热尔曼 · 板振与化名

没有教师，怎么学数学？她的办法很笨，也很有效：读、抄、算、验。

读，是读原著。牛顿的《原理》、欧拉的《无穷分析引论》、后来的《算术研究》，她一部一部啃。读不懂就往前翻，翻到看懂为止；还看不懂，就先记住，往下读，回头再看。

抄，是整段整段地抄。抄不是为了记住，是为了让手跟上眼。一个证明，眼睛看过去觉得通，抄一遍才会发现第三步跳了、第五步用了没说的条件。抄是最慢的读法，也是最诚实的读法。

算，是每条定理都拿数去试。这是她与许多读书人不同的地方：定理在她手里不是一句话，是一道可以验的题。

试一个例子。费马留下过一条小定理：若 p 是素数，a 是任意整数，则 a^p − a 必被 p 整除。拿数试：

p = 3，a = 5　：　5³ − 5 = 120 = 3 × 40
p = 5，a = 3　：　3⁵ − 3 = 240 = 5 × 48
p = 7，a = 2　：　2⁷ − 2 = 126 = 7 × 18
p = 7，a = 3　：　3⁷ − 3 = 2184 = 7 × 312

四个例子都成立。四个例子不能算证明，可它给了两样东西：一是信心，二是手感。手感是：这类话大概是真的，而且大概与「除以 p 的余数」有关。

验，是拿别的办法再算一遍。她算题有个习惯：算完一条，换一条路再算一次；两条路得同一个数，才肯写下去。这个习惯，后来救过她——在一条很长的推导里，她靠它发现了自己的一个错。

读、抄、算、验，四件事都不需要教室。需要的是纸、笔、时间，和一种不肯糊弄自己的脾气。她四样都有。

1790 年代中期，巴黎理工学校的分析课由拉格朗日讲。他是当时欧洲最好的分析学家：《分析力学》的作者，变分法的奠基人之一。他的课讲得极清楚，也极难：不肯用图，全靠式子往前推。

她把习题做完，寄了过去。署名「勒布朗」。

回信来了。然后是第二次、第三次。据后来的追述，拉格朗日读了几次之后，觉得不对：这些作业的水平不像一个学生，倒像一个已经做过研究的人。他要求见面。

见面的情形，没有可靠的记录。能确定的只有结果：他没有揭穿她，也没有拒绝她，此后做了她的指导者。他读她的稿子，指出哪里跳了步，哪里该补一个引理。

这一步对她意味着什么，可以从一件小事看出来。在此之前，她只能自己判断对错；在此之后，有人替她判断。一个人算错了，自己往往看不出来——不是不够聪明，是因为错的地方正是他没想到的地方。要看出自己没想到的地方，得另一个人。

有了这个人，她的进度快了一截。她开始读更难的东西：欧拉的数论、拉格朗日的方程论、拉普拉斯的概率。她的笔记越写越厚，问题也越问越硬。

可那个名字没有摘下来。对它，她有一种很实际的态度：名字是一件工具，好用就继续用。她没有把它当成荣耀，也没有把它当成羞耻。它只是一个能收到回信的信箱。

拉格朗日给她的第一样东西，不是某个公式，是次序。先定义，再命题，再证明；一步不跳，一句不省。

他让她把最基础的东西从头理一遍。第一个题目：素数有多少个？

欧几里得的证法只有五步。第一步，假设素数只有有限个，把它们全列出来：p₁, p₂, …, p_n。第二步，把这些数全部乘起来，再加一，记作 N。第三步，N 除以其中任何一个 p_i，都余一。第四步，所以 N 不被表中任何一个素数整除。第五步，那么 N 要么自己就是素数，要么有一个不在表里的素因子——两种情形都与「表已列全」矛盾。

结论：素数无穷多。

这个证明的力量，在于它不需要知道素数是什么样子。它只用了一条：任何大于一的整数，都有素因子。剩下全是逻辑。

拿数试一遍。取前六个素数：二、三、五、七、十一、十三。乘起来是 30030，加一是 30031。它自己不是素数：30031 = 59 × 509。五十九和五百零九，都不在原来那六个里。证明说的正是这件事：无论表列到多长，总能造出一个漏网的。

