梅文鼎（1633—1721），字定九，号勿庵，安徽宣城人。他一生没有做过官，没有进过钦天监，也没有出过国；他是一个在自家书房里算了一辈子的人。可清代的历算之学，从他这里才真正接上了气。梁启超称他为「历算第一名家」，这话并不过分。
本册的明线有五样。第一样，勾股：他用一张「弦实」图重证勾股定理，并给出由弦与勾股差反求勾股的方法。第二样，开方：他把「开方作法本源」推到十二乘方，高次开方从此有法可循。第三样，天元：他读李冶《测圆海镜》，断定西洋的「借根方」就是中国失传的「立天元一」。第四样，弧三角：他把球面三角形的算法写成中国人能读的体例。第五样，历算：岁差、定气、交食，他都逐条讨论过，并把道理写成问答。
暗线一句：两套数术怎样合成一套。他面前摆着两堆东西：一堆是《九章》《测圆海镜》传下来的老法子，一堆是《几何原本》《崇祯历书》带来的新法子。他没有把一堆扔掉，也没有把两堆硬拼；他做的是一张对照表——让每一句老话都能找到一句新话，让每一句新话都能找到一句老话。
本册分五幕：第一幕讲他面对的两条来路（p.6—p.12）；第二幕讲勾股，从一张图到一类题（p.13—p.19）；第三幕讲方程与开方，讲到天元术的接回（p.20—p.26）；第四幕讲三角与测量，从地上量到天上（p.27—p.33）；第五幕讲历算、著作与身后（p.34—p.40）。
三层读法照旧：故事层无需预备知识；数学层只用到整数四则、平方与开方、直角三角形与简单的角（p.7—p.9、p.14—p.16、p.21—p.23、p.28—p.30、p.35—p.37），每一步都从头算起；注疏层给出原书、版本与研究文献，逐页可查。
康熙年间，安徽宣城有一间书房，桌上常年摊着三样东西：一部《九章算术》，一部《崇祯历书》，一支笔。
书房的主人叫梅文鼎。他没有功名，没有官职，也没有钱刻书。他写的东西，多数是手抄本，抄给朋友，抄给学生，抄给来求教的陌生人。一本抄完，再抄一本；有些书抄了三十年，才等到刻印的那一天。
这些抄本里有一本，没有序，没有跋，开头就是一道题。题目是《九章》里的老题：今有勾三尺，股四尺，问弦几何。答案人人知道：五尺。
可下一页不是答案，是一张图。图上画着一个正方形，被切成几块，用朱色与黄色分别标出。图下写着一行小字：「勾股各自乘，并而开方，即弦。」 这句话《周髀算经》里就有，一千多年了，没有人觉得需要再证一遍。
他证了一遍。因为他要拿这张图去和另一本书里的图对照——那本书叫《几何原本》，图是欧几里得的，证法是公理与命题。两张图讲的如果是同一件事，那么两套学问就有通的路；如果不是，那就得说清楚差在哪里。
这本抄本后来收进《历算全书》，题作《勾股举隅》。「举隅」二字出自《论语》：举一隅，不以三隅反，则不复也。他举的是一角，要人反的是三面。
十七世纪的中国读书人，面前有两座山。
一座是古法。《九章算术》里的方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股；《周髀》里的盖天与勾股；宋元人的天元、四元、增乘开方、垛积、招差。这套东西算得出历法、算得出赋税、算得出土木，用了一千五百年。
一座是新法。利玛窦与徐光启译的《几何原本》前六卷（1607），李之藻与利玛窦译的《同文算指》（1613），徐光启主持的《崇祯历书》（1634 年前后成书），以及随历书进来的平面三角、球面三角、对数、地球与经纬度。这套东西算得比古法准，尤其算天。
两座山之间有一道缝。缝不宽，可深。古法讲「术」，一步接一步，为什么这么走，书上不写；新法讲「理」，先立公理，再推命题，为什么这么走，书上写满了。读古法的人读新法，觉得啰嗦；读新法的人读古法，觉得没头没尾。
更麻烦的是名词。古法的「勾股」，新法叫「直角三角形」；古法的「弦」，新法叫「斜边」；古法的「天元」，新法叫「未知数」；古法的「廉隅」，新法叫「二项式系数」。名字不同，东西是不是同一个？没有人从头到尾对过一遍。
梅文鼎做的事，就是把这本账对清楚。他对得很笨：一条一条地读，一条一条地比，比完写下来，写成别人也能照着比的样子。这件事没有天才的闪光，只有几十年的耐心。
先认三个词。
勾股。直角三角形里，短直角边叫勾，长直角边叫股，斜边叫弦。「勾三股四弦五」是最小的一组整数解，古书里叫「勾股形」。中国算学里，几乎所有的面积、开方、测量问题，最后都能折成一个勾股形。
天元。「元」是未知量。设一个未知量为「天元」，写成「立天元一为某某」，然后按题意列式，最后「开方」求出它。这套办法在宋元之际极盛，李冶《测圆海镜》（1248）用它解了几百道题。
借根方。这是清代人对西洋代数的叫法，意思是「借一个根，再求方」。步骤是：先设所求的数为「根」，把题中的条件写成含根的等式，再逐次降幂，最后开方求根。
三个词摆在一起，事情就清楚了。「天元」与「借根方」是同一件事的两种叫法：都是设未知数、列方程、解方程。「勾股」则是两边共有的地基：中国的勾股形，就是西洋的直角三角形；中国的「弦实」，就是西洋的「斜边上的正方形」。
可这个「就是」，不是一眼能看出来的。因为两边的写法完全不同：一边用筹，一边用笔；一边写「立天元一」，一边写「设所求之数为根」；一边叫「开方」，一边叫「extractio radicis」。要对上，得先把两边的步骤一步一步摆平。
这一册要看的，就是这几步怎么摆平。摆平之后，两套数术并没有变成一套；它们变成了一张可以互查的表。
1633 年，也就是明崇祯六年，梅文鼎生在安徽宣城。他十一岁那年，明朝亡了。此后的几十年，江南的读书人大多在两件事之间摇摆：一件是应考，一件是避世。
他走的是寻常路。少年读书，二十岁前后补了诸生，此后一次次赴乡试，一次次不第。科举考的是经义与策论，不考历算；他把心思放在历算上，考场上自然不占便宜。
大约四十岁前后，他不再赴考。不是愤世，是算清了账：一术之精，未必能换一第；一年之费，不如买几部书。此后近五十年，他的日子就是读书、算题、写信、抄书、教学生。
他的书房不大，可来的人不少。有本县的子弟，有外府来的访客，也有素不相识、只凭一封信来问一道题的人。他回信极认真，往往一写就是几千字，把一道题的来龙去脉讲完。这些信后来多数散失，少数被收进文集。
1689 年，他五十七岁，第一次进北京。住在藏书家黄虞稷家里，白天读黄氏千顷堂的藏书，晚上与阎若璩、顾祖禹、万斯同这些人谈学。那一年他读到了许多在宣城见不到的书，也第一次把两边的人物、两边的书、两边的说法，在脑子里排成了一张网。
1705 年，康熙第五次南巡，在德州召见他。君臣谈了三日历算，皇帝赐他四个字：「积学参微」。那一年他七十三岁，还是一个布衣。
把两套学问摆开看，体例完全不同。
古法的体例是「术」。《九章算术》二百四十六道题，每题给「问」、给「答」，再给「术」。术是一串动作：置某数，乘某数，除某数，开方，得某数。术不解释为什么，只保证照着做就对。刘徽作注，才补上理由。
新法的体例是「理」。《几何原本》先列界说、公论、公设，再由前命题推后命题。每一条命题都要说「因为某，所以某」，一步不许跳。它不保证算得快，只保证每一步都站得住。
