傅里叶 · 热的谱线
傅里叶（1768—1830），法国欧塞尔人，裁缝的儿子，九岁前后父母双亡。他当过革命政府的教员、拿破仑的埃及随员、伊泽尔省的省长，最后做了法兰西科学院终身秘书。他一生真正想弄明白的，只有一件事：热怎样在物体里走。
本册的明线有四样。第一样，热传导：一根杆里的温度怎样随时间变化，写成一条方程。第二样，三角级数：任意一条曲线，能不能写成一串正弦与余弦的叠加。第三样，任意函数：这场争论逼着数学重新回答「什么叫函数」。第四样，频谱：把时间上的波形换成频率上的高低柱，声音、图像、信号都由此可算。
暗线一句：一条曲线听成一串音。一根弦振动，发出一个基音与一串泛音；一条温度曲线，也可以拆成一个慢波与一串快波。拆开之后，慢的留得久，快的先消失——这件事既是热的故事，也是声音的故事。
本册分五幕：第一幕讲一个人的三条路，革命、埃及与外省（p.6—p.12）；第二幕讲一根杆的热，从定律到方程（p.13—p.19）；第三幕讲一串正弦，从猜想到系数（p.20—p.26）；第四幕讲频谱，从声音到变换（p.27—p.33）；第五幕讲争议、严格化与身后（p.34—p.40）。
三层读法照旧：故事层无需预备知识；数学层只用到比例、平方、正弦与简单的积分思想（p.7—p.9、p.14—p.16、p.21—p.23、p.28—p.30、p.35—p.37），每一步都从头算起；注疏层给出原书、版本与研究文献，逐页可查。
巴黎的夏天很热。可有一个人的房间里生着火，身上还裹着一件厚棉袍。他坐在桌前算题，手边放着一只温度计，时不时看一眼。
这个人叫傅里叶。他一生怕冷。据说他无论冬夏都穿得很厚，住处的炉火烧得比谁都旺；别人进屋觉得闷，他却觉得刚好。他的朋友阿拉戈在悼文里写到这一点，语气里有几分无奈，也有几分敬重。
这件事听起来像个笑话：一个研究热的人，自己却总觉得冷。
可它还有另一面。冷与热是感觉，温度是读数。感觉会骗人：一间屋子，有人觉得暖，有人觉得寒；读数不会——同一支温度计，插在同一处水里，读出来的数是一样的。傅里叶一生做的事，就是把人人都能感觉到的冷热，换成一串可以计算、可以比较、可以预测的数。
他换得很彻底。在他之后，热不再是一种「东西」，而是一个「量」：它在某一点有多强，叫温度；它从一处流到另一处有多快，叫热流；它流进一块物体之后怎样分布，叫温度场。三个词分清了，方程就写得出来。
这本册子讲的就是这条方程，和它带出来的一件意想不到的工具：把任意一条曲线拆成一串正弦。
十八世纪的人，多半相信热是一种东西。
它叫「热质」（calorique）。是一种极细、极轻、看不见的流体，能钻进物体的孔隙里。物体含的热质多，就热；含得少，就冷。热质会从多的那边流到少的那边，直到两边一样多。这套说法能解释很多事：为什么热水会变凉，为什么两块金属贴在一起会变成同一温度，为什么摩擦能生热——摩擦把物体里藏着热质的孔隙挤小了，热质被挤出来。
可它有一个说不通的地方。如果热质是一种东西，它的总量就该守恒。那么，一块冰在零度的屋子里化掉，需要吸收大量的热；水再升温，还要吸热。这些热从哪儿来？更麻烦的是摩擦：两块木头磨了又磨，热不断地出来，木头却一点没少。热质如果不是从木头里出来的，就只能是无中生有。
1798 年，美国人伦福德在慕尼黑造炮，看见钻头钻炮筒时不断发热。他用钝钻头去钻，几乎钻不动，热却照旧出来。他得出结论：热不是东西，是运动。物体里的微粒在动，动得厉害就热；摩擦让它们动得更厉害。
两种说法争了几十年。傅里叶的态度很有意思：他不参加这场争论。他说，无论热是一种流体，还是微粒的运动，只要它在物体里按某种规律流动，就可以用一个量来描写它，用一条方程来算它。至于它本身是什么，可以留给人去争。
这是一个极聪明的退让。把「是什么」放在一边，先做「怎样变」。后人把这种办法叫「唯象」：只描写现象，不追问本体。傅里叶的方程，正是唯象理论的第一个大成功。
要算热，先把三个词分开。这三个词，日常说话时常混着用，一分清，方程就写下来了。
第一个，温度。它说的是「多热」，是一个强度。像水面的高度：同一条河里，上游高，下游低。温度的单位是度；两点的温度差，就是「落差」。
第二个，热量。它说的是「多少热」，是一个数量。像水量：一桶水与一池水，水位可以一样，水量差得远。把一克水升高一度，需要的热量叫一卡；把一千克水升高一度，需要四千一百八十焦。
第三个，热流。它说的是「流得多快」，是一个速率。像流量：每秒流过多少水。热流与两件事有关：温差有多大，材料通不通。温差是落差，导热系数是管子的粗细。
三个词一分清，一件日常的事就说得明白了。冬天摸铁栏杆，觉得比木头冷。其实两者的温度一样，都是屋外的温度。差别在热流：铁导热快，手上的热被迅速带走，皮肤就觉得冷；木头导热慢，热走不掉，就不觉得那么冷。感觉量的是热流，不是温度。
傅里叶要写的方程，正是这三个词的关系：温度在空间上不均匀，就产生热流；热流流进一小块物体，那一块的温度就升高。把这两句话写成式子，就是热传导方程。
1768 年 3 月 21 日，傅里叶生在法国中部的小城欧塞尔。父亲是个裁缝，手艺不错，在城里有一间铺子。家里孩子多，日子不宽裕，可也不至于挨饿。
他九岁那年，母亲去世；不久，父亲也去世了。一个裁缝铺的孩子，忽然成了孤儿。好在他读书读得好，被城里的主教看中，送进了本笃会办的军校。那是一所给军官子弟与少数清寒优等生念书的学校，课程里有拉丁文、修辞、历史，也有数学。
数学是他自己找上门的。据说他夜里读书，买不起蜡烛，就去教堂捡别人用剩的烛头。这个细节传得很广，未必处处可信，可它说明一件事：他读书的劲头，是旁人看得见的。
十六岁那年，他已经在那所学校里教数学了。一个十六岁的教师，教的学生有的比他还大。他本来很可能走另一条路：受戒、做教士、在教会学校里教一辈子书。那条路安稳，也体面。
1789 年，革命来了。他二十一岁。欧塞尔离巴黎不远，消息传得快；教堂的产业被没收，修院被解散，学校的规矩一条条废掉。一个本笃会学校培养出来的年轻人，忽然站在一个没有主教、没有修院、也没有旧规矩的世界里。
他选择了留下。不是留在教会，是留在新世界里。他参加国民自卫军，在地方上办事，也在学校继续教书。那几年他写了不少东西，多数没有留下；留下的几篇，看得出他在想数学，也在想怎样把数学用在实事上。
革命打碎了旧制度，也造出了一批新位置。1794 年，国民公会决定办一所「师范学校」，把各地已经会教书的人集中到巴黎，教他们怎样教得更好。傅里叶是第一批学员之一。
那所学校只办了几个月，可它留下了一个传统：数学与物理，要由最好的学者来教，也要教给将来要教别人的人。1795 年，巴黎理工学校成立，傅里叶被聘去任教，后来主持分析学的讲席。
这段经历对他的影响，比头衔大。他本来是一个外省学校的教师，习惯把每一步讲清楚，习惯替学生想「这一步为什么能走」。巴黎的学者讲究漂亮的方法，他讲究能算出来的方法。这两种脾气，后来都留在了他的论文里。
革命也给了他一次惊吓。1794 年，他在外省被逮捕，关了一阵；罗伯斯庇尔倒台后获释。罪名与数学无关，是地方上的政治纠纷。他后来很少提这件事。
1798 年，机会来了。拿破仑要远征埃及，随军带一批学者，去测量、绘图、记录、研究。傅里叶报了名。
为什么去？官方的说法是「为科学服务」；私下的原因，大概还有一条：在巴黎，他是一个年轻的教师；在埃及，他可能成为一个有用的人。一个裁缝的儿子，做到这一步，靠的是数学；再往上走，也得靠数学。
1798 年 5 月，拿破仑的舰队从土伦出发。船上除了士兵，还有一百六十七位学者、工程师、画家与印刷匠。他们带着书籍、仪器、测量工具，甚至带了一套阿拉伯文活字，准备在当地印书。
拿破仑的算盘很清楚：要统治埃及，得先了解埃及。要知道它的水利、物产、道路、古迹、语言、风俗。这些事，士兵做不了，学者能做。
8 月，开罗成立埃及研究院。傅里叶被任命为终身秘书。这个职位听着体面，做起来是永无止境的杂事：安排论文、记录讨论、整理报告、催人交稿、替研究院与军队交涉。他做得极认真。