她后来写数论，用的就是这套次序。先设一个反例，再让反例自己长出一个更小的反例，最后没有更小的可长。这套办法有个名字，叫无穷递降。费马发明它，欧拉用它解了 n = 3，她后来用它啃 n = 5。

一个人教另一个人，最值钱的往往不是知识，是这种「先做什么、后做什么」的次序感。知识可以自己读，次序得有人带。

1637 年，费马在一本丢番图的《算术》页边，写下一句话。那句话后来被叫作「费马大定理」，其实它长期只是一个猜想，直到 1994 年才被证明。

话很短：当 n 是大于二的整数时，方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解。他还在旁边加了一句：我有一个绝妙的证明，可惜页边太窄，写不下。

先看 n = 2。这一情形有解，而且有无穷多组：三、四、五；五、十二、十三；八、十五、十七。9 + 16 = 25，25 + 144 = 169，64 + 225 = 289。这叫勾股数。

再看 n = 3。3³ + 4³ = 27 + 64 = 91。而 4³ = 64、5³ = 125，九十一夹在中间，不是任何整数的立方。换一组也一样：1 + 8 = 9，九夹在八与二十七之间。三条边的平方能凑成一个平方，立方却凑不出来。

费马自己证了 n = 4。他的办法是无穷递降：假设有一组解，就能造出一组更小的解；再造就再小，最后小到不能再小，于是矛盾。欧拉 1770 年证了 n = 3。

剩下的 n 怎么办？有一个省力的观察：只要能证所有的素数指数，就全证了。因为若 n = km，把 xⁿ 看成 (x^k)^m，方程就化成了指数 m 的情形。于是只需逐一处理素数：三、五、七、十一……

到了十九世纪初，三与四已解，五还悬着。

这时人们把问题分成两种情形。第一种：p 不整除 xyz。第二种：p 整除 xyz。第一种情形下，三个数与 p 都不沾边，可以用余数去卡；第二种情形下，p 已经钻进了某个数里，卡法要另想。

热尔曼做的，是把第一种情形整个关掉——不是对某一个 p，是对无穷多个 p。

她的工具只有一个：余数。但她挑了一个特别的除数。

设 p 是素数，而 q = 2p + 1 也是素数。取 p = 5，则 q = 11。要看的，是一个数的五次方除以十一，余几。

把一到十逐个算一遍：

　a　　　1　2　3　4　5　6　7　8　9　10
　a⁵　　1　32　243　1024　3125　7776　16807　32768　59049　100000
　余数　　1　10　1　1　1　10　10　10　1　10

十个余数里，只有两种：一和十。而十就是负一，因为 10 + 1 = 11。换句话说，任何一个不被十一整除的数，它的五次方除以十一，余数不是一，就是负一。

为什么？三步。第一步，费马小定理说：a¹⁰ 除以十一余一。第二步，把 a⁵ 看成一个整体，记作 u，那么 u² = a¹⁰ 除以十一余一。第三步，u² − 1 = (u − 1)(u + 1) 被十一整除；十一既然整除这个乘积，就必整除其中一个因子，所以 u 余一或余负一。

这个推理短，可它极硬。它把「五次方除以十一」这件无从下手的事，压成了两个符号：+1 与 −1。

现在假设有一组解，且三个数都不被十一整除。方程写作 x⁵ + y⁵ + (−z)⁵ = 0。三项各是 +1 或 −1。三个这样的数相加，只可能是 3、1、−1、−3 中的一个。这四个数，没有一个被十一整除。

可左边必须被十一整除，因为右边是零。矛盾。

所以：若 x⁵ + y⁵ = z⁵，则十一必整除 xyz。三个数里，至少有一个带着十一这个因子。

这一步只用了加法表。桌上摆十个余数，看三个正负号能不能凑成零——凑不成。一场关于无穷的争论，被一张十行的表关掉了。

证到「十一整除 xyz」，只走了一半。要证的是「五整除 xyz」，中间还差一步。

这一步用因式分解。两个五次方相加，可以拆开：x⁵ + y⁵ = (x + y)(x⁴ − x³y + x²y² − xy³ + y⁴)。第一个因子是「两数之和」，第二个因子是一个别扭的四次式。

先验一下这个分解。取 x = 2, y = 1。左边 32 + 1 = 33。右边两个因子：2 + 1 = 3，与 16 − 8 + 4 − 2 + 1 = 11。三乘十一，三十三，对上了。