两种体例各有各的长处。术的长处是能算：农夫、匠人、吏员照着术做，不必懂理。理的长处是能改：懂得了为什么，遇到术里没有的情形，可以自己推。一个管用，一个管懂。
麻烦在于，两边都以为自己是全部。治古法的人说：西法所算，古法皆有，何必多此一举。治新法的人说：中法有术无理，不足与言学。梅文鼎两边都不站。
他的判断很朴素：「法有可采，何论中西」。能算得准、能说得通，就用；说不通的地方，才需要补。这不是调和，是把「用」与「懂」分开来看。
算得准不准，一半看脑子，一半看手上的工具。十七世纪的中国，同时有三种算法在用。
一是筹算。拿一把竹签，按纵式与横式相间摆出数目，个位纵、十位横、百位纵，遇零空一位。《九章》里的每一步，都是在对着一堆签子做。筹算的好处是看得见位值，坏处是一动就乱，中间结果留不住。
二是珠算。程大位《算法统宗》（1592）之后，算盘遍及商肆。珠算快，口诀顺口，做加减乘除极便。可算盘没有「过程」：拨完只剩一个结果，中间怎么来的，看不出来。
三是笔算。西洋算法用笔在纸上写竖式，一位一位地算，算完的草稿留着。笔算的好处是「过程留在纸上」——错了能查，别人能看，能接着往下推。
三者相比，差别不在快慢，在「能不能回头」。筹算与珠算都是「算完即弃」，纸上不留痕迹；笔算把推演摊在纸面上，推演因此成了可以检查的东西。这一点，正是符号代数能在欧洲长出来的土壤。
梅文鼎看得清楚。他写《筹算》，也写《笔算》，还把西洋的笔算格式改成中国人顺手的样子。他不是要废掉哪一样，而是要让三样各在其位：筹算明理，珠算便用，笔算留痕。
「会通」这个词，当时有三种用法，含义大不相同。
第一种是「西学中源」。说西洋的学问本来出自中国，只是后来传了出去，如今又传回来。这种说法在清初很盛，梅文鼎也常这样说：几何即勾股，借根方即天元，三角即重差。
第二种是「各有所长」。说两边各有一套，取长补短即可，不必追问谁先谁后。徐光启说过一句更彻底的话：「欲求超胜，必先会通；会通之前，先须翻译。」 他要的不是对照，是超过。
第三种是「以中法解西法」。不争论来源，只用中国已有的图、已有的术语，把西洋的每一条命题重讲一遍，看能不能讲通。讲得通，说明两边同理；讲不通，说明有一边错了，或者两边说的不是一件事。
梅文鼎三种都用，可重心在第三种。因为前两种是态度，第三种是工作。态度可以争一千年，工作只能一条一条做。
他给这件工作定了一个判据，很简单：两边的方法能不能互相改写，改完之后结果对不对得上。能，就是会通；不能，就还是两套。这个判据不涉及民族感情，只涉及纸上的步骤。
梅文鼎一生，抄过很多书。
那个年代的书，多数靠抄。刻本少，价钱贵，借到一部书往往只有几天。抄书的人得在几天里把一部书过一遍，抄完还要校，校完还要记住哪一卷在哪一处。
抄书是一种慢读。眼睛看一遍，手写一遍，脑子再过一遍；三遍下来，字句就长在身上了。后来的学者说他记性好，其实一半是抄出来的。
抄书也让他看见了一些别人看不见的东西。同一部书的不同抄本，字句常有出入；一处出入，可能就是一个方法的失传。他校《测圆海镜》，就是从一个抄本的「细草」里，认出了「立天元一」的用法。
抄书还有一层意思。抄本是可以送人的。他把自己的书抄给别人，别人把别人的书抄给他。一张看不见的网，就这样在几十年里结起来：宣城、南京、杭州、北京，一个个书房连成一片。
这张网没有名分，没有经费，也没有衙门。可清初的历算之学，正是靠这张网传下来的。有些学问不是被谁发明的，是被谁抄下来的。
第一幕走了三条线。
第一条是家国。他生在明末，长在清初。改朝换代对读书人的影响，不只是换一个年号，是换一整套「什么算学问」的标准。经义是正途，历算是旁门；他选了旁门，就得自己给自己找理由。
第二条是书。古法与西法，两堆书摆在面前。一堆讲术，一堆讲理；一堆用筹，一堆用笔；一堆叫勾股，一堆叫三角。两堆书都读通了，问题才出现：它们说的是不是同一件事。
第三条是人。他是一个布衣。布衣没有衙门，没有历局，没有钦天监的观测台；他能用的只有纸、笔、借来的书，和几个通信的朋友。这限制了他能做什么，也决定了他只能做「纸上的会通」。
三条线在一个地方碰头：「一个人关在书房里，也能替两套学问做校对」。校对不需要权力，只需要耐心；不需要观测台，只需要把两边的步骤一步一步对齐。
碰头之后，问题就变了。原来问的是「西法准不准」，现在问的是「西法的哪一步，能用中法说出来」。前一个问题要靠天象来答，后一个问题只要一张纸。
下一幕就从这张纸开始：一张弦实图，一道勾股题，一条从图到理的窄路。
一、梅文鼎是一个布衣。没有官职，没有观测台，只有书房、借书与通信。他的会通是纸上的会通，靠的是一条一条地对读。
二、两套学问的体例不同。古法讲「术」，保证能算；新法讲「理」，保证每步站得住。会通不是让一边投降，是让两边能互相改写。
三、会通的判据是可改写、可互验。两边的步骤能对上，结果能对上，才算通；对不上，就老实承认是两套。
下一幕看第一件工作：一张弦实图，怎样把勾股定理从「术」变成「理」，又怎样把它和《几何原本》的图接上。
1607 年，北京，一本叫《几何原本》的书刻成。译者是徐光启与利玛窦，只译了前六卷。书里第一条让人吃惊的命题，是「直角三角形斜边上的正方形，等于两直角边上两个正方形之和」。
中国读书人看到这条，第一反应往往是：这不就是勾股？「勾股各自乘，并而开方，即弦」，说的是同一件事。一句话就把人家一整页的证明打发了。
可两种说法的分量不一样。「勾股各自乘」是一句术：照做就行，为什么行，不管。《原本》那一页是理：先证两个三角形全等，再证两个正方形等积，最后把三块拼起来。术只说「怎么做」，理要说「凭什么」。
梅文鼎没有停在「这不就是勾股」上。他把《原本》前六卷里能用勾股解释的命题，一条一条挑出来，用中国的图与中国的术语重讲一遍，写成《几何通解》。「通解」二字，通的是两边的话，不是把西书改成中书。
他挑中的第一条，是《原本》第三卷第三十一题：半圆上所对的角是直角。这条命题在《原本》里用等腰三角形与三角形内角和来证，一句勾股也没提。梅文鼎用勾股重证了一遍——他要看看，两套话能不能说到同一个地方。
这一幕就沿着这条线走：先看一张弦实图，再看由弦求勾股的一类题，最后回到那个半圆。三步走完，「几何即勾股」这句话，就不再是一句口号。
先看一张图。以勾股和 a + b 为边，作一个大正方形。
在四个角上，各放一个直角三角形，两直角边为 a 与 b，斜边为 c。四个三角形摆成一圈，中间正好空出一个正方形，边就是 c。
现在算两次面积。
第一次，算大正方形：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。
第二次，算四块加一块：四个三角形，每个面积 ab/2，四个合起来 2ab；中间的正方形面积 c2。合计 2ab + c2。
两次算的是同一块地，所以相等：a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2。两边同时去掉 2ab，得 a2 + b2 = c2。