他本人的研究，也在这几年里转了一个方向。他原来做代数与方程；到埃及之后，他开始关心「怎样把一大堆零散的现象整理成可以比较的表」。尼罗河的水位、开罗的气温、各地的经纬度、古迹的尺寸——都要测，都要记，都要编成册。
1801 年，法军撤退，他回到巴黎。带回的东西里，最重要的不是纪念品，是几十箱笔记、图纸与测量记录。这些材料后来编成《埃及志》，从 1809 年起陆续刊行，一直出到 1820 年代末。傅里叶写了全书的长序。
埃及还留给他一件私人的东西。那里的太阳、沙漠、昼夜温差，让他第一次长时间地、近距离地看「热」这件事。一堵土墙，白天晒得烫手，夜里凉得刺骨；一罐水，埋在沙里能保持凉。热怎样进去，又怎样出来，成了他后来二十年反复算的题目。
1802 年，傅里叶被任命为伊泽尔省省长，驻格勒诺布尔。那一年他三十四岁。
省长要管的事，与数学关系不大：修路、架桥、排沼、征税、征兵、办学校、处理地方上的纠纷。他在这个位子上坐了十三年，从执政府一直做到帝国末年。1808 年，拿破仑封他为男爵。
他做得不坏。格勒诺布尔通往意大利的几条山路，在他任上修通了不少；城外的沼泽排了水，疟疾少了一些；他还主持过人口与物产的统计。这些事在档案里都有记载，不算赫赫之功，可也不容易。
白天处理公文，夜里回到书房，他算的是另一件事。他在家里搭了一个实验：一根铁条，一端插在沸水里，另一端露在空气中，几个温度计沿着铁条插在不同的位置。他要看：热从热的一端走到冷的一端，走过每一处时，温度是多少；过了多久，温度变成多少。
这类实验，别人也做过。可傅里叶做得系统：他换材料，换粗细，换两端的温度，把每一种情形的读数都记下来，画成表。他要的不是一个数，是一条规律。
1807 年 12 月，他把结果写成论文，交到巴黎的法兰西研究院。论文的题目很朴素：《固体中热的传播》。那一年他三十九岁，身份是省长，不是院士。
傅里叶怕冷，怕到旁人觉得古怪。
他在格勒诺布尔的官邸里，炉子烧得极旺；到了巴黎，住处的温度也调得比别人高。他常年穿一件厚棉袍，出门再加外套。有一回到朋友家做客，屋里已经很暖，他还嫌冷，主人只好又添了一个火盆。
这件事有趣，因为它把「感觉」与「测量」摆在了同一个人身上。他觉得冷，温度计却可能显示二十度。哪一个是真的？两个都是真的：他觉得冷，是他的身体在散热；温度计显示二十度，是空气的实际温度。两者不是一回事，可两者都可用。
傅里叶的选择，是相信后者。在他的论文里，温度一律是温度计的读数，不是「冷」或「热」的感觉。他把「人觉得怎样」从物理学里请了出去。这一步看起来冷冰冰，其实是科学能够计算的前提。
可他本人并没有因此变成一个不怕冷的人。他照样裹着棉袍算题，照样在暖室里出汗，照样在别人觉得舒适的温度里发抖。他的理论描写的是物体，不是他自己。
这件事还有一层。他一生做的，是把连续的东西切成可以计算的小块：把一根杆切成许多小段，把一条曲线切成一串正弦，把一段时间切成许多瞬间。而他自己的身体，恰恰是一个不肯被切开的整体：它觉得冷，就是一个整体的感觉，不服从任何一条方程。他大概也想过这一点。
第一幕走了三条线。
第一条是革命。它拆掉了旧学校，也造出了师范与理工两所新学校。傅里叶从一个教会学校的教师，变成了共和国第一批数学教员。他学会了把数学讲给将来要用它的人听。
第二条是埃及。它给了他两样东西：一大堆必须整理的实测数据，和一种把零散现象编成表、编成册的习惯。《埃及志》是一部大书，编书的人得先学会分类、编号、对齐、校核。这套功夫，后来原样用在了热传导的实验上。
第三条是外省。格勒诺布尔的十三年，给了他一个安静的书房和一份稳定的薪水，也给了他一个真实的问题：一条铁杆里的热，到底怎样走。没有这个具体问题，他的数学可能停在方程论上。
三条线在一个地方碰头：他是一个必须把事情做完的人。教员要把课讲完，省长要把路修完，编书人要把表编完。这种人做数学，不会停在「大概如此」，一定要算到能对得上读数为止。
这一点决定了他后来的做法。别人从公理出发，他从读数出发；别人追求普遍，他先解决手边这一根杆。可正是这一根杆，逼出了一件普遍的工具。
下一幕就从这根杆开始：一条定律，一条方程，一串正弦。
一、傅里叶是革命与帝国之间的一个人。裁缝的儿子，教会学校的学生，共和国的教员，埃及的随员，拿破仑的省长。他的身份一直在变，手里的工具却没变：数学。
二、他的数学是从实测里长出来的。埃及的编目、格勒诺布尔的铁杆、一只只温度计，给了他别人没有的东西：一串必须解释的读数。理论要能对上读数，才站得住。
三、他把「感觉」请出了物理学。冷热是主观的，温度是读数是客观的。这一步让他能够写出方程，也让他一辈子被朋友当成怪人。
下一幕看那条方程：热流怎样写，温度怎样随时间变，为什么解出来会是一串正弦。
1807 年 12 月 21 日，巴黎，法兰西研究院。傅里叶宣读了他的论文《固体中热的传播》。他当时三十九岁，身份是伊泽尔省省长，不是院士，也不是教授。
论文送交四位评审：拉普拉斯、拉格朗日、蒙日、拉克鲁瓦。四个人都是当时法国数学的最高权威。论文里有两样东西：一条方程，和一种解法。
方程没有人反对。热从高温处流向低温处，流进去就使那一处升温，这句话谁都认。反对的是解法。
傅里叶说：任意一条初始的温度曲线，都可以写成一串正弦与余弦的和；把每一个正弦按自己的速度衰减，再加起来，就是任意时刻的温度分布。这句话，拉格朗日不认。
拉格朗日的理由不难懂。他那一代人心里，「函数」是一张公式：给一个 x，按公式算出一个 y。一条随手画出的曲线，弯弯曲曲，怎么可以用一串光滑的正弦拼出来？就算拼得出，那串无穷级数收不收敛？收敛了，能不能逐项求导？这些问题在 1807 年都还没有答案。
论文的评审意见拖了很久。它没有按惯例刊入院集，只在多年后以修改过的样子出现。傅里叶没有认输。他把论文改了一遍又一遍，补实验、补算例、补讨论，一直改到 1822 年成书。
要写方程，先得分清两个量。
温度说的是「多热」，热量说的是「多少热」。一壶开水与一池温水，温度前者高，热量后者多。把一克水升高一度，要一卡；把一千克水升高一度，要一千卡。同样的温度变化，质量越大，吸的热越多。
还有一件更细的事，是布莱克在 1760 年代发现的。冰化成水，温度一直是零度，可它一直在吸热。一克零度的冰化成零度的水，要吸八十卡；这八十卡没有让温度升一点。这部分热，藏在「冰变水」这件事里，叫潜热。
于是有一个简单的式子：Q = mcΔT。m 是质量，c 是比热，ΔT 是温度变化。各种物质的比热不一样，这是它们的「脾气」。
水 c ≈ 4.18 J/(g·K)
冰 c ≈ 2.09 J/(g·K)
铁 c ≈ 0.45 J/(g·K)
铜 c ≈ 0.39 J/(g·K)
铝 c ≈ 0.90 J/(g·K)
玻璃 c ≈ 0.84 J/(g·K)
算一个例子。一千克水，从二十度烧到一百度：Q = 1000 × 4.18 × 80 = 334 400 J，约三百三十四千焦。同样一千克铁，升高同样的八十度，只要 1000 × 0.45 × 80 = 36 000 J。差九倍多。所以铁锅烧得快，水却难开。
比热与潜热，都是热质说能解释的：热质钻进物体，物体就升温；钻进冰里，冰化成水，热质藏起来了，温度不动。这套说法用着顺手，傅里叶也照用。他要的只是「热量可以计量」这一条。
先看热在杆里怎样流。
傅里叶的定律：热流密度与温度梯度成正比，方向相反。写成式子：
q = −K dT/dx。
q 是每秒穿过单位面积的热量，单位 W/m2；K 是导热系数，单位 W/(m·K)；dT/dx 是温度沿杆的变化率。负号的意思是：热往温度低的方向流。
现在取杆上薄薄一片，从 x 到 x + dx，截面面积 A。从左边流进的热，减去从右边流出的热，就是这一片净得的热：