再取 x = 3, y = 2。左边 243 + 32 = 275。右边：5 与 81 − 54 + 36 − 24 + 16 = 55。五乘五十五，二百七十五，也对上了。

有了这个分解，就能做递降：假设一组解，从「十一整除 xyz」出发，可以把两个因子各自逼成某种五次方；再代回方程，造出一组更小的解。小了还能更小，最后无处可小，于是矛盾。这套路数与费马证 n = 4、欧拉证 n = 3 用的是同一种。

她信里只写了骨架。后来的教科书把它整理成完整的证明，结论归在她名下，叫「热尔曼定理」。

定理可以这样写：若 p 与 2p + 1 都是素数，则 x^p + y^p + z^p = 0 的整数解必满足 p 整除 xyz。也就是：第一种情形没有解。

哪些 p 合用？一百以内的素数有二十四个。其中满足「2p + 1 也是素数」的，只有九个：三、五、十一、二十三、二十九、四十一、五十三、八十三、八十九。

　p　　　　3　5　11　23　29　41　53　83　89
　2p+1　7　11　23　47　59　83　107　167　179
　皆为素数　是　是　是　是　是　是　是　是　是

九个。看上去不多，可每一个都关掉了整整一种指数。比如 p = 5：从今以后，五次方这一栏里，凡是三个数都不带五的，全部排除了。剩下的只有「带五」的那一小块。

一块方板，敲一下，它同时能唱出很多种声音。每一种声音，对应一种「振动方式」，叫一个模态。

模态怎么数？看板上有几道不动的线。沿一个方向数，有 m − 1 道；沿另一个方向数，有 n − 1 道。于是用两个数 (m, n) 就能给一种振动方式编号。

比如 (1, 1)：两条方向上都没有内部节线，整块板一齐上下，中间鼓，四边不动。比如 (2, 1)：中间多一道竖的节线，板分成左右两半，一半向上时另一半向下。(3, 2)：竖两道、横一道，分成六块，像棋盘。

频率怎么算？若板的四边简支（边不动、可以自由转动），公式是：

　f_mn = (π/2) · (m²/a² + n²/b²) · √(D/ρh)

这里 a, b 是两条边长，h 是厚度，ρ 是密度，D 是板的弯曲刚度。方板取 a = b，公式里就只剩 m² + n²。

这就是关键：频率不随 m, n линейно增长，而随它们的平方和增长。把 (1, 1) 的频率记作一，其余各模态是：

　(m, n)　　　(1,1)　(2,1)　(2,2)　(3,1)　(3,2)　(4,1)
　m²+n²　　2　　5　　8　　10　　13　　17
　相对频率　　1　　2.5　　4　　5　　6.5　　8.5

为什么是平方？因为板的恢复力来自弯曲，而弯曲的程度用二阶导数描写。节线越密，板弯得越急；弯得越急，恢复力越大；能量里出现的是曲率的平方，所以频率随模数的平方往上走。弦是一维的，频率随 n 线性增长（一倍、两倍、三倍）；板是二维的，要按平方增长（一倍、四倍、九倍）。这是板与弦最本质的差别。

把数字代进去。一块钢板：边长二十厘米，厚一毫米。

先算刚度。D = Eh³/[12(1 − ν²)]。钢的弹性模量取 200 吉帕，泊松比取 0.3。(1 − 0.3²) = 0.91。厚度一毫米是 10⁻³ 米，三次方是 10⁻⁹。算下来 D = 200 × 10⁹ × 10⁻⁹ / (12 × 0.91) ≈ 18.3 牛·米。

再算频率。√(D/ρh)，钢的密度 7850，一毫米厚的板每平方米重 7.85 千克。18.3 / 7.85 ≈ 2.33，开方约 1.53。

再算模数项。(1/0.2² + 1/0.2²) = 25 + 25 = 50。乘上 π/2 ≈ 1.571。

　f₁₁ ≈ 1.571 × 50 × 1.53 ≈ 120 赫兹

一百二十赫兹。这是低音区的一个音，比中央 C 低一个八度多一点。一块二十厘米见方的钢板，敲一下，就是这个音。

换三个条件，看频率怎么动。这三条是这块板最要紧的三条脾气：

　厚一倍（二毫米）　　频率 240 赫兹　　高一个八度
　边长一半（十厘米）　频率 480 赫兹　　高两个八度
　换成玻璃（同尺寸）　频率 123 赫兹　　几乎不变