拿勾三股四验一遍。(3 + 4)2 = 49；四个三角形 4 × 6 = 24；49 − 24 = 25 = 52。对上。
梅文鼎把这个证明的要害说成一句话：「勾股积」是同一个量，从大处算是 2ab，从小处算也是 2ab，所以可以两边对消。对消这一步，就是「理」；照着算出差额，就是「术」。
勾股题有一大类，给的不是两条边，是一条边加一个差。比如：弦十三，股比勾多七，问勾股各几何。
设勾为 a，股为 b，弦为 c，较（股减勾）为 d = b − a。把 b = a + d 代进勾股定理：
c2 = a2 + (a + d)2 = 2a2 + 2ad + d2。
移项：2a2 + 2ad = c2 − d2。左边配方：(2a + d)2 = 2c2 − d2。于是
a = (√(2c2 − d2) − d)/2，b = a + d。
验第一组：c = 13，d = 7。2 × 169 − 49 = 289，开方得 17，a = (17 − 7)/2 = 5，b = 12。验：25 + 144 = 169。
验第二组：c = 25，d = 17。2 × 625 − 289 = 961，开方得 31，a = 7，b = 24。验：49 + 576 = 625。
这里有一个门槛，得说明白。2c2 − d2 不一定是完全平方。是，勾股是整数；不是，勾股就带根号。梅文鼎把「是」的情形一条一条列出来，把「不是」的情形交给开方术——这正是一个布衣算家的分寸。
《原本》第三卷第三十一题：圆上以直径为一边的角，是直角。欧几里得的证法不碰勾股，只用等腰三角形与三角形内角和。
梅文鼎换一条路。设圆心为 O，直径为 AB，圆上一点 P。连 OP。因为同圆的半径相等，OA = OP = OB = r。
于是得到两个等腰三角形：△OAP 与 △OBP。等腰三角形的两底角相等，所以 ∠OAP = ∠OPA，∠OBP = ∠OPB。
再看大三角形 △APB，三个角是 ∠OAP、∠OBP、∠APB，而 ∠APB = ∠OPA + ∠OPB。三角之和为一百八十度，于是两个锐角之和等于一个直角，∠APB 也是直角。
现在用勾股验一遍。取半径 r = 5，于是 AB = 10。在圆上取一点，使 PA = 6。直角三角形里 PB2 = 100 − 36 = 64，PB = 8。验：36 + 64 = 100。
两套话说到这里就对上了：欧几里得用「等腰—内角和」推出直角，梅文鼎用「直角—勾股」反推出边的关系。一个从角到边，一个从边到角；同一张图，两条路。
这一步不大，可是方法上的意义不小。它说明「几何即勾股」不是一句大话，而是一条可以逐题兑现的兑换率。兑得了，就通；兑不了，就得承认有一边还没读懂。
中国算学重图，西洋几何也重图，可图的地位不一样。
在中国，图是「验」的工具。术给出步骤，图给出一个看得见的凭据：把块面移一移，面积对上了，这条术就靠得住。图不必逻辑严密，它只需要让人一眼信服。
在西洋，图是「证」的辅助。命题的真，靠前提与推理；图画得再准，也只是帮助眼睛跟上。图可以画歪，证明不能歪。欧几里得的图从来不标数值，就是这个道理。
两种态度各有代价。重图的，容易停在一眼看懂的地方，不再追问「为什么必然如此」；重理的，容易把图丢掉，读到后来不知自己在说什么。
梅文鼎两边都舍不得。他的书里，图一定画，而且画得极细：哪一块是勾实，哪一块是股实，哪一块是弦实，都标清楚；可图后面一定跟一段推演，把「移一移」换成「算一算」。图给眼睛，算给怀疑。
这种写法有个好处：它让两边的读者都能进来。看图的，先信了；看算的，后服了。会通之所以能成，一半靠这种「两条腿走路」的写法。
勾股定理有三张著名的图。
第一张是赵爽的弦图。以弦为边作正方形，内部放四个勾股三角形，中间夹一个小正方形，边长是股减勾。算面积：c2 = 4·(ab/2) + (b − a)2 = a2 + b2。
第二张是梅文鼎的大方图。以勾股和为边作正方形，四角放四个三角形，中间空出弦方。算面积：(a + b)2 − 4·(ab/2) = a2 + b2。
第三张是欧几里得的风车图。两直角边上各作正方形，从直角顶点向斜边作垂线，把斜边正方形分成两块，再用全等三角形证明每一块分别等于一个直角边正方形。
三张图，一条定理。赵图是「内分」，梅图是「外补」，欧图是「等积」。内分靠移位，外补靠对消，等积靠全等。三种手法，三种传统，落在同一个等式上。
梅文鼎的分量在这里：他没有说「古书早就有」，也没有说「人家更严密」；他把三张图并排放着，让读者自己看它们怎样说同一件事。并排放着，是一种很克制的做法——它不争先后，只争通不通。
下一幕换一个题目：方程。那里没有图可看，只有一整套符号；会通的难处，也从「眼睛」转到了「手」。
一、勾股定理有三张图，一条理。内分、外补、等积，三种手法落在同一个等式上。会通的第一步，是把这三张图并排看清。
二、「勾股较」这类题，是从「一条边」走到「一类边」。给弦与差，能反求勾股；公式是 a = (√(2c2 − d2) − d)/2，能不能得整数，要看开方尽不尽。
三、「几何即勾股」是可以逐题兑现的。半圆上的直角，用等腰三角形推得出，用勾股也验得出。兑得了就通，兑不了就老实说没读懂。
下一幕进方程：一部讲「方程」的书，一座「开方作法本源」的三角，以及一句把两套代数接上的判断。
1672 年前后，梅文鼎写成《方程论》六卷。这是他的第一部大书，也是清代第一部专论「方程」的著作。
书名里的「方程」，不是今天课本里的「方程」——不是含未知数的等式，而是一组一次式：几个未知量，几个条件，摆成一张方阵，一起解出来。这个意思来自《九章算术》第八章，那一章就叫「方程」。
他写这本书，先是为了正名。当时的人把「方程」与「借根方」混为一谈，甚至有人拿「方程」去指西洋的代数。名一乱，法就乱：本来是两套不同的东西，被叫成同一个名字，学的人就永远分不清。
书里先把「方程」的界限划清：一是未知量的个数与条件的个数相等；二是每个条件都是一次式；三是解法是「直除」——一行一行地减，减到只剩一个未知量。这三条，就是《九章》的老规矩。
划清之后，他才讲新东西。他讨论正负数的加减法则，讨论「无对」的情形（今天叫不相容），讨论「有无穷多解」的情形，还讨论如何用「和较交变」把复杂的条件化成标准形。这些讨论，比《九章》细得多。
这本书没有引起多大反响。因为它讲的题目，日常用不上；能用上的人，又多半不读这种书。可它把一条快要断的线接住了：中国的「方程」之学，从此有了一个清楚的、可以教人的本子。
看《九章》的第一道方程题。
上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，共三十九斗；上禾二秉、中禾三秉、下禾一秉，共三十四斗；上禾一秉、中禾二秉、下禾三秉，共二十六斗。问三种禾各一秉实几斗。
设上禾一秉 x 斗，中禾 y 斗，下禾 z 斗。三个条件写成三行：
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
古法叫「直除」：拿一行去减另一行，把某一列消成零。先做第一行减第二行：x − y = 5，即 x = y + 5。