A[q(x) − q(x + dx)] ≈ −A(dq/dx)dx = AK(d2T/dx2)dx。
这一片热起来多少？质量是 ρAdx，比热是 c，升温速率是 ∂T/∂t，所以每秒吸热 ρcAdx·∂T/∂t。两式相等，消去 Adx：
ρc ∂T/∂t = K ∂2T/∂x2，即 ∂T/∂t = α ∂2T/∂x2，α = K/(ρc)。
α 叫热扩散率，单位 m2/s。它说的不是「多快导热」，是「温度变化多快传开」。各种材料差得很远：
银 α ≈ 1.7 × 10−4 m2/s
铜 α ≈ 1.1 × 10−4 m2/s
铁 α ≈ 2.3 × 10−5 m2/s
玻璃 α ≈ 5.4 × 10−7 m2/s
木材 α ≈ 1 × 10−7 m2/s
方程写出来了，下一步是解它。傅里叶用的是一个朴素的猜法：温度分布能不能写成一个「只随位置变」的函数，乘上一个「只随时间变」的函数？
设 T(x,t) = X(x)Θ(t)。代入 Tt = αTxx：XΘ′ = αX″Θ。两边除以 αXΘ：
Θ′/(αΘ) = X″/X。
左边只含 t，右边只含 x。两边要恒等，只能都等于一个常数。设这个常数为 −λ：
X″ = −λX，Θ′ = −αλΘ。
第一个方程的解是正弦：X = sin(kx)，只要 k2 = λ。如果杆长 L、两端固定为零度，正弦必须在两端为零，于是 k = nπ/L，n = 1, 2, 3, …。
第二个方程的解是指数：Θ = e−αn2π2t/L2。把许多个这样的解加起来，仍然是一个解（方程是线性的）：
T(x,t) = Σ bn sin(nπx/L) e−αn2π2t/L2。
每一个 n 叫一个「模」。第 n 个模衰减的时间常数是 τn = L2/(αn2π2)。一根一米长的铁杆，τ1 ≈ 4406 秒，约七十三分钟；τ2 是它的四分之一，约十八分钟；τ3 约八分钟。铜杆快得多：τ1 ≈ 15 分钟，τ2 ≈ 3.8 分钟。
这串数字说了一件事：细碎的温度起伏消失得快，平缓的起伏消失得慢。过了十分钟，铁杆的第一个模还剩 e−600/4406 ≈ 0.873，即八成七；第二个模已经掉到 0.757，第三个只剩 0.61。时间再长，杆上只剩一个最慢的正弦，慢慢变平。
方程写出来之后，有一个陷阱。光有方程，解不出唯一的结果。
Tt = αTxx 说的是「温度怎样随时间变」，可它没有说「两端是多少度」，也没有说「一开始是多少度」。这两样不给，解有无穷多个。一根杆，两端可以是零度，也可以是沸水；一开始可以是均匀的，也可以是一头热一头冷。每一种情形都是一条合法的解。
所以，边界条件与初始条件，不是方程的附属品，是问题的一半。方程是机器，边界是给机器下的指令。指令不同，出来的东西完全不同。
傅里叶的实验，一大半功夫花在这里。他用一根铁条，一端插在沸水里，保持一百度；另一端包上布，让它接近室温。铁条侧面暴露在空气中，会向空气散热。他在不同位置钻小孔，插温度计，按时读数。
这些条件，书上没有。得自己定：两端多少度，侧面散热多快，杆的粗细与材料怎样。定完了，还要说服别人：这样定是合理的。他在论文里花了很多页讨论「外壁的冷却」，因为这一步最容易被人挑毛病。
后人常记住那条方程，忘了这些条件。可真正让方程能算出具体温度的，是这些条件。一个物理问题，一半是数学，一半是「把世界切成可算的样子」。后一半没有公式，只有判断。
为什么解出来是正弦，而不是别的曲线？
因为正弦有一个别的东西没有的脾气：求两次导数，形状不变，只差一个负号。(sin kx)″ = −k2 sin kx。温度方程里，空间的变化（二阶导数）要等于时间的变化（一阶导数）。一个形状，若求导之后还是自己，就能让「空间」与「时间」各自独立，一个管形状，一个管大小。
换一种说法：正弦是「只改变大小、不改变形状」的波形。热在杆里走，每一个正弦模都在原地衰减，波形不变，只是越来越矮。这就像一排音叉，各自按自己的频率响，互不干扰。
这个性质有一个几何的说法：正弦之间是「正交」的。两个不同的正弦，一个周期内相乘再积分，结果为零：
∫0L sin(mπx/L) sin(nπx/L) dx = 0 (m ≠ n)。
正交的意思是「互不掺和」。把一条曲线拆成正弦，就像把一束白光拆成七色：每一色各走各的，互不干扰。要问「这一色有多亮」，只需要看这一色，别的色不影响答案。这就是为什么系数能一条一条单独算出来，不必联立一大堆方程。
于是整件事的结构清楚了：方程决定「每个模怎样衰减」，初始曲线决定「每个模一开始有多高」。前者是物理，后者是数学。而把所有模加起来，就得到任意时刻的温度。
剩下一个难题：任意一条初始曲线，真的能拆成正弦吗？这不是一个技术问题，是一个原则问题。下一幕就为这件事打一场架。
一、热传导方程是「流入减流出等于升温」的翻译。傅里叶定律给出热流，守恒给出升温，两句话合成一条方程：Tt = αTxx。它只描写现象，不追问热是什么。
二、方程本身不给唯一答案，边界与初始条件才给。两端多少度、侧面散热多快、一开始怎样分布——这些是实验与判断，不是公式。物理问题的一半在这里。
三、正弦之所以出现，是因为它求两次导数还像自己。它让时间与空间分开，让每个模独立衰减；不同的模互不掺和，系数可以一条一条算。
下一幕看那个原则问题：任意一条曲线，能不能拆成一串正弦？拉格朗日说不能，傅里叶说能，两人都有理由。
1811 年，法兰西研究院设了一项数学大奖。题目是：热在固体中怎样传播，用数学给出理论，并与实验比较。
题目出得很具体，像是替某个人出的。傅里叶已经做了四年，论文压在抽屉里，评审意见迟迟没有下文。他决定再写一遍，写得更长、更细、更多算例。这一次，他把论文交去应征。
1812 年，奖评下来了。傅里叶得奖。
可得奖的评语并不全是好话。评审承认他的方法「巧妙而新颖」，承认他解出了一个前人没有解出的问题，也承认他的结果与实验相符。接着补了一句：推导的严格性尚有欠缺，某些步骤「还可以更严谨」。这句话后来被反复引用。
得奖之后，事情并没有完。论文还是没有顺顺当当地刊出来。他又改了十年：补边界条件的讨论，补级数收敛的论证，补各种几何形状的算例——杆、环、球、立方体。1822 年，这些内容收成一本六百多页的书：《热的解析理论》。
这本书的写法很特别。前半是物理：热流、温度、边界、实验。后半是数学：级数、系数、积分、方程的解。两半之间没有缝，因为在他看来，它们本来就是一件事。他写书不是为了发明一种数学，是为了算热；可算着算着，数学被推到了一个新地方。
傅里叶的主张，用今天的话说是一句话：在区间 (−π, π) 上，几乎任意一条曲线，都能写成一串正弦与余弦的和：
f(x) = a0/2 + Σ (an cos nx + bn sin nx)。
这句话在当时听起来近乎荒谬。正弦是光滑的、周而复始的；一条折线有尖角，一条随手画的曲线歪歪扭扭。用光滑的东西去拼有尖角的东西，怎么拼得像？
拿一条最简单的折线试：f(x) = x，在 (−π, π) 上。这是一条斜线，从 −π 升到 π，两端接不上，像个锯齿。
它的展开是：f(x) = 2(sin x − (1/2) sin 2x + (1/3) sin 3x − (1/4) sin 4x + …)。系数是 bn = 2(−1)n+1/n。
验一个点。取 x = π/2，左边是 π/2 ≈ 1.5708。右边：sin(π/2) = 1，sin(2·π/2) = 0，sin(3·π/2) = −1，sin(4·π/2) = 0……于是右边是 2(1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …)。
括号里那串数，是莱布尼茨 1674 年算过的：1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … = π/4。乘上 2，正好 π/2。对上了。
