韦达 · 字母当数
韦达（François Viète），1540 年生于法国西部的丰特奈勒孔特，1603 年卒于巴黎。他的正职是律师：学过法律，做过布列塔尼议会的参事、巴黎高等法院的参事，后来做亨利四世的私密顾问。数学是他业余做的事，可正是这件业余的事，改变了数学的写法。
本册的明线有五样。第一样，符号：用字母代表数，元音代表未知量，辅音代表已知量。第二样，类的计算：韦达自己的说法，与「数的计算」相对——数的计算算的是这一个数，类的计算算的是一类数。第三样，根与系数：方程的根之和、两两之积，可以直接从系数读出来，后世称为韦达定理。第四样，订正：用一个替换把方程里的某一项消掉，让方程变简单。第五样，无穷乘积：他把 2/π 写成一列余弦的连乘，这是数学史上第一个显式的无穷乘积。
暗线一句：一个符号替下无穷多个数。在韦达之前，写下一个方程，等于说「某个特定的数满足这个关系」；在韦达之后，写下一个方程，等于说「凡满足这个关系的数都算」。同一行字，从一件事变成了一类事。
本册分五幕：第一幕讲他之前的人怎样写代数（p.6—p.12）；第二幕讲元音与辅音的规则、字母怎样开始工作（p.13—p.19）；第三幕讲方程：根与系数、订正、数值解，以及 1593 年那道四十五次方程（p.20—p.26）；第四幕讲圆：多边形、半角公式与 2/π 的连乘（p.27—p.33）；第五幕讲符号后来的命运，以及他晚年失势的日子（p.34—p.40）。
三层读法照旧：故事层无需预备知识；数学层只用到整数的四则运算、平方与开方、简单的三角函数（p.7—p.9、p.14—p.16、p.21—p.23、p.28—p.30、p.35—p.37），每一步都从头算起；注疏层给出原书、版本与研究文献，逐页可查。
1591 年，法国西部城市图尔，一位五十一岁的律师印了一本小书，拉丁文，书名可以译作《分析术引论》。书很薄，薄到装订工都嫌麻烦；里面几乎没有新定理，也没有多少例题。
这样的书在十六世纪并不少见。印数少，读者更少；作者多半是自己掏钱，送给朋友与同行。它不会引起争论，也不会带来名声，通常就这么静静地躺在几间书房里。
可这本书做了一件别的事。它没有给出新的答案，它给出了一种新的写法。
书的开头，作者把「分析术」分成三段。第一段叫「求」：把要找的量设出来，列成方程。第二段叫「证」：从方程推出关于这个量的性质。第三段叫「释」：把推出来的结果还原成具体的数。三段各有各的名字，各有各的规矩。
这个分法今天看很朴素，在当时却不朴素。因为当时的人把「列方程」与「算答案」看成同一件事的两个动作，中间没有一段叫「推」。韦达硬是在中间插进了一段：先不谈这个数是多少，只谈它满足什么关系，把这个关系推到底，最后才回头去找数。
插进这一段，就需要一种写法，让「不谈是多少」成为可能。他找到的写法是字母。
取一道平常的题：一个立方，加上六倍的这个数，等于二十。
十六世纪中叶，卡尔达诺在《大术》里把它写成一行拉丁文：「cubus p: 6 rebus aequalis 20」。逐字读：立方，加，六个物，等于，二十。「物」就是那个未知的量，拉丁文 res。
四十多年后，韦达把它写成另一行：「A cubus + B plano 3 in A aequatur Z solido 3」。逐字读：A 的立方，加，三倍 B（平面量）乘 A，等于，Z 的立方（立体量）。
两行说的是同一件事，差别在一个字上。前一行说「六个物」，后一行说「三倍 B 乘 A」——物是东西，B 是名字。
东西只能有一个。说「六个物」，听的人会问：哪个物？多长？多重？名字却可以指一整类：A 可以是三，可以是四，可以是任何一个使等式成立的数。
还有一个细节值得看：韦达在 B 后面写了「plano」，在 Z 后面写了「solido」。plano 是平面，solido 是立体；他是在注明这个字母代表的是面积还是体积。因为在他的写法里，方程两边的每一项必须是同一种量：立方加「面积乘长度」，两项都是体积；右边也必须是体积。这一条叫齐次性，是从几何借来的规矩。
看韦达，有两条线。
第一条线：几何早就在用字母。欧几里得的书里，点叫 A，线段叫 AB，圆叫 O。几何从不问 AB 有多长——它只问 AB 与 CD 相等不相等、成不成比例。字母在几何里已经工作了两千年，工作得很好。
第二条线：代数一直是用话说的。未知量叫「物」，平方叫「 census 」（财产、田产），立方叫「立方体」；加叫「添」，减叫「去」，等叫「是」。写一个方程，像写一句咒语：词与词之间靠语法连着，不靠符号。
韦达做的事，是把第一条线的做法搬到第二条线上。几何既然可以让一条线段只叫 AB 而不问长短，代数为什么不能让一个数只叫 A 而不问多少？
搬过去之后，出现一个新问题。几何的 AB 指的是一条确定的线段，只是不说出长度；代数的 A 指的却是「任何一个数」。「某个」好管，「任何」难管——因为任何数既可以是正数，也可以是负数，既可以是整数，也可以是分数。
韦达的处理办法很干脆：先不管那些麻烦的数。只认正数，只认能说得出大小的量。这个选择让他避开了许多困难，也让他漏掉了一半的答案——这是第三幕要细说的事。
两条线在「类的计算」这个词上碰头。「类」是拉丁文 species，本义是「外观、种类」；用它来指字母所代表的那一类数，等于说：字母不是数，字母是数的样子。
1540 年，韦达生在法国西部的丰特奈勒孔特。那是一座小城，靠近大西洋，城外是盐沼与低田。他的父亲做律师，家里不算富有，但供得起学费。
他走的路和父亲一样：到普瓦捷学法律，1560 年取得学位，回乡挂牌做律师。此后四十多年，他的正式身份始终是法律人：律师、布列塔尼议会的参事、巴黎高等法院的参事，最后做到国王的私密顾问。
律师每天做的事，其实是一种推演。手上有一部法典、几份契约、几个证人；要把这些材料摆成一条链，从条文走到结论。链上每一环都得站得住，站不住的一环，对方律师会替当事人挑出来。
这种训练留下了痕迹。他后来写数学，句子极短，定义先行，每一步都要交代依据；他不喜欢「显然」，也不喜欢「依此类推」。同时代人说他的书难读，因为他把数学写成了诉状。
但他也发现，数学的书里有一件事没做好。诉状可以说理，可以引条文，可以反复申明；方程却连「写下来」这一步都还没有办好。他读到的方程是一串词：立方、物、财产、根，词与词之间靠介词与语法连着。
一个律师对这种句子特别敏感。他知道一句写得不严的话会被人钻多少空子；他也知道，把话改成一个式子，空子就少了。他要做的，是给代数换一种写法。
十六世纪的代数有一套自己的词汇，各国略有不同，意大利的最通行。未知量叫「物」（cosa），它的平方叫「财产」（censo），立方叫「立方」（cubo），开方叫「根」（radice）。加写作 p，减写作 m，等于写作「aequale」。
