开方」就是从面积求出边长。「方」与「实」是一对：实是面，方是边。刘徽注以「方、廉、隅」三名连举，此处的「方」专指已定下的大正方形。
从 跟着正方形的那条「带子」，即一次项系数。「带从开方」就是解 x2 + px = q，「从」为 p。
廉 开方时两侧的带子，形如屋角的侧边。开平方有两廉；开立方有更多的廉。刘徽注以「方、廉、隅」三名状其各部分。
隅 角上那一小块正方形。开平方时，隅就是「个位自乘」所得的那一块；1156 开方时的隅是 42 = 16。
完全平方 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2。《几何原本》卷二命题四以「一线段任分为两段」的方式给出，是此式的几何原型。中国算书不立此命题，而以「方、廉、隅」化入开方术——同一个方、两条带、一个角，一边写成定理，一边写成算法。
并 相加。「并之为弦实」即「两数相加，作为弦实」。
相多 相减所得之差。日高术的「相多为法」，就是以影差作除数。
表／髀 测影的杆。「髀」本义股骨，引申为表；表高八尺为古制。
勾／股／弦 直角三角形的短直角边／长直角边／斜边。勾是弯，股是腿，弦是弓弦。
径隅 斜边。「径隅五」即「斜边是五」。
矩 木工曲尺。「折矩」即把矩折过来用；矩的两边成直角，是测量的起点。
重差 两次测量取其差。日高术与《海岛算经》都用重差：立两表、量两影、取影差。
弦图之外，还有几条路。它们都不长，都能在一页纸上走完。
第一条：相似三角形。从直角顶点向斜边作垂线，把斜边分成两段 p 与 q。三个三角形彼此相似，于是 a2 = pc，b2 = qc。两式相加：a2 + b2 = (p + q)c = c2。这条路最短，但要先有相似三角形的知识。
第二条：梯形。把两个一样的直角三角形与一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形：两底分别是 a 与 b，高是 a + b，腰是 c。按梯形面积算：
(a + b)(a + b) / 2 ＝ ab ＋ c2 / 2
左边展开是 (a2 + 2ab + b2)/2，右边是 ab + c2/2。两边乘二、减 2ab，得 a2 + b2 = c2。这条路只用梯形面积公式，是十九世纪一位美国议员给出的，后人称「总统证法」。
第三条：拼两次。同一个大正方形，用两种方式分割：一种分成四个三角形加一个 c2；另一种分成四个三角形加两个小方 a2 与 b2。两边各减去四个三角形，剩下的相等。这条路与赵爽的弦图是同一种思路，只是换了一个大方。
三条路的共同点，是都在算同一块面积：相似法算的是斜边被垂线切成的两段，梯形法算的是整个梯形的面积，拼两次算的是两个大正方形的差。面积是它们共同的货币——换一种币值，算出来的还是同一笔账。
三条路都通。一条靠相似，一条靠面积公式，一条靠重新分割。同一个真理，可以从不同的门口进去——这也是数学最耐看的地方。
一、原典与版本
《周髀算经》二卷，题「汉赵君卿注」。南宋嘉定六年（1213）鲍澣之汀州刻《算经十书》本，残卷；明《永乐大典》本；清《四库全书》本（据戴震校本）。今人通行：钱宝琮校点《算经十书》，中华书局，1963。
《九章算术》刘徽注，同上丛书。开方术、勾股章、少广章为本书第三幕所据。
二、研究文献
钱宝琮《中国数学史》，科学出版社，1964。第二编论《周髀》与赵爽注，为中文研究的基础。
郭书春《中国古代数学》，商务印书馆，1997。术语与算式的解释较详。
C. Cullen, Astronomy and Mathematics in Ancient China: the Zhou bi suan jing, Cambridge University Press, 1996.全书英译，附赵爽注的详细讨论，是西文最完整的一种。
J. Needham, Science and Civilisation in China, Vol. 3, Cambridge, 1959.数学章有《周髀》与勾股的总述。
三、图版说明