再看两端。x = π 时，左边的值是 π，可级数里每一个 sin nπ 都是零，右边是零。差了一个 π。这不是算错，是「周期化」的代价：级数把这条斜线在两端接了起来，接成了一个周期为 2π 的锯齿波，在接缝处必然断开。断开的地方，级数取两边的中点，也就是零。
这一点，傅里叶知道，也写进了书里。他不假装没有缝，他说明缝在哪里。
说「能拆」，还得说「怎样求出每一份有多大」。傅里叶的办法，是把等式两边乘上一个正弦，再积分。
为什么要乘？因为正弦之间正交。把 f(x) = a0/2 + Σ(…) 两边乘上 sin nx，再从 −π 积到 π：
∫f(x) sin nx dx = Σ bm ∫ sin mx sin nx dx。
右边的无穷多个积分，只有一个不为零：m = n 的那一个，值是 π。其余全是零。于是
bn = (1/π) ∫−ππ f(x) sin nx dx，an = (1/π) ∫−ππ f(x) cos nx dx。
这就像称重。要称一袋东西里有多少糖，就把糖挑出来称；正交性保证「挑」的时候不掺进别的东西。每一个系数，只由 f 与那一个正弦的「重合程度」决定。
算一个具体的：方波。f(x) = 1（0 < x < π），= −1（−π < x < 0）。它是奇函数，所以 an = 0；常数项也为零（一周期内正负相消）。
bn = (2/π)∫0π sin nx dx = (2/π)·(1 − cos nπ)/n。n 为偶数时为零；n 为奇数时为 4/(nπ)。
于是方波的展开是：(4/π)(sin x + (1/3) sin 3x + (1/5) sin 5x + …)。前四项的幅度：1.273、0.424、0.255、0.182。一次比一次小，比例是 1 : 1/3 : 1/5 : 1/7。
这个式子说明一件事：方波只有奇次谐波，而且幅度按 1/n 慢慢减小。「慢慢减小」意味着要拼出那个直上直下的边，需要很多很多项。这一点，下一页就要付代价。
把方波的前几项加起来，看看像不像。
x = π/4 x = π/2 x = 3π/4
一项 0.900 1.273 0.900
三项 1.200 0.849 1.200
五项 1.020 1.103 1.020
九项 0.992 1.063 0.992
方波 1.000 1.000 1.000
九项的时候，在 π/4 与 3π/4 已经相当准：0.992 对 1。可在 π/2，只有 1.063。为什么中间反而差？因为 π/2 正好在跳变的正中，级数在那里收敛得最慢。
更麻烦的是跳变旁边。无论加多少项，曲线在跳变附近总会冲过头，冲到大约 1.179。方波的值是 1，跳变的高度是 2（从 −1 到 1），冲出的部分约 0.179，是跳变高度的 8.95%。
这个数不随项数变小。项数增加，冲头只是变窄，不会变矮。它叫吉布斯现象。这不是算错了，是「用光滑函数逼近跳跃」这件事本身的性质。任何有限项的和都是光滑的，光滑的东西要爬上直立的台阶，只能先冲过头再回来。
那么，级数究竟在什么条件下收敛到原函数？1829 年，狄利克雷给出了一个够用的答案：函数在区间上分段连续、分段单调（没有无穷多次起伏），级数就收敛；在连续点收敛到函数值，在跳跃点收敛到左右极限的平均值。这个条件不苛刻，绝大多数物理上遇到的曲线都满足。
狄利克雷的证明，把「能不能展开」从一个信念变成一个定理。可它回避了一个更深的问题：什么叫函数？这个问题，下一幕要回到拉格朗日那里去说。
拉格朗日的反对，不是出于嫉妒，也不是出于保守。他有他自己的道理。
在十八世纪，「函数」的意思比今天窄。函数是一张式子：x2 + 1、sin x、ex。给一个 x，按式子算出一个 y。一条随手画出的曲线，如果没有式子，就不算「函数」，只能算「曲线」。
傅里叶说：任意一条曲线，都能用一串正弦写出来。这句话在拉格朗日听来，等于说「任意一条曲线都有一个式子」。这等于把「函数」的意思整个换掉。他不能接受，因为他一生的分析学都建立在「函数有式子」这个前提上。
还有一层技术上的担心。无穷级数在 1807 年还不是一个安全的东西。欧拉用发散级数算出了许多正确的结果，可那些操作没有逻辑依据。一个级数，什么时候可以逐项积分？什么时候可以逐项求导？什么时候收敛？收敛到什么？这些问题没有答案之前，把一个「任意函数」展开成无穷多项，是不能写进论文的。
拉格朗日自己年轻时研究过弦振动。1759 年，他把弦的形状写成一串正弦，算出了振动。可他只承认这对「光滑的初始形状」有效。一根被拨起的弦，中间有个尖角，那就不是他说的那种形状。他宁可说「这种情形数学还处理不了」，也不肯把级数用在尖角上。
这场争论，其实是两种诚实。拉格朗日的诚实是：没有证明，不能算数。傅里叶的诚实是：读数摆在那里，方程必须解释它，哪怕工具还不完备。两种诚实都对，只是站在不同的位置上。后来的人站在傅里叶这边，不是因为他不严谨，而是因为他提出的问题逼着数学去补上那份严谨。
第三幕把三件事拧在了一起。
第一件是热。一根杆，初始温度任意——一头热、一头冷、中间有个凸起，都行。物理不挑形状，物理只给读数。要算它，数学必须能处理「任意形状」。
第二件是函数。十八世纪的函数是式子；十九世纪的函数是对应关系。傅里叶级数逼出了后者。如果一条曲线能写成一串正弦，那么「曲线」与「式子」就是一回事；反过来，不能写成式子的曲线，也许根本不存在。这个想法后来被狄利克雷推翻（他造出了不连续、不可积到奇怪程度的函数），可它是函数概念现代化的第一步。
第三件是级数。无穷多项相加，什么时候有意义？傅里叶的答案是：在物理里，只要它算出的温度对得上读数，就有意义。数学家的答案是：得先证明它收敛。两个答案不冲突，只是次序不同。物理先走一步，数学后补一步。
三件事合起来，给了一个新的看法：一条曲线不是「一个东西」，是「一堆东西的和」。看它在每一点有多高，是一种看法；看它由哪些频率组成，是另一种看法。两种看法说的是同一条曲线，只是问的问题不同。
这个看法，很快就用到了声音上。下一幕：一根弦，一个音，一串谱线。
一、任意曲线可以写成一串正弦与余弦。系数由积分算出，办法是「乘上正弦再积分」，靠的是正交性。方波的系数是 4/(nπ)，只有奇次项。
二、级数在跳变处会冲过头，冲出的高度不随项数减小。这就是吉布斯现象，约为跳变高度的 8.95%。它不是错误，是光滑逼近跳跃的必然代价。
三、这场争论改变了「函数」的意思。从「一张式子」变成「一种对应」。拉格朗日的反对有道理，傅里叶的坚持也有道理；数学后来把两份道理都收了进去。
下一幕换一个感官：不看曲线，听声音。一根弦的振动，正好是一串正弦；而人耳，正好能把这串正弦分开。
拨一根弦，听到一个音。可这个音不是「一个」声音。
把耳朵贴近琴箱，会听到一种复杂的、有点毛糙的响。用一根手指轻轻按住弦的正中，再拨一次，声音会变清、变薄，音高不变。按住三分之一处，又是另一种音色。手指按住的地方，压住了一部分振动，剩下的部分还能响。
古人早就知道这件事。毕达哥拉斯学派发现：弦长减半，音高升八度；弦长取三分之二，音高升五度。他们用简单的整数比，解释听起来和谐的音程。2 : 1 是八度，3 : 2 是五度，4 : 3 是四度。
可「音色」这件事，他们解释不了。同样弹一个中央 C，钢琴、小提琴、长笛的声音完全不同，音高却一样。差别在哪里？
傅里叶的级数给出了答案。一根弦的振动，不是一条简单的正弦，而是许多正弦的叠加：基音，加上二倍、三倍、四倍频率的泛音。各个泛音的强弱配比不同，听起来就是不同的音色。钢琴的泛音多而强，长笛的高次泛音弱，所以一个厚，一个薄。
这个想法在傅里叶的书里没有展开。他写的是热，不是声。可数学是一样的：一条周期曲线，等于一串正弦的和。弦的形状是周期曲线，声音的振动也是。1822 年之后，读这本书的人很快把它用到了声音上。