再做第二行减第三行：x + y − 2z = 8。代入 x = y + 5：2y − 2z = 3，即 z = y − 1.5。
代进第三行：(y + 5) + 2y + 3(y − 1.5) = 26，得 6y = 25.5，y = 4.25。于是 x = 9.25，z = 2.75。
验：3 × 9.25 + 2 × 4.25 + 2.75 = 27.75 + 8.5 + 2.75 = 39；2 × 9.25 + 3 × 4.25 + 2.75 = 18.5 + 12.75 + 2.75 = 34；9.25 + 8.5 + 8.25 = 26。三行都对。
这就是今天的高斯消元法，早了近两千年。差别只在写法：古人把系数摆在筹上，一行一行地减；今天把系数写成矩阵，一行一行地减。动作一样，只是纸面不同。
开方是古算里的重活。开平方还容易，开立方就麻烦，开四次以上，多数人一辈子碰不到，也一辈子学不会。
梅文鼎写《少广拾遗》，把这件重活理成一条路。他用的工具，是一张三角形的数表，古书里叫「开方作法本源」，今天叫贾宪三角或杨辉三角。表的第 n 行，就是 (a + b)n 展开式的系数。
看第四行：1 3 3 1，对应 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3。古书把这四项叫「方、廉、隅」：a3 是方，3a2b 与 3ab2 是廉，b3 是隅。廉是边，隅是角，说的是一个立方体被切开后的各个块。
用这张表开立方，试 ∛1728。先定十位：1000 ≤ 1728 < 8000，所以十位是 1。设 a = 10，个位为 b，则
1728 = 1000 + 300b + 30b2 + b3，即 728 = 300b + 30b2 + b3。试 b = 2：600 + 120 + 8 = 728，正好。所以 ∛1728 = 12。
梅文鼎把这张表推到「十二乘方」，也就是十三次。第十三行的系数之和，是 212 = 4096。这个数不是他算出来的答案，是他能走到的边界。再往上，纸不够，字太长，实用上也无人问。
《少广拾遗》的分量不在难度，在秩序。它把「开几次方」变成「查第几行表」，把一门靠师傅口传的手艺，变成一套可以印在纸上、照着走到底的步骤。会通的工作，多半是这种活：不添新东西，只把旧东西摆整齐。
天元术的样子，看一道题最清楚。
勾股之和为十四，弦为十，问勾股各几何。
天元术的写法是：「立天元一为勾。」 设勾为 x，则股为 14 − x。「各自乘，并而开方，得十」：
x2 + (14 − x)2 = 100。展开：2x2 − 28x + 196 = 100，即 x2 − 14x + 48 = 0。
「开方」得 x = 6 或 x = 8。两个根都对：勾六股八，或勾八股六。古人不排斥这个「两解」，只说「勾股可互易」。
再看借根方。西洋的写法是：「设所求之数为根。」 设勾为 x，股为 14 − x，列式 x2 + (14 − x)2 = 100，化简得 x2 − 14x + 48 = 0，开方得六与八。
两步一模一样，只差名字：一个叫「天元」，一个叫「根」。「元」是首、是始；「根」是根源、是本。两个词都在说同一件事：先给未知量一个临时的名字，把它当已知的用。
梅文鼎的判断就是从这里来的。他读《测圆海镜》的细草，看见「立天元一」四个字，立刻认出这就是借根方的第一步。认出来之后，两边几百道题就可以互相对照：中法的题，用西法解一遍；西法的题，用中法解一遍；解得通，说明两边真是一回事。
天元术曾经失传过一次。
宋元之际，它是显学。李冶、秦九韶、朱世杰的书里，天元、四元、增乘开方、垛积招差，一套接一套。可到了明代，这些书多半散佚，剩下的几种，读的人也读不懂了。
失传有一个具体的样子。顾应祥得到《测圆海镜》，看见每道题后面那一段「立天元一」的细草，不明白它在做什么，索性删掉，另写一套「释术」。删的时候，他大概以为自己在整理；后世看，那是把方法从书里摘掉了。
删掉之后，书还在，题还在，答案还在。可「怎样从条件走到答案」这一段，没有了。读者只能看见结果，看不见路。这就是失传：不是书烧了，是路断了。
梅文鼎把路接了回来。他靠三样东西：一是残存的细草，二是《九章》开方术的旧法，三是西洋借根方的完整步骤。三样摆在一起，缺的那一段就能补上——因为同一道题，三种写法都通向同一个答案。
这件事给他的启发，比任何一条定理都大。他后来治学的路子，一直是「以有证无」：用手上完整的，去补那个残缺的；用两边都通的，去解释一边说不清的。
知识不是一条直线，它有断口。断口不会自己长好，得有人拿别的东西去接。
两边都做同一件事，可说出来是两句话。
中法说：「立天元一为某某。」 这句话的重心在「立」——把未知量立起来，给它一个位置。立起来之后，它就与已知的量平起平坐，可以相加、相乘、开方。
西法说：「设所求之数为根。」 这句话的重心在「设」——暂且假定它是某个数。假定之后，题中的条件就变成关于这个数的等式，解出来就是答案。
两句话的差别在语气，不在动作。「立」有几分郑重，像立一根柱子；「设」有几分权宜，像借一件东西。可柱子也好，借来的东西也好，作用是一样的：让一个还不知道的数，先在纸上有个位置。
这一步为什么重要？因为在它之前，人只能从已知往未知算：一步一步，像走路。在它之后，人可以把未知当已知，从两头往中间凑：像架桥，两边同时开工。
梅文鼎把这个动作认出来之后，会通就有了着落。不是「中法也有」，也不是「西法更高」，而是：这个动作两边都有，只是叫法不同；叫法不同，不妨碍对照。认出一个共同的动作，比争论谁先做，有用得多。
下一幕离开纸面，去看他怎样把三角用到地上与天上。那里有一个更硬的标准：算出来的数，得与量出来的对得上。
一、「方程」古义是一组一次式。《九章》用算筹布成方阵，直除消元；梅文鼎《方程论》为它正名，并把各种情形分清楚。
二、开方靠一张表。「开方作法本源」第 n 行就是 (a + b)n 的系数；梅文鼎推到十二乘方，把口传的手艺变成纸上的步骤。
三、天元即借根方。「立天元一」与「设所求之数为根」是同一个动作的两种说法。认出这个动作，两套代数就能互相对照。
下一幕去看三角：先量一座塔，再量一个天。量地的法子古已有之，量天的法子是新来的；梅文鼎要把它们接到一起。
中国算学里，测量的历史很长。
《海岛算经》开篇就是一道大题：望海岛，立两表，表高三丈，前后相去千步，两次却行，问岛高与去表各几何。解法只用相似：两个直角三角形，对应边成比例，比一比就出来了。这套办法叫「重差」，刘徽注《九章》时把它单列成书。
重差有一个好处：不需要三角函数表，只需要会量长度。也有一个短处：每一次测量都要重新立表、重新构图，题一变，法就得重来。
西洋的办法不一样。它把「角」也算成可测量的量。测一个仰角，查一张正弦表，边与角就能互相换算。一张表管住所有题，题变，法不变。
梅文鼎两边都熟。他写《平三角举要》，讲平面三角形的边角互求；写《弧三角举要》，讲球面三角形；写《堑堵测量》，讲立表测望；写《环中黍尺》，讲怎样在纸上用尺量出球面三角形的结果。四部书，正好把「地」与「天」两级都铺到。