于是一个方程写成这样：「census p 5 rebus aequalis 24」。逐字读：财产，加，五个物，等于，二十四。意思是：一个数的平方，加上它的五倍，等于二十四。
这道题有解。试三：三的平方是九，五乘三是十五，九加十五正好二十四。所以这个「物」是三。
再看一个：「cubus p 6 rebus aequalis 20」——一个立方加六倍的这个数，等于二十。试二：八加十二，正好二十。这个「物」是二。
这些词都不是随便起的。「财产」指一块地，地是面积，面积正是平方；「立方」指一个正方体，正方体正是三次。每一个词后面都站着一个几何对象：线、面、体。代数的词是从几何的物借来的。
借来的词有好处：说的人一听就懂，不必解释什么是平方。坏处也很明显：词的语法管着式子的语法。「五个物」可以，「负五个物」就说不通——世上没有负的物。代数的麻烦，一半来自数学，一半来自语言。
代数里最常用的一个动作叫「移项」。把等式一边的某一项搬到另一边，符号反过来。这个动作在今天的课本里是第一课，在九世纪却是一项发明。
花剌子米给这个动作起的名字是 al-jabr，本义是「复原」「接骨」。他说的不是「两边同加一个数」，而是「把减掉的东西补回来」——像把断骨接上。同一件事，两种说法。
在修辞式里，移项要重写整句话。「财产加五个物等于二十四」，要把五个物搬到右边，就得改写成「财产等于二十四减去五个物」。整句重写，一个字一个字地改，改完再读一遍，看意思有没有变。
在符号式里，移项只是一个动作。两边同时减去 5x：左边剩下 x2，右边成了 24 − 5x。式子不必重写，只在两边各添一笔。
差别不在快慢，在可靠性。重写整句时，人是靠记忆与语感在维持等价的；添一笔时，人是靠一条规则在维持等价的。前者错在不知不觉，后者错在明处——因为规则只有一条，违反了看得出来。
这就是韦达后来反复强调的那件事：代数需要的不是更聪明的解法，而是更不容易出错的写法。聪明的解法靠人，可靠的写法靠纸。
在韦达之前，已经有人试过把词缩短。三世纪的丢番图写《算术》，用几个希腊字母的缩写代表常用的量：未知量写作 ς，平方写作 ΔΥ，立方写作 KΥ，减写作一个形如 ⋔ 的记号，等写作 ἴσ。
用这套记号，一个式子可以写得很短。但短不等于能算。丢番图的记号只用来「记下」方程的最终形态，解题过程仍旧用文字写。他没有一套规则，让两个式子直接相乘、相除、相消。
这里有一条判据，可以分辨「缩写」与「符号」。把两个式子乘起来，看能不能只靠记号完成，不回到文字。能，是符号；不能，是缩写。
举例。(a + b)(a − b) 展开成 a2 − b2，整个过程只用到分配律，眼睛盯着记号就够了。而用「物」与「财产」写，就要说「物加物，乘以物减物，得财产的差」，说着说着就乱了。
所以缩写省的是写字的手，符号省的是想事的脑。缩写让一页纸装下更多方程，符号让一个方程装下更多推演。
韦达要的是后者。他不但要给未知量一个名字，还要给已知量一个名字，给运算一个位置，让整串推演都在纸上完成，不必回到句子。这一步比丢番图远得多。
说与写，是两种不同的东西。
说的语言有语气。同一句话，重音落在不同的字上，意思就变了；说的人可以用手势、用停顿、用眼神补上没说的话。听的人若误会，说的人当场就能改口。
写的语言没有这些。纸上只有字。字排成什么次序，就是什么意思；写的人不在场，没法补，没法改，没法看对方的脸色。一处写错，整段作废。
可写有写的好处。写下来的东西可以带走、可以复制、可以隔一百年再读；可以被人挑错，也可以被人引用。说的东西说完就散，写的东西留在纸上，等所有人来查。
韦达一生在做两件相反的事。做律师，他要把话说得留有余地——同一个条款，最好能有两种解释，哪一种都站得住。做数学，他要把话说得没有余地——一个式子，只许有一种读法。
符号就是「没有余地」的语言。它的每一个记号只有一个意思，每一个位置只有一种读法；它不许人含糊，也不许人打圆场。代价是它不能表达语气，好处是它不会因人而异——谁来看，都是同一句话。
第一幕走了三条线。
第一条是法律的文本。条文是死的，案子是活的。要把死的条文用到活的案子上，中间得有一次解释——解释得严密，结论才站得住。韦达受的全部训练都在这一条线上。
第二条是商人的账。账本上的数是具体的：几袋盐、几尺布、几个银币。商人从不算「某个数」，只算这一个数。代数从账本里长出来，所以一开始也只会算具体的数。
第三条是几何的字母。几何早就用 A、B、C 标点标线，从不过问长短。它证明的是关系，不是数值。
三条线在同一个地方碰头：「一个记号可以代替一段话，而这段话的具体内容可以暂时不定」。法律用它指「当事人」，几何用它指「点」，代数要用它指「数」。
碰头之后，问题就变了。原来问的是「这道题怎么解」，现在问的是「这一类题怎么解」。前一个问题靠技巧，后一个问题靠写法。技巧只能一个人会，写法可以传给所有人。
下一幕就去看那套写法：五个元音，一串辅音，一条齐次性的规矩，以及一个把「和」与「积」直接读出来的定理。
一、十六世纪的方程是一句话。未知量叫「物」，平方叫「财产」，立方叫「立方」；词是从几何的物借来的，语法管着式子的语法。
二、缩写不等于符号。丢番图把词缩短了，但推演仍要回到文字。判据是：两个式子能不能只靠记号相乘相消。
三、韦达要把「某个数」换成「任何数」。这不只是换写法，是换对象——从一道题换成一类题。代价是他必须先决定：哪些数算数。
下一幕看他的取舍：五个元音，一串辅音，一条从几何借来的齐次性规矩。
《分析术引论》的写法很特别。它不先给例题，先给定义。定义完了给规则，规则完了才给例子，例子还很少。
这与当时的数学书相反。当时的书是「题—解—验」三段：先出一道题，再解，再代回去验。读者跟着做一遍，就学会了。韦达的书没法跟着做，因为里面几乎没有题。
他自有道理。如果一种写法只在例题里露面，读者学到的就是这道题；如果先把写法的规矩立起来，读者学到的是这套写法本身。前者用完就丢，后者可以带走。
这也是律师的习惯。法典先立总则，再列分则；总则管所有的分则，分则不能违背总则。他写数学，也是先立总则。
总则里最要紧的一条，是关于字母的。同一个字母，在同一个问题里，必须始终代表同一个数。这一条听着像废话，其实不是——没有这一条，字母就只是装饰，推演一步也走不了。
第二条是关于字母的分工。哪些字母代表要找的量，哪些字母代表已经知道的量，必须一眼分得清。他用的办法是元音与辅音。
把「一个数的平方加它的五倍等于二十四」改写成符号式，中间发生了三件事。
第一件：名词变成字母。「一个数」写成 A，「它的平方」写成 A quadratus——韦达用 quadratus 表示平方，用 cubus 表示立方。名词从此有了固定形状，不再随句子变形。
第二件：介词变成记号。「加」写成 +，「等于」写成 aequatur。记号没有词性，不随上下文变格，也不会因为语序而改变意思。