厚一倍，频率翻倍；边长减半，频率涨四倍。前者是因为刚度随厚度三次方增长、而重量只随厚度一次方增长，开方之后正好余下厚度的一次方。后者是因为模数项里边长在分母上、还要平方，所以边长减半是四倍。

玻璃那一行最有意思。玻璃的弹性模量只有钢的三分之一，密度也只有钢的三分之一，两者相抵。开方之后只差百分之二。所以同样大小、同样厚薄的一块钢板与一块玻璃板，敲起来声音几乎一样高。音色不同，音高相同——这是两个不同的量。

一块板的音高，只由三样东西定：材料、厚度、边长。材料写在开方里，厚度写在一次方，边长写在平方里。记住这三条，就不必每次从头算。

沙为什么会跑到那些线上？因为板在动，而那条线不动。

板上的每一点，都在上下振动。振幅不是到处一样：有的地方大，有的地方小，有的地方恰好为零。振幅为零的那些点连起来，就是节线。

节线上的点不动，加速度是零。其余地方的点，加速度很大。算一下有多大：(2, 1) 模态，频率约三百赫兹，振幅约零点一毫米。振动的最大加速度是 a = ω²A。

　ω = 2π × 300 ≈ 1885 弧度每秒
　ω² ≈ 3.55 × 10⁶
　A = 0.1 毫米 = 10⁻⁴ 米
　a ≈ 3.55 × 10⁶ × 10⁻⁴ ≈ 355 米每二次方秒

三百五十五米每二次方秒，约等于重力的三十六倍。沙粒在板上，等于被一台每秒上下三万次、加速度三十六倍重力的筛子在筛。它待不住：一被抛起就离开原位，落下来时位置是随机的。

落一次，偏一点；落一百次，就偏到了节线上。到了节线，板不动，它就不走了。所以沙不是「画」出图案，是「被赶到」图案上去的。它标出的不是振动最大的地方，恰好是振动最小的地方。

这也解释了图案为什么那么干净。沙只往一个地方去，去够了就停，多余的地方自然空出来。节线越密，图案越细；频率越高，节线越密。沙把频率这件抽象的事，变成了一张可以数的图。

这是本册最漂亮的一处「造物」：一条看不见的规则——振幅为零——被一把沙画成了看得见的形。人没有画它，人只是给了它一个机会。

问一个曲面「这一点弯多少」，第一反应是：弯就是弯，还有什么花样？花样很多。

拿一个点，过它作一条垂直于曲面的直线（法线）。再过法线作一个平面，这个平面与曲面相交，交出一条曲线。这条曲线在这一点有一个曲率——圆越小，曲率越大；曲率就是半径的倒数。把平面绕着法线转一圈，交出的曲线一条一条地变，曲率也跟着变。

转一圈下来，曲率有一个最大值和一个最小值。这两个数，叫这一点的两个主曲率，记作 κ₁ 与 κ₂。

看三个例子。球面：不管平面怎么转，交出的都是同样大的圆，所以两个主曲率相等。半径十厘米的球，κ₁ = κ₂ = 1/0.1 = 10，单位是「每米」。圆柱面：顺着柱身那个方向，交出的是一条直线，直线不弯，曲率为零；绕着柱子的方向，交出半径十厘米的圆，曲率为十。所以 κ₁ = 10，κ₂ = 0。鞍面（马鞍的中心）：一个方向向上弯，一个方向向下弯，κ₁ = 10，κ₂ = −10。

注意那个负号。负不是「弯得少」，是「朝反方向弯」。球面上处处同向弯；鞍面上，走过去先是向下凹、再向上翘，弯的方向变了号。这是曲面与曲线最大的不同：曲线在一点只有一个弯法，曲面有两个，而且可以反号。

这三个例子说明一件事。两个主曲率能认出形状。两个相等且同号，是球（或局部像球）；一个为零，是柱；一正一负，是鞍。一张曲面千变万化，可它在每一点上，只交出两个数。这两个数就是它的「指纹」。