他有一个说法，很能说明他的态度：「三角即勾股」。在他看来，正弦表不过是把勾股形的「勾股相较」预先算好、列成行，用时查一查。这话不全对，可也不全错——平三角的根，确实扎在直角三角形里。
先看平面三角最常用的一条：正弦定理。
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R，其中 R 是外接圆半径。说白一点：三角形里，边与它对角的正弦成比例。
用它量一座塔。在塔前一点测得塔顶仰角三十度；向塔走二十步，再测得仰角四十五度。问塔高。
设塔高 h，第一次测点到塔底的距离为 x。两次都是直角三角形：
tan 30° = h/x，tan 45° = h/(x − 20)。
由第二式 x − 20 = h，即 x = h + 20。代入第一式：h = (√3/3)(h + 20)。
两边乘三：3h = √3 h + 20√3，h(3 − √3) = 20√3，h = 20√3/(3 − √3) = 20/(√3 − 1)。
算数值。√3 ≈ 1.732051，h ≈ 20/0.732051 ≈ 27.32 步。验：x = 47.32，27.32/47.32 ≈ 0.5774 = tan 30°；27.32/27.32 = 1 = tan 45°。对上。
这道题的要害在「两角一边」。一个角定方向，一个角定比例，一条边定大小；三样齐了，三角形就定了。这正是三角比勾股多出来的那一点：勾股只管直角，三角管任意角。
量天不能用平面三角。因为天是一个球，天上的三角形，边是弧，不是直线。
球面三角形有一条怪性质：三个内角之和大于一百八十度。大多少，取决于三角形占了多少球面。
看一个最简单的例子。把球面按三个互相垂直的大圆切开，得到八个全等的三角形，每个叫一个「八分仪」。取其中一个：它的三条边都是四分之一大圆，三个角都是九十度。
三个九十度加起来是二百七十度，比一百八十度多出九十度。这多出来的九十度，叫「球面剩余」。
剩余不是白多的，它管面积。球面三角形的面积等于剩余（化成长度制）乘以半径的平方。八分仪的剩余是九十度，即 π/2，于是面积 = (π/2)R2。
验一下。整个球面面积是 4πR2，八个八分仪，每个应是 4πR2/8 = (π/2)R2。正好对上。
球面三角的用处，在历法。太阳、月亮、恒星在天球上的位置，用赤经赤纬或黄经黄纬表示；两种坐标之间的换算，就是解一个球面三角形。梅文鼎《弧三角举要》立「总较」诸术，正是要把这套换算写成中国读者能一步步跟着走的格式。他不用「球面剩余」这个名字，可他算的是同一件事。
重差的办法，一道题就看清。
塔高未知。立两根表，各高两丈，前后相距三十步。从前表向后退六步，伏地望塔顶，视线正好过表顶；从后表向后退十步，同样望塔顶，视线也正好过表顶。问塔高与塔到前表的距离。
设塔高 H，塔到前表距离 D。两次望，得到两个相似三角形：
(H − 2)/D = 2/6，(H − 2)/(D + 30) = 2/10。
第一式给 H − 2 = D/3；第二式给 H − 2 = (D + 30)/5。两式右边相等：
D/3 = (D + 30)/5，5D = 3D + 90，D = 45 步。于是 H − 2 = 15，H = 17 丈。
验：15/45 = 1/3 = 2/6；15/75 = 1/5 = 2/10。都对。
古法把这个算法写成两句口诀：塔高 = 表高 + 表高 × 表间 ÷ 影差；塔距 = 前表却行 × 表间 ÷ 影差。本題影差是 10 − 6 = 4，于是 H = 2 + 2 × 30 ÷ 4 = 17，D = 6 × 30 ÷ 4 = 45。
这套办法不用一个三角函数，只用「相似」与「比例」。它的代价是：每换一道题，要重新摆一次图；它的好处是：不识字的人也能照着做。三角把「摆图」换成了「查表」，从此题变而法不变——这就是西洋算法胜出的地方。
梅文鼎一辈子没有自己的观测台。
钦天监有浑仪、有圭表、有漏刻，后来还有西洋来的象限仪与望远镜。这些他都没有。他能用的，是纸、笔、算筹，和借来的几张表。
没有仪器，就得换一种做法。他写《环中黍尺》，用一个很土的办法：在纸上画一个圆，用黍粒排成尺，量弧长，再按比例换算成角度。这叫「以量代算」——把球面三角形画成平面图，用尺去量，量出来的数与算出来的数对照。
这办法粗糙，可它有一样好处：能检验。算出一个角，画出来量一量，差得远，说明算错了；差得近，说明大致不错。没有仪器的人，就用纸当仪器。
他也很清楚这办法的短处。纸会皱，尺会歪，黍粒大小不匀；量到一度以内，就说不准了。所以他的书里，量法只用来验算，不用来定数。定数还得靠推。
这一点很值得看。一个没有仪器的人，把「验」这一步留在了纸上；一个有仪器的人，把「验」交给了天。两条路都能走，可走出来的学问不一样：一条偏重推演，一条偏重观测。
量地与量天，用的是同一套东西。
量地：立两根表，看两次视线，用相似三角形求高。量天：取两个观测点，看同一个天体的高度角，用球面三角形求距离。两边都是「以可测的比，推不可测的量」。
相似这件事，中西都有。中国的「重差」，核心是「对应边成比例」；西洋的「三角」，核心是「边与对角的正弦成比例」。前者是几何的比例，后者是函数的比例；一个是看图，一个是查表。
梅文鼎把两边接起来，用的还是那句「三角即勾股」。他的推理是：任何三角形都可以拆成两个直角三角形；直角三角形里，边与边之比就是勾股之比；把这些比预先算好、列成表，就是八线表。所以三角不是新学问，是把勾股算尽了的学问。
这个说法有一个漏洞：任意三角形的角，不一定能拆成勾股形里的「勾股相较」，因为拆出来的两个直角三角形，共用一条高，而高不一定落在形内。钝角三角形就要另作处理。梅文鼎知道这一点，他的书里专门讨论了钝角与「外角」的情形。
漏洞不妨碍他的大判断。会通不要求每一句都严丝合缝；它要求的是：大处能对上，小处能说清差在哪里。说清差在哪里，本身就是会通的一部分。
一、重差靠相似，三角靠表。前者题变则法变，后者题变而法不变。梅文鼎两样都写，两样都用。
二、球面三角形的内角和大于一百八十度。多出来的部分叫球面剩余，它管面积；八分仪的剩余是九十度，面积恰为球面的八分之一。
三、没有仪器，就把纸当仪器。《环中黍尺》以量代算，量法只用来验算，不用来定数——这个分寸，比方法本身更值得记。
下一幕进历算：一部书的旅行，一张表的用法，一个不均匀的天，以及「会通」这件事的边界。
梅文鼎的书，走得很慢。
他一生著书八十余种，多数没有刻过。写完一部，抄几份，送人；有人来求，再抄一份。抄本在朋友、学生、同好之间传，传到谁手里，就在谁家的书架上躺着。
转机在 1702 年。这一年康熙南巡，大学士李光地把梅文鼎的《历学疑问》进呈。皇帝读了，说此人留心历象，学问有根柢。三年后，1705 年，皇帝再下江南，在德州召见他，谈了三日，赐「积学参微」四字。