第三件：句子变成长方形的块。原来的话是一条线，从左读到右；现在的式子占一块地方，上下左右都能看。可以两边同时加，可以上下对齐，可以在某一项下面划线。这是「说」做不到的。
于是「A2 + 5A = 24」这行字，同时是三个东西：一句关于某个数的话、一个可以操作的图形、一份可以传给别人的说明书。
第三样最容易被忽略。在韦达之前，一道题的解法只存在于解题人的脑子里；写完就完了，换一个人得重新想。有了符号，解法可以照着抄——抄的不是结论，是步骤。步骤能抄，方法就能积累。
韦达的规则只有一句：元音代表未知量，辅音代表已知量。
于是 A、E、I、O、U 是要找的量；B、C、D、G 之类是已经给出的量。一个式子里，看元音就知道要找什么，看辅音就知道手上有什么。
为什么用元音与辅音分？一种说法是：元音在语言里是发声的部分，辅音是支撑的部分；未知的量要开口，已知的量在背后托着。这类解释听着漂亮，但韦达自己没有明说，只能算后人的附会。更实在的理由是：元音只有五个，好记；辅音一大串，够用。
这条规矩后来没有留下来。笛卡尔 1637 年改用字母表末尾的 x、y、z 表未知，用开头的 a、b、c 表已知——正好与韦达相反。今天的课本用的是笛卡尔的约定，韦达的元音辅音只剩史料价值。
但有一件事留了下来：未知与已知必须在写法上分开。这条原则没有变，只是换了一套字母。记号可以改，原则不改，这就是造物的意思——造出来的是原则，不是那五个字母。
分开了之后，一个式子的读法就变了。A2 + B · A = Z 不再是一道题，而是一个架子：B 与 Z 填什么，就是哪一道题；A 要解出来，解法的步骤却完全一样。
韦达有一条规矩，今天的人几乎不再遵守，当时却是铁律：方程两边的每一项，必须是同一种量。
什么叫同一种量？长度加长度，可以；面积加面积，可以；体积加体积，可以。长度加面积，不行。因为一条线段与一块面积不是一回事，加在一起说不出是什么。
所以他在字母后面注明次数。B plano 是平面量，即二次；Z solido 是立体量，即三次。一个式子若写成 A3 + 3BA = 2Z，那么 B 必须是二次、Z 必须是三次，三项才都是体积。
这带来一个麻烦：纯数怎么办？十四是长度、面积还是体积？他的办法是取一个单位长度，把十四解释成十四个单位体积。单位一立，纯数就有了量纲，可以入式子。
举一个能算的例子。A3 + 3A = 14。按韦达的规矩，取单位长度 u，3A 其实是 3u2 · A，14 其实是 14u3。试 A = 2u：八加六，正好十四。
今天写 x3 + 3x = 14，没有人再问三项是不是同次。齐次性被放弃了，换来的是写法上的自由：什么都能加，什么都敢减，负数与纯数混在一起也不碍事。自由的代价是丢掉了「这个式子画出来是什么样子」的直觉。
字母是空的。这一点既是它的力量，也是它的危险。
空，所以装得下任何数。A 不预设大小，不预设正负，不预设是不是整数。同一条式子，A 填三成立，填四也成立，填一个说不出来的数还是成立。这就是一个符号替下无穷多个数。
空，所以装什么由写的人决定。韦达决定只装正数。在他看来，数是量，量是长度，长度不能为负。负数是比没有还少，说不通；零也不是数，是没有。
这个决定不是马虎，是立场。他一辈子在做测量与几何，量的世界只有正的一边。他写方程，习惯把各项都摆成正的：x2 + 15 = 2x 而不是 x2 − 2x + 15 = 0。项全正，才好画成线段与方块。
代价立刻出现。方程 x2 − 2x − 15 = 0 有两个根，五与负三；他只写五。三次方程有三个实根时，他往往只给一个。他不是算不出，是不承认算出来的是数。
于是暗线要改一个字。不是「一个符号替下无穷多个数」，是「一个符号替下他能承认的那一半数」。另一半要等下一代人来接——接的人得先承认负数也是数。
第二幕走了三条线。
第一条是写法。元音表未知，辅音表已知；同一个字母在同一问题里始终指同一个数。这三条定下来，式子才能被读，而不只是被看。
第二条是规矩。各项必须同次；纯数要用单位折算成量。这条规矩让式子保持画得出来的形状，也让韦达付出了代价：负数进不来。
第三条是结果。根与系数的关系——两根之和、两根之积，可以直接从系数读出来。这是字母带来的第一份红利：不必解方程，也能知道根的一些事。
三条线在同一个地方碰头：字母 A 有双重身份。
推演的时候，A 是任何数——所以可以两边加、两边乘，可以代入任何合法的值，结论对全体成立。求解的时候，A 是某个数——它被方程锁住，只有一个或几个值能过关。
这个双重身份是代数的全部秘密。把它当任何用，是为了得到普遍的关系；把它当某个用，是为了得到具体的答案。同一行字，两种用法，中间不需要换写法——这正是韦达造出来的东西。
一、元音给未知，辅音给已知。这条约定后来被笛卡尔反转，但未知与已知必须在写法上分开这条原则留了下来。
二、齐次性是从几何借来的规矩。它让式子保持画得出来的形状，也把负数挡在门外。放弃它，换来自由，失去直觉。
三、字母有双重身份。推演时它是任何数，求解时它是某个数。同一行字两用，是代数的秘密。
下一幕看这份红利怎么兑现：根与系数、订正、数值解，以及 1593 年那道四十五次方程。
《分析术引论》印出来以后，没有引起多少注意。书太薄，例子太少，写法太新；同行翻两页，觉得它不像数学书。数学书该有题、有解、有验算，这本只有定义与规则。
韦达并不着急。他继续做他的顾问，白天处理政务与讼案，夜里写数学。此后十年，他一本一本往外印：1593 年两本，1600 年两本。每一本都不厚，每一本都在补前一本没说完的话。
真正让他的名字传开的，不是这些书，是一道题。
1593 年，荷兰数学家罗门（Adriaan van Roomen）向全欧洲的数学家发出挑战。他列出一个四十五次方程，请人求解。方程很长，系数排成一列，看上去像是故意刁难。
当时的规矩是：谁出的题，谁自己得会解；解不出，名声扫地。罗门敢出这道题，是因为他知道这题从哪来——它出自 45 倍角的正弦展开，不懂这一层的人，硬碰硬是碰不动的。
韦达看到了这道题。他没有去试根，也没有去降次；他看了那列系数一会儿，认出了它。然后他给出了解——不是一个根，是二十三个。
字母带来的第一份红利，是一个不用解方程就能用的定理。
设一个二次方程有两个根 p 与 q。那么它一定可以写成 (x − p)(x − q) = 0——因为 x 取 p 或 q 时，乘积为零；取别的值时，两个括号都不为零。
把这个乘积展开：(x − p)(x − q) = x2 − (p + q)x + pq。于是得到：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
拿一个数来验。x2 − 7x + 12 = 0。两根是三与四：三加四得七，三乘四得十二。一次项系数是负七，相反数正是七；常数项十二，正是积。对上了。