1843 年，欧姆提出一条「声学定律」：耳朵能把一个复杂的音分解成它的各个谐波。1863 年，亥姆霍兹写出《论音的感觉》，用傅里叶分析解释音色与协和。到这时候，傅里叶的级数才真正变成「听」的工具。
一根两端固定的弦，能怎样振动？不是随便怎样都行。
两端不能动，所以波形在两端必须是零。能满足这一条的形状，只有一族：半个正弦、一个正弦、一个半正弦……也就是 sin(nπx/L)，n = 1, 2, 3, …。和热传导的模，是同一族。
每一种形状对应一个频率：fn = n/(2L) · √(T/μ)。L 是弦长，T 是张力，μ 是单位长度的质量。
这个式子说的是：频率与 n 成正比。所以泛音是基音的整数倍：f1, 2f1, 3f1, …。这就是为什么泛音听起来「和谐」：它们落在同一个音阶网格上。
算一根具体的弦。弦长 0.65 米，张力 20 牛，线密度 1.0 克/米。波速 v = √(T/μ) = √(20/0.001) ≈ 141 米/秒。基频 f1 = v/(2L) = 141/1.3 ≈ 109 赫，接近吉他的 A 弦（110 赫）。
泛音就是：109、218、327、436、545 赫。波长依次是 1.3、0.65、0.433 米。相邻两个波节之间的距离，是半个波长。
两条简单的规律，从这个式子里看得出来。弦长减半，频率加倍，音高升八度。张力变成四倍，频率加倍，也升八度。所以调音的时候，拧紧弦就是升音；按弦缩短长度也是升音。前者改变张力，后者改变长度，效果一样，代价不同。
还有一件事，值得记住。每种振动形状都是「驻波」：波不动，只是原地上下。波节处始终不动，波腹处振幅最大。用手指按住弦的正中，就强迫那里成为波节，于是所有奇数倍泛音（它们在正中不是波节）被压住，只剩下偶数倍。声音因此变薄。
同一段声音，有两种画法。
一种横着画：横轴是时间，纵轴是空气的压强。画出来的是一条起伏的曲线，叫波形。它说的是「这一刻声音多大，下一刻多大」。
另一种竖着画：横轴是频率，纵轴是这个频率的成分有多强。画出来是一排柱子，叫频谱。它说的是「这段声音里，哪些音高各占多少」。
两种画法说的是同一段声音。波形是「怎样随时间变」，频谱是「由哪些成分组成」。傅里叶级数就是两者之间的翻译。
不同的波形，有不同的频谱：
方波 奇次谐波，幅度 ∝ 1/n
锯齿波 全部谐波，幅度 ∝ 1/n
三角波 奇次谐波，幅度 ∝ 1/n2
纯正弦 只有基频，一根柱
这张表说明一件事：波形越「有棱角」，高次谐波越强。方波的边是直上直下的，所以它的谱拖得很长，1/n 慢慢减。三角波的边是斜的，谱就掉得快，1/n2。正弦最光滑，谱里只有一根柱。
音色就是这张表。同样一个 440 赫的基音，第二谐波 880 赫强一点，听起来就亮；第三谐波 1320 赫强一点，听起来就硬。把各次谐波的比例画出来，就是这件乐器的「指纹」。两个人唱同一个音，听得出是谁，靠的就是这张指纹。
傅里叶没有造出「频谱仪」这个词。他只是把一个数学事实摆在那里：任何周期振动，都可以拆成一排固定的频率成分。后人拿这个事实去做仪器，仪器就把「听」变成了「看」。
傅里叶级数只管周期的东西。可世上多数声音不是周期的：一声敲门、一句说话、一个雷。它们只响一下就没了。
办法是把「周期」推到无穷。周期越长，基频越低，谐波越密。当周期趋于无穷，一根根离散的柱子挤成一片连续的曲线，求和变成积分：
F(ω) = ∫−∞∞ f(t) e−iωt dt，f(t) = (1/2π)∫−∞∞ F(ω) eiωt dω。
前一个式子叫傅里叶变换，后一个叫逆变换。它们是一对：一条曲线进去，一片频谱出来；一片频谱进去，原来的曲线回来。信息没有丢，只是换了一种摆法。
算一个最简单的例子。一个方脉冲：在 −T 到 T 之间高度为 1，两头为零。它的频谱是
F(ω) = 2 sin(ωT)/ω。
这个形状中间高、两边摆，摆幅越来越小，零点等距。第一个零点在 ω = π/T，换成频率是 1/(2T)。脉冲长 2T = 2 毫秒，第一个零点就在 500 赫。
这里有一条规律，值得记住：脉冲越窄，频谱越宽；脉冲越宽，频谱越窄。想把一个信号压得很短，就必然要用很宽的频带。这不是技术不够好，是数学本身的交换。后来的「不确定性关系」，说的就是这件事。
傅里叶的级数是纸上的东西。可它描写的事，耳朵早就在做。
耳朵深处有一块骨头，叫耳蜗，形状像蜗牛壳。把它拉直，里面是一条膜，叫基底膜，从宽而软的一端，到窄而硬的一端。不同频率的声音，会让这条膜上不同的位置振动得最厉害：低频在宽软的一端，高频在窄硬的一端。膜上不同的位置连着不同的神经，于是大脑收到的，不是一条波形，而是一排「哪个位置在响」。这就是一架现成的频谱仪。
人耳能听到的频率，大约从 20 赫到 20 000 赫。这个范围不是随便定的：低于 20 赫，膜几乎整体一起动，分不出音高；高于 20 000 赫，膜太硬，振不起来。老年人的高频上限会下降，因为膜与毛细胞老化。
亥姆霍兹在 1863 年把这件事说得很清楚。他把耳朵比作一架钢琴：每一个音，都有对应的「弦」在响应。这个比喻不完全对——耳蜗不是一排独立的弦，而是一条连续的膜——可它抓住了要害：听觉是分析，不是录音。
这件事有一个哲学上的后果。人听到的「一个音」，其实是许多频率的合成；人听到的「音色」，其实是频谱的形状。耳朵替人做了傅里叶变换，大脑读到的是变换后的结果。人以为自己听见了「声音本身」，其实听见的是它的谱。
傅里叶没有说过这些。他只是算热，顺手造了一把尺子。后人拿这把尺子去量声音，才发现耳朵里早就有一把一样的。
第四幕把「谱」这个字从热搬到了声音。
在热里，谱是「温度起伏的空间波长」。一根杆上，长波的起伏留得久，短波的起伏散得快。把初始温度拆成一串正弦，看的是它在空间上的「粗细」。
在声音里，谱是「振动的时间频率」。一段声音，拆成一串正弦，看的是它在时间上的「快慢」。粗与细，慢与快，数学结构是同一个。
再往后，光也是这样。牛顿用棱镜把白光分成七色，那是用物理办法做「频谱」。傅里叶的办法是用数学做同一件事：把一条曲线拆成不同频率的成分。一个用玻璃，一个用积分；一个看见颜色，一个算出系数。两件事在 19 世纪中叶被认作同一种分析。
这就是傅里叶级数最厉害的地方。它不只是解热方程的工具，它是一种「看东西的方式」：任何随位置或时间变化的东西，都可以问一句——它由哪些波组成？问完这一句，问题常常变得简单。因为复杂的波形混在一起，各自的分量却是干净的。
下一幕回到人：这本书出版之后，傅里叶本人得到了什么，又错过了什么。
一、一根弦的振动是一族驻波，频率是基音的整数倍。fn = n/(2L)√(T/μ)。长度减半或张力变四倍，音高升八度。
二、音色就是频谱。同一个基音，各次谐波的强弱配比不同，听起来就不同。方波的谱按 1/n 慢慢减，三角波按 1/n2 掉得快。棱角越硬，高次谐波越多。
三、把周期推到无穷，级数变成变换。时间上的窄脉冲，换来频率上的宽谱。窄与宽不能兼得，这是数学的交换，不是技术的缺陷。
下一幕讲这本书的命：它怎样被质疑，怎样被补严，又怎样在身后变成一件人人都在用的工具。
1822 年，《热的解析理论》在巴黎出版。六百多页，前面是物理，后面是数学。那一年傅里叶五十四岁。
书出之后，他的位置变了。同年，他被任命为法兰西科学院终身秘书。这个职位管的是科学院的日常：安排论文、组织评奖、写年度报告、代表科学院与政府打交道。他做得一丝不苟，报告写得极长，数字核对到个位。
1826 年，他当选法兰西学院院士。那是语言与文学的殿堂，不是科学的。一个数学家能进去，说明他的文字也被人看重。他的《热的解析理论》序言，确实写得清楚而有力，后来常被当作法文科学写作的范本。
可他的身体一直不好。怕冷、气短、心律不齐。1830 年 5 月 16 日，他在巴黎去世，年六十二岁。葬礼不铺张，葬在拉雪兹神父公墓。他的墓前，后来常有学数学与学物理的人来看。
他死后，两件事继续替他说话。