有了这四个字，书还是没刻。名气来了，钱没来。直到 1723 年，也就是他去世两年后，魏荔彤在兼济堂刻成《历算全书》六十卷，收书二十余种，他的东西才第一次成批地印出来。
再往后是 1761 年。他的孙子梅瑴成编成《梅氏丛书辑要》六十二卷，删去重复，校正讹误，把祖父一生的工作收成一部可以读通的书。同年，梅瑴成参与编纂的《数理精蕴》也已颁行——那部书里的「借根方比例」，正是他祖父认出来的那件事。
一部书的旅行，走了近百年。手抄、进呈、召见、刻印、辑要，每一步都不快，每一步都可能断。它没有断，一半靠家里人，一半靠那几个愿意抄书的陌生人。
学问的传法，往往不是靠天才，是靠这些不快不断的小事。
历算离不开表。
《崇祯历书》带来大批表：正弦表、余弦表、正切表，还有日月五星的「立成表」——按日、按刻排好，查一查就能用。表把「算」变成了「查」，一步省下几十次乘除。
可表是离散的。表上只列整度，或者每隔几分列一格；要用的角，往往落在两格之间。这时就靠插值：按比例补出中间的值。
看一个例。表上给出 sin 23° = 0.390731，sin 24° = 0.406737。两格相差 0.016006。要 sin 23.5°，按一半补：0.390731 + 0.008003 = 0.398734。
真值是多少？sin 23.5° ≈ 0.398749。两者相差约 0.000015，也就是十万分之一点五。对历法而言，这个误差小到可以忽略；对角度的最后一位，可能差一点。
插值为什么准？因为正弦曲线在这一小段里几乎是直的。把一段弯线当直线补，弯得越缓，补得越准。这也解释了为什么表要列得密：格越密，段越短，直线近似越好。
梅文鼎对表的用法极熟。他的书里，先立术，再举例，例中必写「查表得某数」，然后一步步算到底，最后还要「以量验之」。术、表、量，三样互相扣着，这是他治历算的固定套路。
古人把一年分成二十四气，每气十五度。若按天数平分，叫「平气」：每气十五天多一点，整齐好记。可按太阳实际走的位置分，叫「定气」：太阳走到黄经某度，就是某个节气。
两者不一样，因为太阳走得快慢不均。地球绕日走的是椭圆，近日点在一月初，远日点在七月初。近日点走得快，约每日 1.019°；远日点走得慢，约每日 0.953°。
于是节气有长有短。冬至前后，太阳走得快，十五度只消 15 ÷ 1.019 ≈ 14.72 天；夏至前后，走得慢，十五度要 15 ÷ 0.953 ≈ 15.74 天。两者相差一天多。
这个差别不是小事。按平气排历，节气与实际天象会越差越远；按定气排历，节气对得上天，可节气之间的天数不整齐，排历麻烦。中国历法在唐《麟德历》以后行定气，正是选了「准」而不是「齐」。
还有一件更慢的事：岁差。地球自转轴像陀螺一样缓缓摆动，春分点每年西退约 50.29″。一年退五十角秒，要 360 × 3600 ÷ 50.29 ≈ 25770 年，才退满一圈。换算成「每度多少年」：3600 ÷ 50.29 ≈ 71.6 年差一度。
晋代的虞喜第一次看出这件事，此后历代历家都要定一个岁差值。梅文鼎在《历学疑问》里讨论古今岁差数值的不同，指出这不是谁算错了，而是「差」本身在变。这句话的分量在于：他把一个「数」看成了一个「变量」。
「西学中源」这句话，得拆开看。
有些比附是站得住的。「借根方即天元」——两边的步骤确实一一对应，换名字就行，这是硬碰硬对出来的。「几何即勾股」——在平面图形与直角三角形的范围内，大体成立，超出这个范围就不行。
有些比附是勉强的。「三角即重差」——重差是相似，三角是函数；重差每题重摆图，三角一表管到底，两者不是一回事。「地圆说出于浑天」——浑天说讲天包地如卵黄，与地球为球、天无实体，差得还远。
梅文鼎自己未必分不清。他一边说「西学中源」，一边把西洋的算法一条一条学进来，学得比谁都细。说源流，是给西学找一个能安放的位置；学算法，是知道它真有用。两件事并行，不矛盾。
可这个说法有代价。它容易让人以为「不必再学，只要回头找」。清中叶以后，算学复兴而天文观测停滞，与这种心态不无关系。会通一旦变成「找回」，就不再往前走了。
所以边界在哪里？边界在「能不能算」。能算、能验、能改，就是活的学问；只能引、只能比、只能说「古已有之」，就是死的学问。梅文鼎的可贵，是他始终在算；他的局限，是他把「源」说得太满。
梅文鼎一生没有做官。
不是没有机会。康熙召见之后，地方大吏几次想荐举他，他都辞了。有人说他清高，有人说他固执。他自己的说法很平淡：老了，走不动了，书还没写完。
不仕有好处。他不受衙门管，不必替哪一部历法背书，也不必在「大统」与「时宪」之间站队。他可以今天算西法，明天算古法，算完把两边摆在一起给人看。这种自由，是布衣唯一的好处。
不仕也有坏处。他没有观测台，没有助手，没有经费；一部书要刻，得等别人出钱。他的很多判断，只能靠纸上的推演，不能靠天上的实测。有些结论因此慢了一步，也有些因此错了一步。
这种身份，正好说明了他工作的性质。他不是「引进者」——引进是使节与教士的事；他也不是「制定者」——制定是历局与朝廷的事。他是「校对者」：把两套文本摊开，一字一句地对，对完写下差异。
校对者不出风头，可缺了他，两套文本就永远对不上。一个时代需要有人往前冲，也需要有人蹲下来把账对平。梅文鼎是后一种人，而这件事，他一做就是五十年。
五幕走完，三条线收在一处。
第一条是「术」与「理」。古法讲怎么做，新法讲凭什么。梅文鼎两边都要：图给眼睛，算给怀疑；术保证能算，理保证能改。他写书，一律先立术，再举例，最后补一段「所以然」。
第二条是「中」与「西」。勾股与几何，天元与借根方，重差与三角。他的做法不是合并，是列对照表：左边一行中文，右边一行西文，中间一行写着「此即彼」。对照表一旦列成，两边都能用，且能互相校验。
第三条是「纸」与「天」。他没有仪器，只能纸上推演；可他知道纸上的结果得拿去与天对。所以他的书里，算完必验，验完必记「与某书某表合」或「与某年实测差几分」。纸与天之间，始终留着一道可以核对的缝。
三条线收在一处，收成一句话：会通不是把两样东西变成一样，是让两样东西能互相说明。能互相说明，就不必争谁高谁低；不能互相说明，争也没用。
这句话今天看，仍然有用。两个传统、两套术语、两种训练，碰在一起的时候，最缺的往往不是高明的见解，而是一张肯坐下来对完的对照表。
一、书走得慢。手抄八十年，1723 年才刻成《历算全书》，1761 年才有《梅氏丛书辑要》。学问的传法，靠的是不快不断的小事。
二、表把连续的天折成可查的行，插值再把行补回连续。定气与岁差说明：天不均匀，连「差」本身都在变。
三、会通有边界。能算、能验、能改，是活的；只能引、只能比、只能说「古已有之」，是死的。梅文鼎始终在算，这是他的可贵；他把「源」说得太满，这是他的局限。
下面收束：一条年表，三种读法，三个还没有答案的问题。
把这一册的事排成一条线。
1633 年 生于安徽宣城
1644 年 明亡，年十一
1653 年前后 补诸生
1662 年前后 始治历算
1672 年前后 《方程论》成
1680 年前后 《勾股举隅》《几何通解》
1689 年 入都，馆黄虞稷家
1690 年前后 《几何补编》《少广拾遗》