三次也一样。x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 的三个根是一、二、三。三者之和：一加二加三得六。两两相乘再相加：一乘二、一乘三、二乘三，得二加三加六，十一。三者的积：六。三个数分别对上三个系数。
韦达的写法与今天差一个符号。他要求方程各项为正，所以把式子摆成「x3 + 11x = 6x2 + 6」这样的形状，于是「和等于六」是直接读出来的，不必加负号。符号的差别不是数学的差别，是写法的差别。
韦达有一本书叫《论方程的识别与订正》。「识别」是分辨这是哪一类方程，「订正」是把它改写成更简单的形状。两件事都在解方程之前。
最常用的一次订正，是把二次项消掉。
取 x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0。二次项系数是负六。令 x = y + 2——这个二，是六除以三得来的，来源下一段说。
逐项代入。(y + 2)3 = y3 + 6y2 + 12y + 8；−6(y + 2)2 = −6y2 − 24y − 24；+11(y + 2) = 11y + 22；最后是 −6。
四部分相加：y2 的系数是 6 − 6 = 0，消掉了；y 的系数是 12 − 24 + 11 = −1；常数项是 8 − 24 + 22 − 6 = 0。于是方程变成 y3 − y = 0。
这个方程一眼可解：y(y2 − 1) = 0，y = 0、1、−1。回代 x = y + 2，得 x = 2、3、1。与前面已知的三个根一致。
为什么除以三？因为 (y + k)3 展开后，y2 的系数是 3k。要让 3k 抵消原来的负六，k 就得是二。一般地，x3 + ax2 + ⋯ 令 x = y − a/3，二次项必消。这条规则今天还在用。
罗门的方程写成这样：x45 − 45x43 + 945x41 − ⋯ = A。系数一正一负交替，四十五次，二十三个非零项。
韦达认出的是这样一件事：如果令 x = 2 cos θ，那么左边这一长串，正好等于 2 cos 45θ。
先看小一号的情形，就能明白为什么。三次的恒等式是 (2cos θ)3 − 3(2cos θ) = 2cos 3θ。验一个数：θ 取二十度，2cos 20° ≈ 1.8794；左边 1.87943 − 3 × 1.8794 ≈ 6.638 − 5.638 = 1.000；右边 2cos 60° = 1。两边相等。
四十五次是同一件事，只是次数高了。把 2cos 45θ 按倍角公式一层层展开成 2cos θ 的多项式，系数正好排成 1, −45, 945, …。所以那道吓人的方程，其实是问：哪一个角，它的四十五倍角的余弦等于 A/2？
解法随之而来。先由 A 求出 45θ，再把 45θ 分成四十五份，得到四十五个角，最后取每个角的余弦乘二。
二十三个根是这么来的：四十五个角里，正角与负角给出同一个余弦，两两合并，只剩二十三个不同的值。韦达给的是这二十三个正根；负根他照例不算。
四十五次方程那件事，常被讲成一个聪明的故事：一个人一眼看穿，别人束手无策。这个讲法漏掉了最要紧的一层。
漏掉的是：那列系数为什么能被认出来。
在修辞式里，这道题写成一句话，句子长到要分好几行；词与词之间靠语法连着，看不出哪一项与哪一项是一伙的。改成符号式，系数排成一列：一、四十五、九百四十五……像一排骨节。骨节有骨节的形状，认过一次就认得。
所以符号做的不只是省字。它把「关系」从句子里抽出来，摆成一个可以看的形状。形状一旦摆出来，人就能用眼睛去找它的同类——这一列数与倍角展开的那一列数，是同一个形状。
这也是韦达与前辈的分界。丢番图把词缩短，是为了写得快；韦达把词换成字母，是为了看得清。快是手的事，清是眼的事。数学的进步，多半是眼的事。
暗线在这里走了一步。一个符号替下无穷多个数——替下之后，那无穷多个数不再是一团，而是一列有形状的东西。形状可以认，可以比，可以搬到别处去用。
第三幕走了三条路。
第一条是代数。字母把方程写成一个可以操作的对象；根与系数、订正、降次，都是在这对象上做动作。它给出的是式子。
第二条是三角。倍角公式把 cos 45θ 展开成 cos θ 的多项式，系数排成一列。它给出的是一列数。
第三条是几何。四十五等分一个角，等于在圆上取四十五个点；每个点对应一个余弦。它给出的是一圈位置。
三条路在同一个点上会合：方程的根，就是圆上的等分点。
这个会合不是巧合。代数问「哪些数使这个式子为零」，三角问「哪些角使这个余弦等于定值」，几何问「哪些点把这个圆分成四十五份」——三个问法，同一批答案。
韦达造出的不是一条公式，是一座桥。桥造好之后，一边的问题可以搬到另一边去解：代数解不动的，用三角；三角说不清的，用几何画出来。这座桥后来成了数学的常设通道——下一幕要走的，正是这条通道的另一头。
一、根与系数可以直接对上。两根之和、两根之积，从系数读出来，不必解方程。韦达只就正根陈述，且各项摆正，所以符号与今本相反。
二、订正是解方程的前置动作。令 x = y − a/3，二次项必消；剩下的方程一眼可解。
三、四十五次方程是一道三角题。令 x = 2cos θ，左边等于 2cos 45θ；解方程变成等分角。符号让这层关系显形。
下一幕换一个对象：不再是方程，是圆。看韦达怎样把 2/π 写成一列无穷的乘积。
1579 年，韦达印了一张表，叫《数学表》。表里是三角函数值：正弦、余弦、正切，按角排开，用得到的人查一行就能取数。这样的表在当时是要紧的工具——航海、测绘、天文都要用。
表的序言里，他顺手写了一个数。圆周与直径的比，他给到九位小数：三点一四一五九二六五四。
这个数不是他首创。阿基米德用九十六边形把它夹在三点一四零八与三点一四二九之间；祖冲之给过三五四九分之三五一五五五，约率二十二分之七。韦达的贡献不在更早，在更准。
更准靠的是笨办法，也是最老的办法：用正多边形去围圆。边数越多，多边形的周长越贴近圆的周长。
他用的边数是三十九万三千二百一十六，也就是六乘以二的十六次方。从正六边形出发，边数每加倍一次，就把多边形往圆里推近一点；加倍十六次，就到了这个数。
十六次加倍，每一次都要算一批平方根。没有计算器，没有对数表（对数要到 1614 年才出现），全靠手算与笔算。这一步一步算下来的耐心，是这一册里最少被提起的部分。
取一个半径为一的圆。圆周长是 2π；只要能算出周长，π 就到手了。
圆周长量不出来，因为它是弯的。能算的是直线：多边形的每一条边都是直的，边长可以算，边数可以数。于是用多边形去替圆。
从正六边形开始，理由很干净：正六边形的边长正好等于半径，等于一；周长是六。所以第一步得到 π ≈ 3。这个数很粗，但它是白送的。