本册插图均为示意，不摹古本。弦图的画法依注文的面积关系重绘：四块朱实、一块黄实、外框为弦实。古本图的方位、比例、题记各本不同，可参戴震校本与 Cullen 1996 所附图版。
四、进一步阅读
版本差异对读图的影响，值得单独说一句。同一段注文，在不同刻本里可能配不同的图：有的把黄实画在正中，有的偏在一角；有的标「朱实四」，有的只画不标。位置可以变，因为关系不变；标注不能省，因为一省就说不清哪块是哪块。这也是 p.38 所说的「图退为插图」的具体机制。
《海岛算经》刘徽注——重差术的完整形态，比日高术更细。李俨《中国算学史》——版本源流的旧著，材料仍可用。
这一册讲一个人和一张图。人叫赵爽，约三世纪，生平几乎无考；图叫弦图，四个三角形加一块小方，拼成一个大的方。图证明了一件事：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
听起来是一册数学书，其实它讲的是三件事。
第一件：口诀与证明的距离。「勾三股四弦五」是口诀，能验一组数；「a2 + b2 = c2」是证明，管所有组。这中间隔着一次「换说法」——不谈数，谈边。孩子若能在这一册里看清这个跳跃，比背下公式有用得多。
第二件：图也能说理。多数人以为证明必须是一串文字，其实一张摆得对的图，可以承担整场证明。前提是：它谈关系不谈数，每一步都能翻译成话，前提说得明白。这三条，孩子现在不必记，但可以感觉到。
第三件：方法有它的边界。日高术能算出太阳的高度，可它算出的数错得极远——不是公式错，是分母太小，误差被放大。让孩子早一点知道「方法对」与「结果准」是两件事，是一种保护。
这一册没有英雄故事，也没有戏剧性的场面。它只有一个没有生平的人、几行小字、一张图。可正是这几样东西，把一句工匠的口诀，变成了一条两千年的定理。
「赵爽为什么没有故事？」因为他真的没有留下。古代许多匠人、算家、注者都是这样：名字留下来了，生平没有。可以借这个机会告诉孩子：历史记住的往往不是完整的人，而是他做的那件事。
「为什么四个三角形摆进去，中间正好剩一个方？」因为四个全等、斜边贴边、方向轮转。可以让他在纸上摆一遍，摆歪了就剩不出方——这一「歪」，比讲十句话管用。
「公式里的 a、b、c 是什么意思？」就是勾、股、弦。赵爽没有用字母，他用三个汉字当字母。这一点值得说：不是西方才有代数，中国古人用文字做过同样的事，只是没有写成符号。
「日高算错了，是不是古人很笨？」不是。方法是当时能想到的最好办法，错在测量精度，不在推理。今天的科学也常这样：理论对，数据不够，结论就偏。
「注文只举了三、四、五，这也算证明吗？」算。例子是入口，不是全部：弦图的四个三角形从未规定尺寸，算式里也没有一处用到 3、4、5，换任何一组数照样成立。古书习惯先给一个能上手的例子，再让人自己往上走——《九章算术》二百多题全是具体数目，术文却是普遍的。「举一隅不以三隅反」，举是教法，反是学法。
「为什么后来的书把图丢了？」因为图难刻、难抄，也因为考试不考「为什么」。这是一个关于「知识怎样活下去」的问题，不必有标准答案。
四个常见误区，可以提前避开。一、不要把「勾三股四弦五」直接称作「勾股定理」：它是数组，定理是关系。二、不要说赵爽「发明了勾股定理」：这个关系在更早的巴比伦泥板上已出现，赵爽的贡献是给出证明。三、不要把「出入相补」安在赵爽头上：那是刘徽的用语，赵爽用的是「朱实」「黄实」。四、不要以为「完全平方」只有西方有：《几何原本》卷二命题四确实更早、更完备，但中国把它化进了开方算法，「方、廉、隅」三个字就是它的几何骨架——一边是定理，一边是算法，不是有与没有的差别。
最后一句给孩子的话：看见为什么，比记住是什么要紧。
《数学家的故事》第四辑 第 31 册
赵爽 · 弦图与青朱
体例：五幕 · 52 页 · 三层可读（故事／数学／注疏）
插画：40 幅（留白线体）
数值：全册关键数值实算复核
本册为「格物致知」系列数学通识读物之一，面向全龄读者。
故事层无需预备知识；数学层对应小学高年级至初中；注疏层供检索与延伸。
格式 · 格物致知 · JUST FOR FUN