一件是《埃及志》。那部大书从 1809 年出到 1820 年代末，他是主编与序言作者。书里的图版，把埃及的古迹、器物、文字第一次系统地呈现在欧洲面前。一门学问——埃及学——从这部书开始。
另一件是那条方程与那串正弦。它们没有立刻改变物理学，却在几十年后长成了另一门学问。1889 年，埃菲尔铁塔落成，塔身刻了七十二位法国科学家的名字。傅里叶的名字在其中。刻名字的人未必读得懂他的书，可他们知道：这个人给了法国一件别处没有的工具。
傅里叶留下的问题，比答案多。后人花了近一百年，才把「大概」补成「证明」。
1829 年，狄利克雷给出第一个够用的收敛条件：函数在区间上分段连续、分段单调，级数就收敛。他还举了一个极端的例子：有理点取一个值、无理点取另一个值的函数，说明「函数」可以完全没有式子。
1854 年，黎曼在就职论文里研究「哪些函数可以用三角级数表示」。他引入了后来以他名字命名的积分，把条件放宽了一大步。这篇论文 1867 年才发表，那时黎曼已经去世。
1873 年，杜布瓦-雷蒙造出一个连续函数，它的傅里叶级数在某一点发散。这一下打破了「连续就能展开」的幻想。收敛不是一个简单的是非题，得看在哪一点、按什么意义收敛。
1870 年，康托尔研究一个更细的问题：如果两个三角级数处处相等，它们的系数是不是一定相同？他证明：是的，除非在有限个例外点上。为了处理「例外点」的集合，他开始研究无穷集合。集合论，就是从三角级数的唯一性问题里长出来的。
1900 年，费耶尔换了一种求和方式：不直接取部分和，而取部分和的平均。这样一平均，连续函数的傅里叶级数就一致收敛了。1902 年，勒贝格建立新的积分，把可积函数类扩到极大。1966 年，卡尔松证明：平方可积函数的傅里叶级数，几乎处处收敛。这是这个方向最深的一个定理。
从 1807 到 1966，一百六十年。一个省长为了算一根铁杆提出的问题，养活了一百多年的分析学。
傅里叶当年算系数，是靠笔和纸，一项一项积出来。一个复杂的问题，可能要算几个月。二十世纪给了它两样东西：离散化与快速算法。
第一样是离散傅里叶变换（DFT）。不去求连续的积分，只在 N 个等距点上取样，算 N 个频率分量。直接算，要做 N2 次乘法。N = 1024 时，是一百零四万八千五百七十六次。
第二样是快速傅里叶变换（FFT）。1965 年，库利与图基发表了一个办法：把大问题拆成两个小问题，递归地拆下去。乘法次数从 N2 降到约 (N/2) log2N。同样是 N = 1024，只要约 5120 次「蝶形」运算，快了约两百倍。其实高斯在 1805 年就有类似想法，只是没有发表。
这两样东西，把傅里叶分析从「纸上的理论」变成了「芯片里的动作」。
图像压缩。JPEG 把一张图切成 8 × 8 的小块，每块做一次离散余弦变换（DCT），把 64 个像素值换成 64 个频率系数。人眼对高频不敏感，把高频系数抹掉一些，图看起来差不多，文件却小了很多。DCT 是傅里叶变换的近亲，1974 年提出，1992 年成为 JPEG 标准。
医学成像。CT 不直接拍「切片」，而是从许多方向射 X 光，得到许多条投影；再用一种叫「反投影」的算法，把投影还原成截面。这件事的数学，是拉东 1917 年就写下的变换，与傅里叶变换等价。1971 年，豪斯菲尔德造出第一台 CT；1979 年，他与科马克获诺贝尔生理学或医学奖。
磁共振、语音识别、雷达、射电天文，用的都是同一族算法。傅里叶当年没有计算机，可他给出的公式，正好适合计算机。
今天，「傅里叶」已经不是一个姓，是一个动词。实验室里说「把这个信号傅里叶一下」，意思是「看看它的频谱」。
手机。说话的声音被采样、分帧、做傅里叶变换，把人声的频率成分压成一小包数据，再传出去。电话采样八千赫，音乐光盘四万四千一百赫，因为人耳的上限是两万赫，按「采样率至少是最高频率的两倍」的规矩，四万四千一百赫才够。
医院。CT、磁共振、超声，图像的重建都用傅里叶变换。一台磁共振，采集的不是「图像」，是「频率」；图像是算出来的。
工厂。一台机器的振动，被加速度计记录下来，做一次频谱分析，某个频率的峰突然变高，就知道哪个轴承出了问题。人耳听不出的异响，谱上看得很清楚。
天文。射电望远镜收到的信号，是一堆随时间变化的电压；做傅里叶变换，才变成一张天空的图。2019 年那张黑洞照片，用的就是这套办法。
量子力学。一个粒子的位置与动量，不能同时确定；两者的「波函数」正好是一对傅里叶变换。位置越确定，动量越不确定——这不是仪器不够好，是数学的交换。p.30 那条「窄与宽不能兼得」，在这里成了物理定律。
这些应用，傅里叶一件也没见过。他关心的是一根铁杆的温度。可他造的那把尺子，正好能量所有会振动的东西。数学的用处，常常是这样延迟出现的。
这件事为什么落在傅里叶头上，而不是落在一位院士头上？
他不是学院里长大的。本笃会学校、革命政府的师范、理工学校的讲席、埃及的随员、外省的省长——他的履历里没有「从小进科学院」这一条。他四十九岁才进科学院，比拉格朗日晚了三十年。
他也不是纯粹的理论家。他要修路、排沼、编书、管人。这些事教给他一种脾气：问题得解决，不能停在「原则上可以」。一根铁杆的温度算不出来，路修得再好也没用。
他手里有一个别人没有的问题。院士们研究天体力学的微分方程，研究弦振动的偏微分方程，可没有人认真算过「一块固体里的温度」——那太脏、太具体，不够漂亮。傅里叶在格勒诺布尔的实验室里，天天面对一根脏兮兮的铁条，问题就来了。
他还肯下笨功夫。为了算一个系数，他可以把积分一项一项做出来；为了说服评审，他把实验重做几遍，把边界条件讨论了又讨论。他的书里有大量看起来「不必要」的算例，正是这些算例让别人相信：这不只是形式上的把戏。
四样凑在一起：局外人的位置、工程家的脾气、一个具体的问题、肯下笨功夫。缺一样，这件事可能就轮不到他。科学史上很多大事，不是最聪明的人做出来的，是「正好站在那里、又肯做下去」的人做出来的。
这本书的五幕，最后汇成一句话：一个具体问题，可以逼出一件普遍工具。
具体问题是：一根杆里的温度怎样随时间变。它脏、它窄、它不值得院士动手。可它逼着人把「任意曲线」写成一串正弦。这一步一迈出去，热的问题就不再只是热的问题。
普遍工具是：把一条曲线换成一串频率。同一件工具，可以量热，可以量声，可以量光，可以量一张 CT 片、一段语音、一次地震、一颗黑洞。工具一旦造出来，就不归造它的人管了。
这中间还有一层，值得看清。傅里叶的胜利，不是「严格性」的胜利，是「问题」的胜利。他提出的问题足够硬，硬到数学非回答不可；他给出的答案不够严，严到后人非补不可。问题与答案一起，才推动了这门学问。
拉格朗日输了这场争论，可他也没有全输。他坚持的「先证明再使用」，成了十九世纪分析学的规矩。傅里叶赢了这场争论，可他也没有全赢：他的级数在狄利克雷、黎曼、康托尔手里被重新检查，被限制，被推广。两个人各对了一半，合起来才是完整的这一段历史。
下一幕收束：一条年表，三种读法，三个还没有答案的问题。
一、傅里叶身后，这本书被补了一百六十年。狄利克雷给条件，黎曼放宽，康托尔追问唯一性，勒贝格换积分，卡尔松证几乎处处收敛。每一步都在回答他留下的问题。
二、离散化与快速算法，让它从纸上走进芯片。N2 变 (N/2)log2N，一千点快两百倍；JPEG、CT、磁共振、语音、雷达，用的都是这一族算法。
三、他的位置决定了他的问题。局外人、工程家、具体问题、肯下笨功夫。四样凑齐，才有了那条方程与那串正弦。
下一幕收束全册：一条年表，三种读法，三个还没有答案的问题。
把这一册的事排成一条线。
1768 年 生于法国欧塞尔，父为裁缝
1777 年前后 母亲去世
1779 年前后 父亲去世，入本笃会军校
1787 年前后 留校任教数学
1789 年 法国大革命，年二十一
1794 年 一度被捕，同年入巴黎师范学校
1795 年 任教巴黎理工学校
1798 年 随拿破仑远征埃及，任埃及研究院秘书