把每条边所对的圆心角平分，六边形就变成十二边形。新边长不再是现成的，得用半角公式算。算出来约 0.517638，周长 12 × 0.517638 ≈ 6.211657，除以直径二，得 3.105829。
再加倍。二十四边形：边长 0.261052，周长 6.265257，π ≈ 3.132629。四十八边形：边长 0.130806，周长 6.278700，π ≈ 3.139350。
数字一步一步往三点一四一五九二六靠近，但每一步都差一点。因为多边形的边是弦，弦比弧短；内接多边形的周长永远小于圆周长。差多少？边数每加倍，误差大约减到四分之一。这就是为什么从六到三十九万，要走十六步。
边数加倍时，新边长与旧边长之间有一个固定的关系。不必重新量角，只要拿旧边长算一算。
设半径为 1，正 n 边形的边长是 sn = 2 sin(π/n)。边数加倍，角减半，于是 s2n = 2 sin(π/2n)。
用半角公式 sin(θ/2) = √((1 − cos θ)/2)，再把 cos θ 用 sin θ 换掉，整理之后得到一条只用旧边长的式子：
s2n = √(2 − √(4 − sn2))。
验一遍。六边形 s6 = 1，代入：√(4 − 1) = √3 ≈ 1.732051，2 − 1.732051 = 0.267949，开方得 0.517638——正是十二边形的边长。
再验一次。s122 ≈ 0.267949，4 − 0.267949 = 3.732051，开方 1.931852，2 − 1.931852 = 0.068148，开方 0.261052——正是二十四边形的边长。
这条式子只要四则运算与开方，可以一遍一遍地做下去，不必每次从头推。十六次加倍，就是十六次代公式。手算的苦在这里，妙也在这里：苦的是次数，妙的是不必动脑。
多边形那条路是「一步一步逼近」。韦达做了一件更狠的事：他把这无穷多步，直接写成了一个等号。
用的还是半角公式，只是换个用法。sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2)。把右边的 sin(θ/2) 再拆一次，就得 sin θ = 4 sin(θ/4) cos(θ/4) cos(θ/2)。拆 n 次，得到
sin θ = 2n sin(θ/2n) · cos(θ/2) · cos(θ/4) ⋯ cos(θ/2n)。
取 θ = π/2，左边是 1。让 n 越来越大，2n sin(π/2n+1) 越来越接近 π/2——因为角很小时，正弦与角几乎相等。移项，就得到：
2/π = cos(π/4) · cos(π/8) · cos(π/16) · cos(π/32) ⋯。
把每个余弦写成根式，就是韦达 1593 年给出的形状：2/π = (√2/2) · (√(2+√2)/2) · (√(2+√(2+√2))/2) ⋯。每一项都是前一项根号里再套一层根号，越套越深，越套越接近一。
算前几项看它走得怎样。第一项 0.707107；乘第二项得 0.653281；乘第三项 0.640729；第四项 0.637644；第五项 0.636876；第六项 0.636684。而 2/π = 0.636620。六项之后，还差万分之六。
这里有一层很深的矛盾，值得停一停。
韦达不承认无穷。在他看来，数是量，量有大小；无穷大不是量，无穷小也不是量。他写方程时连负数都不肯收，更不会把「无穷」当作一个可以运算的对象。
可他又写下了这个等式。左边是无穷多个因子相乘，右边是一个平常的数 2/π。等号两边都得有意义，等号才成立；要让左边有意义，就得承认「无穷多个因子相乘」这件事。
他的处理办法是绕开。他不说「无穷多个因子相乘」，他说「边数不断增加，多边形的周长不断接近圆周长」。前者是一个对象，后者是一个过程。过程他可以承认，对象他不肯承认。
这个区别今天看很细，当时却是要害。承认过程，只能得到「要多么近有多么近」；承认对象，才能把那个极限写进等式，参与运算。韦达站在门槛上：一只脚在过程里，一只脚在对象里。
暗线在这里露出底。「一个符号替下无穷多个数」——替下的方式，是把无穷多步压缩成一个记号。可压缩之后，那个记号到底是什么，韦达没有回答。这个问题要等两百年，等极限有了严格的定义，才算答上。
第四幕走了三条线。
第一条是多边形。用直的边去围弯的圆，边数越多越贴近。它给出的是可以手算的近似值。
第二条是半角公式。新边从旧边来，一步一代，不必重推。它给出的是可以重复的算法。
第三条是无穷乘积。把无穷多步压成一个等号，2/π 成了无穷多个余弦的积。它给出的是一个对象，不再是一串步骤。
三条线在同一个数上会合：π。第一条把它算出来，第二条让算法能走下去，第三条把它写成结构。
九位小数是第一条线的战果。三十九万三千二百一十六边形，内接周长与圆周长的差约为一亿亿分之三，所以前九位靠得住。这个数字不是灵感，是十六次加倍、十六次开方堆出来的。
而第三条线的战果不在数值。它告诉后来的人：一个数可以是一列无穷运算的结果，而不只是一个长度比。这一句话，比九位小数重要得多——它把「数」从「量」里解放出来，从此数可以是极限、是级数、是乘积。
一、多边形围圆是最老也最稳的办法。从正六边形起步，边数每加倍，误差约降为四分之一；十六次加倍得三十九万边形与九位小数。
二、半角公式让加倍可以一直做下去。s2n = √(2 − √(4 − sn2)) 只用四则运算与开方，不必重新推角。
三、无穷乘积把过程变成对象。2/π = cos(π/4)cos(π/8)⋯，这是第一个显式的无穷乘积；韦达本人只承认过程，不承认无穷对象。
下一幕收束：符号后来变成了什么，他晚年又遇上了什么。
1593 年之后，韦达又活了十年。这十年里他印了两本书，都跟作图有关。
1600 年的《高卢的阿波罗尼奥斯》，书名是玩笑，也是挑战。阿波罗尼奥斯的《论切触》失传了，其中一道题是：作一个圆，同时切三个已知的圆。韦达把它解出来，用圆锥曲线，等于说「高卢人也能做阿波罗尼奥斯做过的事」。
这道题有八种情形，要看三个已知圆是相离、相切还是相交。韦达逐一讨论，一种情形一种作法。这种「把情形分尽」的做法，也是律师的习惯。
1602 年，他失势了。具体缘由史载不明，有说他与掌财政的大臣争执，有说他在一场政务里站错了边。总之，职位没有了，晚年在巴黎过着清静日子。
1603 年 2 月 23 日，他去世。他没有看到自己的书变成通行读物——那些书大多在身后才由别人编印。1615 年，安德森（Alexander Anderson）编出《韦达数学著作集》；1646 年，斯霍滕（Frans van Schooten）在莱顿编出全集。
全集出来的时候，笛卡尔的《几何学》已经印了九年。新一代人读的是笛卡尔的记号，不是韦达的元音辅音。可他们做的每一道代数题，用的都是韦达立下的那条规矩：用字母代表数。
韦达的记号没有留下来。留下来的，是他立的那条原则。