1699 年 《历学疑问》成
1702 年 李光地进呈《历学疑问》
1705 年 康熙召见于德州，赐「积学参微」
1721 年 卒于宣城，年八十九
1723 年 《历算全书》刻于兼济堂
1761 年 《梅氏丛书辑要》刊行
这条线上，前四十年是读书与应考，中间四十年是写书，最后十年是等书刻出来。他一生的转折不在某一年，而在某一天：他决定不再赴考，把余生交给书房。
写书的四十年，产量大得惊人。八十余种，涉及勾股、开方、方程、三角、测量、历法、天文仪器、中西历争，几乎每一个当时能想到的题目，他都写过一遍。可这些书多数没有印，靠抄本流传。
线还有一处值得看。他的名声来得极晚：六十九岁进呈，七十二岁召见，八十八岁那年书还没刻。一个人做了五十年，等到第八十八年才被看见——这件事本身就说明，学问的传播与学问的做成，是两条不同的时间线。
同一册书，三个人可以读出三种东西。
孩子读对照。拿一张纸，剪两个一样的直角三角形，拼成一个方，再拼成另一个方，看中间空出的那块有多大。不用讲勾股，也不用讲公式，只要拼一遍，就会记住「两个小方合起来，正好是大方减去四块三角」。这一层要的是手感。
少年读换算。给弦与差，算出勾股；给两个仰角，算出塔高；给一张正弦表，插出中间的值。这一层要的是「会算」，并且知道算出来的数能拿去与量出来的对。
成人读立场。问一句：他为什么一定要说「西学中源」？这个说法给他带来了什么，又限制了什么？一个布衣在改朝换代的年代里，怎样替一套外来的学问找一个能安放的位置？这一层要的是「凭什么」，不是「是什么」。
三种读法不是三个年龄，是三个问题。孩子问「它怎么拼」，少年问「它等于多少」，成人问「他为什么那样说」。三个问题都问过，才算把一个人看全。
若只能读一层，建议读第一层。因为「两张图讲同一件事」这件事，亲眼看一遍，比背十句「会通」都实在。
梅文鼎走到三个地方，停住了。这三个地方，后来各长出一门学问。
第一处：断掉的知识怎么接？他从残本里读回天元术，可宋元算学的全貌，他到死也没有看全。秦九韶的「大衍求一术」、朱世杰的「四元术」，当时几乎无人能读。一个传统断了，靠几个人的记忆能接回多少？接回的那部分，还是原来的吗？
第二处：会通能不能代替创造？他把西法一条一条译成中法，把中法一条一条讲给西法的读者。可他自己新立的定理不多。「把两套讲通」与「往前再走一步」，中间隔的是什么？
第三处：纸上的推算，谁来验？他没有观测台，只能拿别人的表来对。表错了，他的推算也跟着错；可他无从知道表错了。学问的「验」若不在自己手里，它还算不算学问？
三处停步，都不是因为他笨。每一处都卡在一个「当时还不存在的东西」上：完整的文献、新的数学工具、自己的观测台。他要往前一步，得先有人把那个东西造出来。
这也正是这套书反复讲的那件事。一个人能走多远，一半看他自己，一半看他手上有什么。
材料：纸、笔、一把尺。目标：亲手验出「正多面体只有五种」。
第一步，数一数。把五种正多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F 列成表：
正四面体 V = 4 E = 6 F = 4
正六面体 V = 8 E = 12 F = 6
正八面体 V = 6 E = 12 F = 8
正十二面体 V = 20 E = 30 F = 12
正二十面体 V = 12 E = 30 F = 20
第二步，验一条公式。每一行都算 V − E + F：4 − 6 + 4 = 2；8 − 12 + 6 = 2；6 − 12 + 8 = 2；20 − 30 + 12 = 2；12 − 30 + 20 = 2。五行全是二。
第三步，说明为什么只有五种。设每个面有 p 条边，每个顶点聚 q 个面。数棱有两种数法：按面数，每条棱被两个面共用，pF = 2E；按顶点数，每条棱连着两个顶点，qV = 2E。
代入 V − E + F = 2，整理得 1/p + 1/q = 1/2 + 1/E。因为 1/E > 0，所以 1/p + 1/q > 1/2。
又因为每个面至少三条边、每个顶点至少聚三个面，p ≥ 3、q ≥ 3。逐个试：(3,3) 得 2/3 > 1/2；(3,4) 得 7/12；(3,5) 得 8/15；(4,3) 得 7/12；(5,3) 得 8/15。再往下都不行：(3,6) 得 1/2，恰好不长也不短，铺满平面而不围成体；(4,4) 得 1/2，同样铺平面。所以只有五组。
最后想一想：正十二面体有二十个顶点、三十条棱、十二个面。若在每个顶点削去一角，会得到什么？20 − 30 + 12 = 2 仍然成立，可面数与顶点数都变了。削角得到的多面体，正是梅文鼎在《几何补编》里讨论过的那一类。
材料：两根等高的竹竿（各约两米）、一卷尺、纸笔。目标：不爬塔，量出塔高。
第一步，立表。在塔前平地上立第一根竿，再沿直线向后立第二根，两竿相距三十步（用步量，一步约五尺）。两竿要立直，地面要平。
第二步，两次后退。从第一根竿向后走，直到眼睛、竿顶、塔尖三点成一线，记下后退的步数，设为六步。再从第二根竿向后走，同样对齐，记下步数，设为十步。
第三步，算影差。10 − 6 = 4 步。这四步，就是两次视线的「差」。
第四步，套两个式子。竿高二丈、表间三十步：
塔高 = 竿高 + 竿高 × 表间 ÷ 影差 = 2 + 2 × 30 ÷ 4 = 17 丈。
塔距前竿 = 前却行 × 表间 ÷ 影差 = 6 × 30 ÷ 4 = 45 步。
第五步，验。若塔高十七丈、距前竿四十五步，则第一根竿处的高差是 17 − 2 = 15 丈，比 15 ÷ 45 = 1/3；竿高比后退 2 ÷ 6 = 1/3，对上。第二根竿处高差仍是十五丈，水平距离 45 + 30 = 75 步，15 ÷ 75 = 1/5；竿高比后退 2 ÷ 10 = 1/5，也对上。
最后想一想：若只有一根竿，能不能量出塔高？不能——一个仰角只给出「高与距的比」，给不出具体的高。必须有两次观测，才能把「比」定成「数」。这就是重差为什么一定要立两表。
勾股 直角三角形两直角边与斜边。短边为勾，长边为股，斜边为弦。「勾三股四弦五」为最小整数解。
弦实 以弦为边所作正方形的面积，即 c2。「勾实」「股实」仿此。此词见赵爽《周髀算经注》，梅文鼎沿用。
勾股较 股减勾之差。已知弦与较，可反求勾股：a = (√(2c2 − d2) − d)/2。见 p.15。
开方作法本源 即贾宪三角、杨辉三角。第 n 行为 (a + b)n 的系数。梅文鼎推至十二乘方。
廉隅 开方各项系数之名，源于立方体分割。「方」为正方体，「廉」为三棱柱，「隅」为小正方体。今称二项式系数。
天元一 宋元算学设未知量之法。「立天元一为某某」，再列式、开方。李冶《测圆海镜》用之最精。
借根方 清初对西洋代数的称法。设所求之数为「根」，列式后逐次降幂，最后开方。与天元术步骤相当。
八线 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢八种三角函数值。表列成行，查用。见《平三角举要》。