1801 年 归国
1802 年 任伊泽尔省省长，驻格勒诺布尔
1807 年 向研究院提交《固体中热的传播》
1808 年 受封男爵
1811 年 应征研究院大奖
1812 年 获大奖，评语称其严格性不足
1815 年 去省长职，居巴黎
1816 年 当选法兰西科学院院士
1822 年 《热的解析理论》出版；任科学院终身秘书
1826 年 当选法兰西学院院士
1830 年 卒于巴黎，年六十二
这条线上，前二十一年是读书，中间二十年在革命、埃及与外省之间奔波，最后二十多年才回到书桌。他真正做数学的时间，比看上去少得多。
线还有一处值得看。他的大名来得不算早：四十八岁进科学院，五十四岁出书，五十八岁进法兰西学院。而他最要紧的那篇论文，是三十九岁写的，压在抽屉里十五年，才以书的形式出来。
一个人一生的工作，常常不在他最忙的时候完成，而在他终于能坐下来的时候完成。傅里叶能坐下来，是因为革命与帝国给了他一份薪水；他能写出东西，是因为他在忙的时候没有把问题丢掉。
同一册书，三个人可以读出三种东西。
孩子读叠加。拿一张方格纸，画三条正弦：一条慢的，一条快三倍的，一条快五倍的。把三条的纵坐标加起来，再连成线。加得越多，越像方波。不用讲积分，也不用讲系数，只要动手加一遍，就会记住「复杂的声音是简单的声音叠出来的」。这一层要的是手感。
少年读换算。给一条曲线，算它的系数；给一根弦，算它的基频与泛音；给一个脉冲，算它的第一个频谱零点。这一层要的是「会算」，并且知道算出来的数能拿去与量出来的对。
成人读争论。问一句：拉格朗日为什么不肯承认？一个「任意函数」到底是什么意思？严格性为什么值得等一百年？这一层要的是「凭什么」，不是「是什么」。
三种读法不是三个年龄，是三个问题。孩子问「它怎么叠」，少年问「它等于多少」，成人问「他为什么那样坚持」。三个问题都问过，才算把一个人看全。
若只能读一层，建议读第一层。因为「一条曲线可以拆成一串波」这件事，亲手画一遍，比背十句「傅里叶变换」都实在。
傅里叶走到三个地方，停住了。这三个地方，后来各长出一门学问。
第一处：热到底是什么？他的方程只描写热怎样流，不说热是什么。把热看成分子运动，要等到焦耳、克劳修斯、麦克斯韦、玻尔兹曼。可分子运动怎样变成「温度」这个宏观量？为什么一杯水的温度是确定的，而每一个分子的速度都不一样？这个问题，统计力学回答了一部分，至今没有完全答完。
第二处：级数到底在哪里收敛？狄利克雷给了充分条件，可那不是必要的。一个连续函数，它的傅里叶级数会不会在某点发散？1873 年杜布瓦-雷蒙说会；1966 年卡尔松说「几乎处处」收敛。「几乎处处」之外的那些点，是什么样子？这个问题还没有完。
第三处：连续与离散，能不能互换？他的公式是连续的，计算机算的是离散的。取样取多密才不丢信息？丢了的那部分，能不能补回来？采样定理给了一个界线，可真实信号总有噪声、总有边界。压缩与失真之间的取舍，是今天每一个工程师天天面对的问题。
三处停步，都不是因为他笨。每一处都卡在一个「当时还不存在的东西」上：原子论、集合论、计算机。他要往前一步，得先有人把那个东西造出来。
这也正是这套书反复讲的那件事。一个人能走多远，一半看他自己，一半看他手上有什么。
材料：方格纸、铅笔、直尺、计算器（或一张正弦表）。目标：亲手把方波叠出来。
第一步，画坐标。横轴从 0 到 2π，每 π/4 一格；纵轴从 −1.5 到 1.5，每 0.5 一格。
第二步，算三条曲线。方波的展开是 (4/π)(sin x + (1/3) sin 3x + (1/5) sin 5x + …)。先只取前三项，把每个点的值算出来：
x sin x (1/3)sin3x (1/5)sin5x 和 乘 4/π
0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
π/4 0.71 0.24 −0.14 0.80 1.02
π/2 1.00 −0.33 0.20 0.87 1.10
3π/4 0.71 0.24 −0.14 0.80 1.02
π 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
5π/4 −0.71 −0.24 0.14 −0.80 −1.02
3π/2 −1.00 0.33 −0.20 −0.87 −1.10
7π/4 −0.71 −0.24 0.14 −0.80 −1.02
2π 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
第三步，描点连线。把最后一列的点连成一条光滑曲线。它应该是一条有点「方」的波：中间平，两边陡，顶上带一点过冲。
第四步，找过冲。看 x = π/2 附近：算出来是 1.10，比方波的 1.00 高出 0.10。再看 x = 0.3 附近，会冲得更高。把项数加到九项，冲头会变窄，可高度几乎不变——这就是吉布斯现象。
最后想一想：如果只取一项，画出来是一条纯正弦；它的最高点是 4/π ≈ 1.27，比方波高 27%。加三项，最高点降到约 1.10；加九项，仍在 1.09 上下。为什么加得越多，反而在角上更「不准」？
材料：一把金属勺、一杯热水、四小粒黄油或蜡、一支秒表、一把尺。目标：看热怎样沿勺子走。
第一步，摆点。在勺柄上距勺头 2、4、6、8 厘米处，各放一小粒黄油，四粒一样大。勺子要擦干，室温要稳定。
第二步，加热。把勺头浸进热水，从浸入的一刻开始计时。记下每一粒黄油开始熔化的时刻。
第三步，看次序。靠近勺头的那粒先化，远的后化。若 2 厘米处约 50 秒化，4 厘米处约 200 秒，6 厘米处约 450 秒，8 厘米处约 800 秒——时间大致与距离的平方成正比：2 : 4 : 6 : 8 对应 1 : 4 : 9 : 16。这是热传导的「扩散」特征。
第四步，估一个数。用 t ≈ x2/(2α) 粗估热扩散率。取 x = 0.03 米、t = 112 秒：α ≈ 0.0009/(2 × 112) ≈ 4 × 10−6 m2/s，正是不锈钢的量级。
第五步，找差别。实际测出来，往往比估算快，尤其靠近勺头。因为热不只「传导」，还在勺面上「对流」：周围的空气被加热上升，带走热量。勺子越细，表面积相对于截面越大，对流越重要。
最后想一想：为什么木勺不烫手？木材的 α 约 1 × 10−7，比不锈钢小四十倍。同样的时间，热走不了那么远。这不是「木头不导热」的模糊说法，是可以算出来的数。
热传导 热从高温处向低温处、沿物体内部传递的过程。不靠物质流动，靠分子间的碰撞与振动。与对流、辐射并称三种传热方式。
热扩散率 α = K/(ρc)，单位 m2/s。描写温度变化传播的快慢，不是「导热多快」。铜约 1.1×10−4，铁约 2.3×10−5，木材约 1×10−7。
边界条件 方程之外必须给出的限制。第一类给温度，第二类给热流，第三类给与外界的热交换。没有它，解不唯一。见 p.17。
傅里叶级数 把周期函数写成 a0/2 + Σ(an cos nx + bn sin nx) 的级数。系数由积分给出。见 p.21—p.22。
正交性 不同频率的正弦、余弦在一个周期内乘积的积分为零。它使每个系数可以单独求出，不必联立方程。见 p.22。
吉布斯现象 用傅里叶级数逼近有跳跃的函数时，跳变附近出现过冲；项数增加，过冲变窄而不变矮。极限约 8.95%。见 p.23。
频谱 一个信号所包含的各频率成分及其强弱。横轴频率，纵轴幅度。见 p.29。
傅里叶变换 把非周期函数从时间域变到频率域的积分变换：F(ω) = ∫f(t)e−iωtdt。逆变换把频谱变回原函数。见 p.30。
采样定理 采样率须不低于信号最高频率的两倍，才能由样本完全恢复信号。否则出现「混叠」。电话 8 kHz、光盘 44.1 kHz 即由此定。