1637 年，笛卡尔在《几何学》里换了一套约定：用字母表开头的 a、b、c 表已知量，用末尾的 x、y、z 表未知量。这与韦达正好相反。
为什么反着来？一种解释是排印方便：x、y、z 在铅字盘里挨着，取材顺手。另一种解释是把未知写在末尾，读的时候一眼看到。两种都是实用理由，与数学无关。
笛卡尔还做了另一件事：用右上角的小数字表示次数，x2、x3、x4。韦达要写 A quadratus、A cubus，笛卡尔只写一个小数字。这一改，式子短了一半，排印方便，眼睛也方便。
再往后，哈略特（Thomas Harriot）用 > 与 < 表大小，莱布尼茨用 dy/dx 表微分。记号一层一层换，换到现在，只剩韦达那条原则没动：未知与已知，在写法上必须分开。
这就是「造物」的另一种结局。造出来的东西，可能不是最后被采用的那个形状；但它的骨架被后来所有的形状继承了。韦达造的是一副骨架，笛卡尔给它换了皮。
韦达有一处明显的短板：他不承认负数，也不承认负数开方。这个短板在一个特殊情形上暴露得最清楚。
取 x3 − 15x − 4 = 0。试四：六十四减六十减四，正好零，所以四是一个根。拆出 (x − 4)，剩下 x2 + 4x + 1，两根是 −2 + √3 与 −2 − √3。三个根全是实数。
可要是用通用的三次公式去解，中间会出现 (q/2)2 + (p/3)3 = 4 − 125 = −121。要对负数开平方，得到 11√(−1)。三个实根，路上却必须经过一个不存在的东西。
这个情形后世叫「不可约情形」。它不是罕见的例外，恰恰是最常见的情形：三个实根的三次方程，公式里必然出现负数开方。
韦达的处理办法是绕路。他不去开那个负数的平方根，他换一条路：把方程化成 x3 − 3px = 2q 的形状，令 x = 2√p cos θ，于是方程变成 cos 3θ = q/p√p——一个三等分角的问题。角能分，根就出来了。
所以他是解得出的，只是不能走代数那条直路。绕路要付代价：三等分角本身不能用尺规完成，只能用圆锥曲线或近似作图。代数上的一处空白，几何上补了一块，补得并不漂亮。
把「类的计算」放到三代人的写法里看，差别就清楚了。
第一代是修辞代数。一道题写成一句话，解法在人的嘴里。换一道题，话要重说，解法要重想。知识靠师徒相传，传一个人，丢一个人。
第二代是韦达的符号代数。一类题写成一个式子，解法在纸上。式子摆在那里，谁来看都一样；步骤可以照抄，抄的人不必懂，抄完再懂也行。知识靠书本积累。
第三代是结构。不问这一个式子怎么解，问「所有这类式子构成什么」——群、环、域。这一层韦达没有走到，但他铺了路：没有字母，就没有「一类」；没有「一类」，就没有「结构」。
三代的分别，不在题目难易，在「对象是什么」。第一代的对象是这道题，第二代的对象是这类题，第三代的对象是题与题之间的关系。对象一层一层往上抬，抬一次，能管的事就多一层。
韦达抬的是第一次。他让「数」变成了「字母」，于是「一道题」变成了「一类题」。这一抬之后，数学才有资格谈「一般情形」——不是「所有的数都试过了」，而是「式子对任何数都成立」。
韦达一生有三个身份。
第一个是律师。署真名，替当事人说话；说的话要留余地，要能被法庭接受，也要能被对方挑不出错。这个身份要求他含糊。
第二个是顾问。替国王出主意，处理密信与政务；说的话要准，但不能全说；这个身份要求他知道什么时候不说。
第三个是数学家。不署名也可以，署了名也不重要；重要的是那一行式子对不对，谁写的无所谓。这个身份要求他造出一种不属于任何人的说话方式。
符号就是这第三种说话方式。它不认人，只认对错；不记语气，只记位置。一个人在纸上写 A2 + 5A = 24，另一个人接着往下写，两个人不必见过面，也不必说同一种语言。
这也是他一辈子最像「造物」的地方。他造的不是一个定理，是一种可以被别人接着说下去的语言。定理会被超越，语言会被继承——继承的人甚至不必知道是谁造的。
五幕走完，三条线收在一处。
第一条是符号。元音给未知，辅音给已知；同一字母在同一问题里指同一个数。它给出的是写法。
第二条是方程。根与系数、订正、四十五次方程的倍角。它给出的是结果。
第三条是圆。多边形、半角、无穷乘积。它给出的是对象——一个数可以是无穷多步的结果。
三条线在同一个字母上收束：A 既是任何数，又是某个数。
当它是任何数，A2 + 5A = 24 是一条关于全体的规律；当它是某个数，同一条式子是「三」这个答案。同一行字，读法不同，用处不同，而写法不变。
这就是韦达造出来的东西。不是一条定理，不是一套公式，是一种让「任何」与「某个」共用一行字的方式。后来的人把字母换了，把指数写法换了，把等号换了；这一行字的结构没有换。
一、记号输了，原则赢了。元音辅音被笛卡尔反转，指数写法被简化；「未知与已知必须分开」这条原则留了下来。
二、他只认正数，所以在不可约情形上必须绕路。三等分角能解出根，但代数那条直路上有一块空白，要等复数被接受才补上。
三、他把「一道题」抬成了「一类题」。这一步之后，数学才有资格谈一般情形；再往上抬一层，就是十九世纪的「结构」。
下一幕收束全册：回望时间线，给出三种读法，留下三个还没有答案的问题。
把这一册的事排成一条线。
1540 年 生于丰特奈勒孔特
1560 年 普瓦捷习法律，得学士
1573 年 布列塔尼议会参事
1579 年 《数学表》，π 给到九位
1580 年 入国王私密顾问
1584 年 失位数年
1591 年 《分析术引论》
1593 年 《数学补遗》；应罗门四十五次方程之挑战
1600 年 《论数值分解》《高卢的阿波罗尼奥斯》
1602 年 失势
1603 年 卒于巴黎
1615 年 安德森编《韦达数学著作集》
1646 年 斯霍滕编全集，莱顿
这条线上，数学的事挤在后二十年。前三十五年，他是一个律师、一个参事、一个顾问；五十一岁才印第一本数学书。
后二十年的产出也不算多。五本小书，加起来不到今天一本教材的厚度。可这五本小书里，有三样东西改变了数学的写法：字母代表数、方程按类处理、无穷多步写成一个等号。
线还有一个特点：他的书大多不是在生前流传开的。《分析术引论》印数少，《论方程的识别与订正》根本没印，手稿在朋友之间转抄。1615 年安德森编集，1646 年斯霍滕重编，他的东西才真正进入流通。
那时笛卡尔的《几何学》已经印了九年，记号已经换了。可韦达立的那条规矩没有换：代数的对象从此不是「这道题」，是「这类题」。
同一册书，三个人可以读出三种东西。
孩子读替换。拿一个空盒子，把三、四、五依次放进去，看同一句话怎么变出三个答案。不用讲字母，也不用讲方程，只要玩一遍，就会记住「一个字可以装很多数」。这一层要的是手感与惊讶。
少年读式子。把 x 代进去，算 32 + 5 × 3 = 24；再学韦达定理，从 x2 − 7x + 12 直接读出三与四。这一层要的是「会算」，并且知道算出来的关系能用在什么地方。