定气 按太阳实际黄经分节气，每十五度为一气。与「平气」按天数平分相对。因日行不均，节气长短不一。
岁差 春分点每年西退的现象。今测约 50.29″/年，约 71.6 年差一度。晋虞喜首发其端。
梅文鼎（1633—1721） 字定九，号勿庵，安徽宣城人。清代历算第一名家；以会通中西、整理古法、接回天元术著称。终身布衣。
梅瑴成（1681—1763） 梅文鼎之孙，字玉汝，号循斋。编《梅氏丛书辑要》，参与编纂《数理精蕴》；表彰「借根方即天元术」之说。
李冶（1192—1279） 金元之际数学家，字仁卿，号敬斋。《测圆海镜》（1248）以天元术解勾股容圆诸题，是梅文鼎接回天元术的主要依据。
秦九韶（约 1202—1261） 南宋数学家。《数书九章》有大衍求一术、正负开方术；其书在清初极难见到。
徐光启（1562—1633） 字子先，上海人。与利玛窦译《几何原本》前六卷，主持《崇祯历书》；主张「会通以求超胜」。
利玛窦（Matteo Ricci, 1552—1610） 意大利耶稣会士。1582 年来华，与徐光启、李之藻合译西书，将平面几何、笔算、地图学带入中国。
王锡阐（1628—1682） 字寅旭，号晓庵，江苏吴江人。与梅文鼎同为清初历算名家，自制仪器、夜观天象，著《晓庵新法》。
顾应祥（1483—1565） 明数学家。刊《测圆海镜》而删去天元细草，另作《分类释术》；天元术之失传，与此有关。
主要文献 《方程论》六卷；《勾股举隅》一卷；《几何通解》一卷；《几何补编》四卷；《少广拾遗》一卷；《平三角举要》五卷；《弧三角举要》五卷；《堑堵测量》二卷；《环中黍尺》五卷；《历学疑问》三卷；《历学疑问补》二卷；《勿庵历算书目》一卷。合集：《历算全书》六十卷（1723）；《梅氏丛书辑要》六十二卷（1761）。
会通的核心，是一张对照表。左边写中法，右边写西法，中间写「此即彼」。这张表好用，可它有两个陷阱。
第一个陷阱：同名不同实。最典型的是「方程」。古义的「方程」是一组一次式，摆成方阵一起解；今义（也是西义的）是含未知数的等式。同一个词，指着两样东西。读古书时按今义去读，会把《九章》的方程章读成「解一元方程」，全错。
再如「几何」。徐光启译 geometria 为「几何」，取「察几何」之意，兼其音；今天「几何」指一门学科，古书里「几何」常作「多少」解。「对酒当歌，人生几何」的「几何」，与《几何原本》的「几何」，不是一回事。
第二个陷阱：同实不同名。「天元」与「未知数」是一件事，可名字完全不同；「廉隅」与「二项式系数」是一件事，可一个来自立体分割，一个来自组合计数。名字不同，背后的图景也不同。若只换名字，不换图景，读的人会以为懂了，其实没懂。
梅文鼎的高明，在于他两样都交代。他不但说「天元即借根方」，还把两边的步骤一步一步摆出来，让读者看见「立元」与「设根」是同一个动作。他不但说「勾股即几何」，还画图、列式，让读者看见「弦实」与「斜边上的正方形」是同一块面积。
对照表要写得有用，得写清三层：名字对不上、动作对不对得上、图景对不对得上。三层都对上，才算真通；只对上名字，是假通。假通比不通更麻烦——它会让人以为不必再学。
一、初刻。1248 年，李冶在元氏写成《测圆海镜》十二卷。全书一百七十问，皆论勾股容圆，每题之后附「细草」——细草就是「立天元一」的完整推演。书成之后，流传不广，元明之际几成绝学。
二、删草。嘉靖年间，顾应祥得到此书，读不懂细草，认为「立天元一」不过是「虚立一数」，遂删去细草，另作《分类释术》。他的本意是便读，结果是：书还在，路断了。此后百年，读此书的人只看见题与答，看不见怎样从题走到答。
三、接回。清初，梅文鼎得到抄本，以「借根方」的步骤去对「立天元一」的残文，发现两者一一相应。他写下判断，其孙梅瑴成在《赤水遗珍》里进一步举证。天元术从此重新可读。
四、再刻。清中叶，李锐为《测圆海镜》作校勘，焦循亦有研究；鲍廷博收入《知不足斋丛书》，此本成为后来通行的底本。一部书，三次刊刻，中间隔着五百年。
五、这件事的分量。它说明「失传」不一定等于「书没了」。书在，方法没了；方法没了，书就成了谜语。而「接回」也不一定靠新发现，往往靠另一套完整的东西在旁边照着。
六、一个旁证。梅文鼎能接回天元术，正因为他同时懂借根方。两边都懂，才能拿一边去补另一边。这是「会通」最实在的一次兑现。
这一册讲一个人怎样把两套学问摆在一张桌上，一条一条地对。
他面前有两套东西。一套是中国的：勾股、开方、天元、重差，讲「术」，保证能算。一套是西洋的：几何、三角、借根方，讲「理」，保证每步站得住。两套都读通了，问题才出现：它们说的是不是同一件事。
他做的不是合并，是对照。「勾股」对「直角三角形」，「弦实」对「斜边上的正方形」，「天元」对「未知数」，「廉隅」对「二项式系数」，「八线」对「三角函数」。一条一条对完，写成书，别人可以照着对。
所以这一册的主角不是某条定理，是「对照」这个动作。对照一变，能问的问题就变：原来问「西法准不准」，后来问「西法的哪一步能用中法说出来」，再后来问「两边都说不通的地方，是不是还有第三种说法」。
梅文鼎自己未必把这层想得那么透。他只想让中国人读懂西法，也让西法在中国有个位置。他做到了，用的办法是笨办法：读、抄、比、算、写。
孩子读这一册，不必记住天元术。记住一件事就够了：两样看起来完全不同的东西，可能说的是同一件事；要确认，得把步骤一步一步对齐。这是会通的第一课，也是这一册的全部。
一、不要说梅文鼎「引进」了西学。西学在他之前已经进来：利玛窦与徐光启译《几何原本》时，他才还没出生；《崇祯历书》成书时，他十一岁。他做的是疏通与对照，不是引进。
二、不要把他当成「西学中源」的单纯鼓吹者。他确实常说「几何即勾股」「借根方即天元」，可他同时把西法一条一条学进来，学得比谁都细。说源流是给西学找位置，学算法是知道它真有用；两件事在他身上并行。
三、不要以为《几何通解》是「用中学取代西学」。那本书是用勾股重证《原本》的命题，证的目的不是取代，是说明两边同理。他证完还要说「与西法合」，这个「合」字才是要害。
四、不要以为中国古算「只有实用，没有证明」。赵爽的弦图、刘徽的出入相补、秦九韶的正负开方，都有证明，只是写法不同：用图与术来证，不用公理与命题来证。说「没有证明」，是把「证明」窄化成了一种写法。
还有一条容易忽略的：不要把「会通」理解成「融合成一套」。梅文鼎从来没有把两套合成一套；他保留两套，中间加一张对照表。保留两套，才能互相校验；合成一套，就没有第二双眼睛了。
五条误区有一个共同点：都把「立场」当成「事实」。立场可以选，事实只能对。这一册想说的，是后半句。
《数学家的故事》第四辑 第 33 册
梅文鼎 · 会通中西
体例：五幕 · 52 页 · 三层可读（故事／数学／注疏）
插画：40 幅（留白线体）
数值：全册关键数值实算复核
本册为「格物致知」系列数学通识读物之一，面向全龄读者。
故事层无需预备知识；数学层对应小学高年级至初中；注疏层供检索与延伸。
格式 · 格物致知 · JUST FOR FUN