热质 18 世纪关于热的本性的一种学说，认为热是一种无重量的流体。能解释比热与潜热，但不能解释摩擦生热。见 p.4、p.48。
傅里叶（Joseph Fourier, 1768—1830） 法国数学家、物理学家、行政官。热传导理论的奠基者，傅里叶级数与傅里叶变换以其命名。曾任伊泽尔省省长、法兰西科学院终身秘书。
拉格朗日（J.-L. Lagrange, 1736—1813） 法国数学家、力学家。分析力学与变分法的奠基者。1807 年评审傅里叶论文，反对用三角级数表示任意函数。
拉普拉斯（P.-S. Laplace, 1749—1827） 法国数学家、天文学家。《天体力学》作者，概率论奠基者之一。傅里叶论文的评审人之一。
蒙日（G. Monge, 1746—1818） 法国数学家。画法几何的创立者，傅里叶在埃及的同事与论文评审人。
布莱克（Joseph Black, 1728—1799） 苏格兰化学家、物理学家。发现潜热与比热，为量热学奠定基础。
伦福德（Count Rumford, 1753—1814） 生于美国的物理学家。以炮筒钻孔实验反对热质说，主张热是运动。
狄利克雷（P. G. L. Dirichlet, 1805—1859） 德国数学家。1829 年给出傅里叶级数收敛的充分条件；函数概念现代化的推手。
黎曼（B. Riemann, 1826—1866） 德国数学家。1854 年研究三角级数表示函数的条件，创立黎曼积分；黎曼猜想以其命名。
康托尔（G. Cantor, 1845—1918） 德国数学家。从三角级数唯一性问题出发，创立集合论。
亥姆霍兹（H. von Helmholtz, 1821—1894） 德国物理学家、生理学家。《论音的感觉》用傅里叶分析解释音色，能量守恒定律的独立发现者之一。
主要文献 Théorie analytique de la chaleur（1822）；Théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides（1811 年获奖论文）；Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides（1807）；Description de l'Égypte 序。研究：Grattan-Guinness（1972）；Herivel（1975）；Dhombres & Robert（1998）；Arago 悼词（1833）。
傅里叶一辈子用「热质」这个词。他没有错，也没有对——他只是不需要回答那个问题。
热质说到底怎样退场的？不是被一次实验打倒的，是被一件一件的事逼退的。
第一件，摩擦。伦福德 1798 年看见钻炮筒不断生热，热质说只能解释说「空气里的热质被挤出来了」，可他在水里做实验，热照样出来。水没有孔隙可挤，热质从哪儿来？
第二件，热功当量。1843 年，焦耳用桨叶搅水，测量水温的微小上升，算出做多少功、生多少热。结果显示：一定量的功，总对应一定量的热，比例固定。热可以「由功换来」，这就不是一种守恒的流体了。
第三件，理论。1850 年，克劳修斯把热与分子运动联系起来，提出热力学第二定律；麦克斯韦、玻尔兹曼建立统计力学，把温度解释为分子平均动能的量度。热不再是「东西」，是「运动的一种表现」。
第四件，证据。1827 年，布朗看见花粉在水里不停地抖动；1905 年，爱因斯坦用分子碰撞解释了这个抖动。原子与分子不再是方便的假设，而是可以数出来的东西。
四件事，前后一百年。热质说不是「愚昧」，它是一个有用的研究纲领：它让量热学建立起来，让卡诺写出热机理论，也让傅里叶写出方程。一个学说退场，不等于它一无是处；它常常是把人送到下一站的那辆车。
一、初版。1822 年，巴黎 Firmin Didot 书店出书，六百四十页。印数不多，读者更少。买的多是工程师与学数学的学生。
二、批评。1824 年前后，泊松在研究院的论文里提出异议，认为傅里叶对边界条件的处理不够一般，某些解不成立。傅里叶写了一篇措辞尖锐的答复。两人从此不和。这场争论今天看来，一半是数学，一半是脾气。
三、再版。1888 年，法国出版家 Gauthier-Villars 出第二版，由达布（G. Darboux）校订。达布在序里说：这本书的写法已经过时，可它的思想没有。这句话说得客气，也说得准。
四、英译。1878 年，弗利曼（A. Freeman）译成英文，题为 The Analytical Theory of Heat。英译本让英语世界第一次完整读到这本书。剑桥的物理学家们，从这本书里学会了「用级数解偏微分方程」。
五、中译。2008 年，桂质亮据法文原著译出《热的解析理论》，北京大学出版社出版。中译本保留了原书的记号与章节，读者可以对照法文读。
六、这本书的脾气。它不好读。傅里叶的记号与现代不同：他不用 Σ，不用偏导数符号，把级数一项一项写出来；他的论证常常靠直觉，靠「显然」。可它有一种别处没有的东西：一个真实问题从头到尾被算完的完整感。读它，像看一个人真的在解一道题，而不是在展示一种方法。
七、一个名字的晚出。「傅里叶变换」这个名字，是 20 世纪才通行的。傅里叶自己叫它「级数的极限情形」。名字晚出，东西早就在。
这一册讲一个人怎样把「热」变成可以算的东西，又怎样顺手造出一件量遍万物的工具。
他的起点很具体：一根铁杆。一端插在沸水里，一端露在空气中，几个温度计沿着杆插在不同的位置。他要算的是：热走过去，每一处的温度怎样随时间变。这个问题脏、窄、不漂亮，院士们不肯做。
他的办法很朴素：把温度拆成一串正弦。每个正弦按自己的速度衰减，慢的留得久，快的先消失。把所有的加起来，就是任意时刻的温度。这个办法要求「任意一条曲线都能拆成正弦」，当时没有人相信。
所以这一册的主角不是某条定理，是「拆开」这个动作。拆开一变，能问的问题就变：原来问「这根杆多热」，后来问「这段声音由哪些频率组成」，再后来问「这张图、这段语音、这颗黑洞，谱是什么样」。
傅里叶自己未必把这层想得那么远。他只想算热，只想让评审相信他的解是对的。他做到了，用的办法是笨办法：做实验、列方程、算积分、改论文，改了十五年。
孩子读这一册，不必记住级数公式。记住一件事就够了：一个复杂的东西，也许可以拆成几个简单的东西；拆开之后，各管各的，反而好算。这是傅里叶的第一课，也是这一册的全部。
一、不要说傅里叶「发明」了三角级数。欧拉、丹尼尔·伯努利、拉格朗日都用过三角级数表示特定的函数。傅里叶的贡献是：主张「任意」函数都能这样表示，并把它用于热传导。「任意」两个字，才是他的。
二、不要把他当成纯粹的数学家。他的正职是省长、科学院秘书；数学是他用来解决工程问题的工具。正因如此，他的书里全是具体的杆、环、球，而不是抽象的公理。
三、不要把热质说当成「愚昧」。它是有用的研究纲领：量热学、热机理论都从它里面长出来。傅里叶自己就用它，可他不让它妨碍计算。一个学说能让人往前走，就有它的价值。
四、不要以为「连续函数一定能展开成傅里叶级数」。1873 年，杜布瓦-雷蒙造出连续函数，它的傅里叶级数在某点发散。收敛是有条件的；条件之外，还有一百多年的研究。
五、不要以为傅里叶变换是他一个人发明的。他给出的是级数；积分形式、收敛条件、快速算法，都是后人补的。把一条河的全部支流都算在他头上，反而看不见他真正做的那一段。
五条误区有一个共同点：都把「一个人」当成「一个时代」。一个人只能做一段；一段接一段，才成一条河。这一册想说的，是那一段的位置。
《数学家的故事》第四辑 第 34 册
傅里叶 · 热的谱线
体例：五幕 · 52 页 · 三层可读（故事／数学／注疏）
插画：40 幅（留白线体）
数值：全册关键数值实算复核
本册为「格物致知」系列数学通识读物之一，面向全龄读者。
故事层无需预备知识；数学层对应高中至大学初年级；注疏层供检索与延伸。
格式 · 格物致知 · JUST FOR FUN