成人读立场。问一句：他为什么只认正数？这个选择让什么变得可能，又让什么被漏掉？与希腊的几何、与印度的负数、与阿拉伯的移项相比，他站在哪里？这一层要的是「凭什么」，不是「是什么」。
三种读法不是三个年龄，是三个问题。孩子问「它怎么变」，少年问「它等于多少」，成人问「它为什么只肯要一半」。三个问题都问过，才算是把一件东西看全了。
若只能读一层，建议读第一层。因为「一个符号装下许多数」这件事，亲眼看一遍，比背十遍定义都牢。
韦达走到三个地方，停住了。这三个地方，后来各长出一门学问。
第一处：负数开方是什么？三个实根的三次方程，公式里必然出现负数开平方。他绕过去了——用三等分角换一条路，根是解出来了，可那个「不存在的数」他还得躲着走。两百年后，复数成了正经的数，躲的人变成了用它的人。
第二处：无穷多步的终点是什么？他写下 2/π 的无穷乘积，却不肯说「无穷多个因子相乘」。他只承认「越来越近」，不承认「到了」。要到十九世纪，极限有了定义，「到了」才成为一句可以说的话。
第三处：符号能不能自己走？他把推演搬到纸上，让记号自己运算。可他仍然要人在旁边看着，判断哪一步合法。二十世纪，这一步也交了出去——形式系统、机器证明，符号真的开始自己走了。
三处停步，都不是因为他笨。每一处都卡在一个「当时还不存在的东西」上：不存在的数、不存在的极限、不存在的机器。他要往前一步，得先有人把那个东西造出来。
这也正是这套书反复讲的那件事。一个人能走多远，一半看他自己，一半看他手上有什么。
材料：纸、笔、会算乘法。目标：亲手把「根」变成「系数」，再变回去。
第一步，从根造方程。取两根三与四。写成两个括号相乘：(x − 3)(x − 4) = 0。展开：x2 − 4x − 3x + 12 = x2 − 7x + 12。
第二步，验。代三：9 − 21 + 12 = 0；代四：16 − 28 + 12 = 0。两个都过关。
第三步，反着来。只给「和是七、积是十二」，不说是哪两个数。方程就是 x2 − 7x + 12 = 0——一次项系数取和的相反数，常数项取积。解出来，正是三与四。
第四步，升到三次。取三根一、二、三。(x − 1)(x − 2)(x − 3) 展开：先算前两个得 x2 − 3x + 2，再乘第三个，得 x3 − 6x2 + 11x − 6。验：1 − 6 + 11 − 6 = 0；8 − 24 + 22 − 6 = 0；27 − 54 + 33 − 6 = 0。
第五步，让负数进来。取两根负二与五。(x + 2)(x − 5) = x2 − 3x − 10。韦达会把它写成 x2 = 3x + 10——各项全正。验五：25 = 15 + 10；验负二：4 = −6 + 10。都成立，可他只肯写下五。
最后想一想：三根取零、一、二，方程是什么？x(x − 1)(x − 2) = x3 − 3x2 + 2x = 0，常数项是零。常数项为零，说明有一个根是零——因为把零代进去，整个式子必然为零。系数会说话，这一句就是韦达定理的全部意思。
材料：计算器（或一张平方根表）、纸、笔。目标：亲手把 π 夹到三位小数。
起手：正六边形。半径取一，边长正好是一。周长六，直径二，π ≈ 6 ÷ 2 = 3。
每一步用一条公式：s新 = √(2 − √(4 − s旧2))；算出新边长后，π ≈ 边数 × 边长 ÷ 2。
六边形 边长 1.000000 π ≈ 3.000000
十二边 边长 0.517638 π ≈ 3.105829
二十四 边长 0.261052 π ≈ 3.132629
四十八 边长 0.130806 π ≈ 3.139350
九十六 边长 0.065438 π ≈ 3.141032
四步之后，已经到 3.141。再走一步（一百九十二边），得 3.141452；再走一步，3.141590。每走一步，误差大约缩到四分之一。
验一遍第一步。√(4 − 1) = √3 ≈ 1.732051，2 − 1.732051 = 0.267949，开方 0.517638。十二乘它，得 6.211657；除以二，3.105829。对上了。
最后想一想：为什么每加倍一次，误差就缩到四分之一？因为误差与边数的平方成反比——边数加倍，平方变四倍，误差就只剩四分之一。所以要把误差从千分之一压到百万分之一，边数得加一千倍。韦达算到三十九万边，只换来九位小数，道理就在这里。
符号代数 韦达自称「类的计算」（logistica speciosa），与「数的计算」（logistica numerosa）相对。前者算的是一类数，后者算的是这一个数。今称符号代数，是后人的概括。
类（species） 拉丁文，本义「外观、种类」，用以译希腊语 eidos。字母代表的不是某个数，是数的一类。此词的分量，见 p.5、p.18。
齐次性 方程各项必须同次。长度加长度、面积加面积可以；长度加面积不行。韦达以 plano、solido 标注，并以单位把纯数折算成量。
韦达定理 根与系数的关系。二次：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。三次：三根之和、两两之积之和、三根之积，依次对应三个系数。韦达只就正根陈述。
订正 《论方程的识别与订正》中的「订正」，指把方程改写成更简单的形状。最常用的一步是令 x = y − a/3，消去二次项。
数值分解 《论数值分解》（1600）所论的高次方程数值解法。逐位试商，一位一位定出根的数字，与今天的笔算开方同源。
不可约情形 三次方程三个根皆为实数，而求根公式中必须对负数开平方。韦达以三等分角绕开，不解复数。详见 p.36。
无穷乘积 无穷多个因子相乘。韦达的 2/π = cos(π/4)cos(π/8)⋯ 是史上第一个显式无穷乘积。他本人只承认「越来越近」，不承认「无穷多个相乘」。
倍角公式 2cos nθ 可展开为 2cos θ 的多项式。四十五次方程之所以能解，全靠这一条。系数排成 1, −n, n(n−3)/2, …。
阿波罗尼奥斯问题 作一圆切三个已知圆。原书失传，韦达 1600 年以圆锥曲线复原，分八种情形。书名《高卢的阿波罗尼奥斯》，是与罗门斗法的一部分。
韦达（François Viète, 1540—1603） 法国律师、数学家。符号代数的开端人物；以字母代数的写法、根与系数关系、2/π 的无穷乘积著称。
罗门（Adriaan van Roomen, 1561—1615） 比利时数学家、医生，鲁汶大学教授。1593 年出四十五次方程挑战，韦达应战；后为韦达的朋友与通信者。
笛卡尔（René Descartes, 1596—1650） 法国哲学家、数学家。1637 年《几何学》改用 x、y、z 表未知，并引入指数写法；韦达的记号由此退场。