把无穷多的方向，压成两个数。这又是那个动作：把连续的、无从下手的，换成有限的、可以写的。

两个数，怎么合成一个？她的答案是：相加，除以二。

　H = (κ₁ + κ₂)/2

这个 H 叫平均曲率。球面：(10 + 10)/2 = 10。圆柱面：(10 + 0)/2 = 5。鞍面：(10 + (−10))/2 = 0。平面：(0 + 0)/2 = 0。

鞍面与平面的平均曲率都是零。这很有意思：一个是弯的，一个是平的，可它们在这一个数上一样。说明平均曲率不是「弯得厉害不厉害」，而是「弯的方向是否互相抵消」。一个方向往上弯十分，另一个方向往下弯十分，抵消为零。这叫「极小」：不是面积最小，而是一阶变化为零。

为什么取平均，而不是取乘积、取较大的那个？有两个理由。第一，平均对两个主曲率是对称的：谁是最大、谁是最小，取决于怎样命名，平均不受影响。第二，它是旋转不变的：把坐标轴转一个角度，两个主曲率会变，可它们的和不变。一个量要能描写曲面本身，就不能依赖坐标轴怎样摆。

有公式可以直接算。若曲面写成 z = f(x, y)，则在一点处：

　H = [(1 + f_y²)f_xx − 2f_xf_yf_xy + (1 + f_x²)f_yy] / [2(1 + f_x² + f_y²)^3/2]

式子里那些一阶、二阶导数，就是「坡度」与「弯度」。看一个最简单的例子：抛物面 z = (x² + y²)/(2R)，取原点。原点上坡为零（f_x = f_y = 0），两个二阶导都是 1/R。代进去，分子是 1/R + 1/R = 2/R，分母是二，所以 H = 1/R。半径十厘米，就是十，与前面算的球面一致。

她的贡献，是把「平均」这个想法写成了可以代的公式，并且用它去算具体的曲面。在她之前，人们会算球、会算柱；在她之后，任意一张写得出的曲面，都能算出每点的平均弯法。

拿两个铁丝圈，蘸一下肥皂水，中间会拉出一层膜。膜会自动收成一个腰形——两头大，中间细。这个形状叫悬链面。

它为什么长这样？因为它要使面积最小。肥皂膜有表面张力，张力像一张绷紧的皮，只要有一点多余的面，它就会缩回去。所以膜的形状，是「在给定边界的条件下，面积最小的那个面」。

这句话与平均曲率有什么关系？关系是：面积最小 ⇔ 平均曲率处处为零。道理可以这样看：把膜轻轻推一下，使它离开原来的位置一点点。如果原来就是面积最小的，那么推一下之后，面积的变化应当是一阶为零（只增不减，从零开始）。把「面积的变化」算出来，得到的恰好是平均曲率的积分。于是「一阶为零」就是「平均曲率处处为零」。

所以悬链面的 H 处处为零。它与鞍面一样，是「极小曲面」。两个圈一拉开，腰越收越细；拉到某个长度，膜会突然破掉，跳成两个平盘。这一步跳变，是极小曲面理论里一个有名的现象。

再看肥皂泡。泡是封闭的，里面气压比外面高，所以膜要撑住这一点压差。此时面积不再最小，而是「在给定体积下最小」。结果是一个球，而且 H 处处相等。球面上处处同弯，平均曲率自然是常数。

压差多大？公式是 Δp = 4γ/R（泡有两层膜，所以是四倍，不是两倍）。肥皂水的表面张力约 0.025 牛每米，半径两厘米的泡：

　Δp = 4 × 0.025 / 0.02 = 5 帕

五帕，大约是一张纸平放在桌上产生的压强的五十分之一。极小，可它撑起了一个球。泡越小，压差越大：半径减半，压差翻倍。所以吹小泡要费劲，泡大了反而轻松。

一块板、一张曲面、一层膜，到了这里合成一件事：形状不是被画出来的，是被一条规则逼出来的。规则很短——四阶导数为零，或者平均曲率为零；形状很复杂——星形、腰形、球。这就是「造物」这两个字，在数学里的意思。

把她的三样工作摆在一张账上，看每一样走到了哪里。

第一样，数论。做成了什么：若 p 与 2p + 1 都是素数，则第一种情形无解。覆盖多广：一百以内二十四个素数，九个合用；一千以内，合用的大约三十个。差在哪里：第二种情形未解决，一般情形更没有。后来怎样：1825 年 n = 5 补完；1847 年后理想数接上；1994 年全证。她的名字：热尔曼定理，教科书的固定条目。

第二样，板。做成了什么：四阶方程，与一套振动模态的算法。覆盖多广：任意形状的薄板都能写出方程，方板、圆板、矩形板都算得出来。差在哪里：自由边的边界条件写错，频率偏低。后来怎样：1850 年基尔霍夫改正；此后成为工程标准理论。她的名字：热尔曼—拉格朗日方程。

第三样，曲面。做成了什么：平均曲率的定义与可代公式。覆盖多广：任何写得出的曲面，每一点都算得出一个数。差在哪里：她没有走到「曲率决定形状」那一步。后来怎样：高斯、黎曼把它变成一整门微分几何。她的名字：平均曲率，今亦称热尔曼曲率。

三样加起来，是一份很实在的账。没有一样是「开创一门学科」，可三样都留下了能用的东西：一条定理、一个方程、一个定义。

她一生公开发表的东西不多：一本小书、两三篇论文、若干通信。数量少，密度高。每一篇都咬住一个具体问题，咬到出血为止。

薄板方程不只是一件历史遗物。它今天还在用，而且用得很凶。

先说适用条件。薄板理论要求厚度远小于边长，工程上常取 h/a < 1/10。一块一米见方、一厘米厚的铝板，h/a = 0.01，合用。若厚度到了二十厘米，比值变成 0.2，就得换厚板理论，甚至回到三维弹性力学。

再算一个数。一米见方、一厘米厚的铝板，四边简支：铝的弹性模量七十吉帕，密度两千七百。刚度 D = 70 × 10⁹ × 10⁻⁶/(12 × 0.891) ≈ 6550 牛·米；√(D/ρh) ≈ 15.6；(π/2)(2/1) × 15.6 ≈ 49 赫兹。这样一块板，第一阶固有频率约四十九赫兹。

这个数有什么用？用在「不要共振」上。一块机器外壳，如果它的固有频率恰好与马达的转速对上，就会越振越响，最后裂开。工程师算这个数，就是为了把它挪开：加厚一点、加一道筋、换一种材料。加厚一倍，频率涨一倍；加一道筋，等于把 D 抬高，频率跟着往上走。

用在哪里？飞机蒙皮、汽车顶盖、船体甲板、楼板、鼓面、小提琴的面板、手机的振动膜、微机电传感器。凡是一层「薄薄的东西要承受弯曲」的地方，背后都是这条四阶方程。今天的算法叫有限元：把板切成许多小片，每片用一个简单的位移函数逼近，再拼起来解一个巨大的线性方程组。一台电脑几秒钟就能算完一块板的前二十阶模态。而她当年是拿着笔，一阶一阶手算的。

从手算到有限元，中间隔了一百五十年。方程没有变，变的是算它的工具。这也是这一册反复出现的那个意思：一个人的上限，一半是他自己，一半是他手上的工具。

她的故事里，有几个数字比任何形容都硬。

第一个：一百七十八。巴黎理工学校 1794 年建校，1972 年才招收女生。她十八岁那年被挡在门外，门再开时，她已经死了一百四十一年。

第二个：二百九十六。法兰西科学院 1666 年成立，1962 年才选出第一位女院士——物理化学家玛格丽特·佩雷。她 1816 年得的是科学院的奖，不是科学院的席位。奖可以给一个没有座位的人，席位不行。

第三个：五十八。她 1831 年去世；1889 年埃菲尔铁塔落成，塔身一层刻了七十二位法国科学家的名字，其中有她。七十二个名字里，女性只有她一个。刻名字的时候，距离她死，五十八年。

第四个：一百六十三。她 1831 年去世，1994 年费马大定理被证明。中间隔一百六十三年。她关掉的那一类情形，最终被并进了一个更大的证明里，成为其中的一小块。

四个数字摆在一起，说的不是「时代进步了」这种话。说的是：制度的门，比个人的命长得多。一个人可以在门外把事做完，可门不会因为她做完就开。门是后来的人推开的，推的时候，多半已经想不起门外站过谁。

所以刻名字这件事，有它的意义。它不改变任何制度，可它让后来的人查得到：这扇门外，曾经有人站了三十年。