吉拉尔（Albert Girard, 1595—1632） 法国—荷兰数学家。1629 年提出「n 次方程有 n 个根」，并接纳负根与虚根；补上了韦达留下的缺口。
丢番图（Diophantus, 约 3 世纪） 希腊数学家，《算术》作者。用缩写记号写方程，是「缩略代数」的代表；其记号不能用于推演，与韦达的符号有别。
卡尔达诺（Gerolamo Cardano, 1501—1576） 意大利数学家、医生。1545 年《大术》公布三次与四次方程的解法；其记法仍是修辞式，是韦达之前的标准写法。
阿波罗尼奥斯（Apollonius, 约前 262—前 190） 希腊几何学家。《论切触》论三圆相切，原书失传；韦达 1600 年复原。
主要文献 In artem analyticem isagoge（1591）；Supplementum geometriae（1593）；Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII（1593）；Apollonius Gallus（1600）；De numerosa potestatum resolutione（1600）；Opera mathematica，Anderson 编（1615），van Schooten 重编（1646）。
研究 Jacob Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra（1968）；Helena Pycior, Symbols, Impossible Numbers, and Geometric Entanglements（1997）；Cajori, A History of Mathematical Notations（1928—1929）；李文林《数学史概论》（2011）。
韦达与笛卡尔之间，隔着一场安静的交接。
韦达用元音表未知，笛卡尔用末尾字母表未知；韦达写 A quadratus，笛卡尔写 x2。两套记号，功能相同，形状不同。
为什么笛卡尔的那套赢了？三个原因，都不深。一是短：x2 比 A quadratus 省一半篇幅，排印省钱。二是顺：x、y、z 在字母表末尾，写起来不打断思路。三是有人用：笛卡尔的书卖得好，读者多，跟着用的人就多。
这不是数学的胜利，是传播的胜利。记号的好坏，一半看它是否好用，一半看它是否有人用。两样都占的，留下来；只占一样的，进博物馆。
但有一件事，笛卡尔没有改。他还是用字母代表数，还是让同一个字母在同一问题里指同一个量，还是把未知与已知分开写。这三条是韦达的，笛卡尔照搬，后人照搬，一直搬到现在。
所以读数学史会遇到一种奇怪的情形：一个名字被记住，可他造的东西没有一件原样留着。字母换了，指数换了，等号换了，连「方程」这个词的意思都换了。留下的只有一条骨架：数可以用符号来说。
一、挑战的形态。1593 年，罗门向欧洲各大学与数学家发函，提出一个四十五次方程。方程写成一行，系数按倍角展开排开；解它，等于把四十五等分角做一遍。以当时的眼光，这是一道「不可能」的题。
二、韦达的回应。他看出 x = 2cos θ 这层关系，把方程化成 2cos 45θ = A，再解出 θ，回代得 x。他给出二十三个正根——四十五个角里，正负成对，只剩二十三个不同的余弦值。
三、回敬的一题。韦达反过来出了一道作图题：作一个圆，同时切三个已知的圆。这是阿波罗尼奥斯《论切触》里的名题，原书已失传。罗门解不出；韦达自己用双曲线解出，1600 年刊为《高卢的阿波罗尼奥斯》。
四、八种情形。三个已知圆的位置关系有八种：相离、外切、相交、内含……每一种对应不同的作法，不能用一个公式套完。韦达逐一讨论，一种情形一套作图。这种「分尽情形」的做法，是希腊几何的传统，也是律师的习惯。
五、后来的关系。二人并未交恶。罗门后来成了韦达的通信者，还把韦达的著作介绍到中欧。斗法是当时的风气，斗完仍是同行。
六、这件事的分量。它证明的不是韦达会解难题，是符号能让人看见「四十五次」与「四十五倍角」是同一件事。看见之后，难题变成常规题。
这一册讲一个人给数学换了一种写法，换完之后，数学的对象变了。
换之前，方程是一句话。「一个立方加六个物等于二十」——每个词都是实物，每个词都带着语法。解题的人在脑子里转这句话，转通了就解出来了；转不通，就卡住。解法存在人的嘴里，传一个人，丢一个人。
换之后，方程是一行符号。A3 + 6A = 20。符号不认人，只认位置；一行字摆在那里，谁来看都一样。解法可以照着抄，抄的人不必懂，抄完再懂也行。这一步之后，数学才有「积累」这回事。
所以这一册的主角不是某条定理，是「写法」。写法一变，能问的问题就变：原来问「这道题怎么解」，后来问「这类题怎么解」，再后来问「这类题构成什么」。
韦达自己未必意识到这层。他只想把代数的地位抬高一点，让它像几何那样是一家正经学问。他做到了，用的办法是给代数一副几何的骨架：字母、齐次性、单位。
孩子读这一册，不必记住韦达定理。记住一件事就够了：同一个字，可以装下许多数；装进去之后，这个字就能替那些数说话。这是代数的第一课，也是这一册的全部。
一、不要说韦达「发明了代数」。代数在他之前已经有一千年：花剌子米的移项、卡尔达诺的三次公式、丢番图的缩写，都是代数。韦达的贡献是换写法，不是从无到有。
二、不要说「韦达定理」是他一个人的。二次情形他给了，三次也给了；n 次的一般情形要等吉拉尔 1629 年、笛卡尔 1637 年。而且他只就正根陈述，符号与今本相反。叫「韦达定理」是后人的方便，不是历史的实况。
三、不要以为他「解不出」不可约情形。他解得出，只是不走代数那条路——他用三等分角绕过去，根是拿到了，复数他没接受。「绕路」与「不会」是两件事。
四、不要把他的记号当成今天的记号。他用元音表未知，用 quadratus、cubus 表次数，用 aequatur 表相等；x、y、z 与右上角小数字都是笛卡尔以后的写法。读原书时若按今法去读，会读错。
还有一条容易忽略的：韦达坚持方程各项同次，今天的人几乎不再守这条。这不是他保守，是他的「数」还长在几何上：数是量，量有次数，次数不同的量不能相加。理解了这一条，才能理解他为什么拒收负数。
四条误区有一个共同点：都把「写法」当成「内容」。写法变了，内容未必变；可写法一变，能做的事就变了。这一册想说的，正是后半句。
《数学家的故事》第四辑 第 32 册
韦达 · 字母当数
体例：五幕 · 52 页 · 三层可读（故事／数学／注疏）
插画：40 幅（留白线体）
数值：全册关键数值实算复核
本册为「格物致知」系列数学通识读物之一，面向全龄读者。
故事层无需预备知识；数学层对应小学高年级至初中；注疏层供检索与延伸。
格式 · 格物致知 · JUST FOR FUN