冯·诺依曼 · 存储与博弈

先算一个最基本的问题：「三」这个数，到底是什么？

老答案有两种。一说它是所有「三件套」的共同形状——可「形状」又是什么，没人说得清。一说它就是 0、1、2 这三个东西凑成的一堆。后一种说法离谱地简单，却有个毛病：这一堆的「户口」没落在哪，换一套记号就得重讲一遍。

冯·诺依曼的做法是让每个数当自己的户口：一个数，就是排在它前面的所有数凑成的那一堆。用符号写，令空集为零，给一条生成规则

S(α) = α ∪ {α}

把 α 已有的一切，连同 α 自己，收进新的一堆。从零开始，一路生成：

0 = ∅　1 = {0}　2 = {0, 1}　3 = {0, 1, 2}

当场验一个：3 = {0, 1, 2} 里恰好有三个元素——0、1、2。「三」自己把自己数了出来，不欠任何外部的账。

这套编号有个额外的甜头：「小于」不用另立规矩，就是「属于」。查 1 < 3：看 1 是不是 3 = {0, 1, 2} 的元素——是，成立。大小关系和成员关系合成了一件东西。

真正要紧的是下一步：有穷数这么排，无穷也能这么排。把全体有穷数收进一堆，按同一条规则它就是第一个无穷数，记作 ω：ω = {0, 1, 2, 3, …}。它的下一个是 ω + 1 = ω ∪ {ω}——无穷也能接着数了。

一根从有穷直通无穷的编号链，规则只有一条。地基的「梁」，换成这样的材质，裂缝就绕开了。

接着 p.3 那个别扭规则玩下去：同正，甲赢 2；同反，乙赢 1（即甲得 −1）；一正一反，乙赢 1（甲得 −1）。写成利益表——行归甲选，列归乙选，格子里是甲的所得：

　　　　乙正　乙反
甲正　　 2　　−1
甲反　　−1　　 1

先问最笨也最要紧的问题：只许出死牌，谁占上风？

甲的算法叫「最坏打算」：出「甲正」，最坏是遇到乙反，得 −1；出「甲反」，最坏是遇到乙正，得 −1。两条路的保证一样糟：甲至多保证 −1。

行最小值：甲正 min(2, −1) = −1　甲反 min(−1, 1) = −1

乙换一个方向算，他的「最坏」是甲拿得最多：乙出「正」，最坏甲得 2；乙出「反」，最坏甲得 1。乙至多能把甲压到 1。

列最大值：乙正 max(2, −1) = 2　乙反 max(−1, 1) = 1

于是出现一道缝：甲保证 −1，乙压到 1，两个数不相等。

甲的保证 −1　<　乙的封锁 1

缝的含义：若双方都出死牌，实际结果落在 −1 与 1 之间，具体落哪，取决于谁先犯错。一场严肃的对局，居然变成比谁不犯错——这说明死牌的框架太小，装不下答案。

缝有多宽，随机就有多要紧。下一页把随机放进框架里，这道缝会被一个分数填平。

放开手脚：甲可以按比例出。设出「甲正」的比例是 p，出「甲反」就是 1 − p。乙出什么，甲的平均所得就能算：

乙出正：2p + (−1)(1 − p) = 3p − 1
乙出反：−p + 1·(1 − p) = 1 − 2p

乙精明，专挑甲便宜的那条路打；甲的保证是两条里的较小者。要保证得最多，就让两条一样便宜——乙无从挑起：

3p − 1 = 1 − 2p　⟹　5p = 2　⟹　p = 2/5

甲该五分之二出正、五分之三出反。这时的保证是

3 × (2/5) − 1 = 6/5 − 1 = 1/5

乙同样可以随机：设乙出「正」的比例是 q，甲两种死牌的平均所得是 2q − (1 − q) = 3q − 1 与 −q + (1 − q) = 1 − 2q。令二者相等，解得 q = 2/5，乙的平均付出同样是 1/5。

两头对上了：甲能保证 1/5，乙能把甲压到 1/5。那道从 −1 到 1 的缝，被一个分数严丝合缝地填平：

−1　<　1/5　<　1　　（p = q = 2/5）

回头再看，「随机」不是掷骰子的仪式感，它是把两个最坏情形摊平的工具：只要比例对，对手猜牌猜得再准，也占不到便宜。这就是为什么扑克高手要诈唬，而且诈唬的比例是算出来的。

更值得注意的是方法：答案不在玄想里，在一张四格的表里。框架一换——从「出哪张牌」换成「以什么比例出牌」——咬死的两只手就松开了。

把上一页做成的事，写成一条定理：

max（行最小值）= min（列最大值）

任何规则对双方一致的二人零和对局，只要每方能选的策略有限，上式必成立，公共的值就是「对局的值」；达到它的混合策略对就是双方的稳妥出法。

这句话有两个方向的读法。

往小读：牌桌上有答案。只要愿意随机，谁也不必靠猜心思过日子；「值」就是这场对局的公平价格——值对谁有利，规则就偏向谁。

往大读：证明是构造性的。冯·诺依曼的论证把混合策略的空间看成一个凸的几何对象，再指出「甲的最差线」与「乙的最差线」中间夹着的那一点必然存在——凸集分离。这套几何话术，十年后长成了线性规划对偶性的雏形：1947 年他与丹齐格一次谈话，当场确认了这层等价。

定理的边界也要说清。它管两人零和：甲赢的等于乙输的，利益完全对立，答案才能是一个数。利益不完全对立时——做生意、谈军备、养孩子——「值」没有了，取而代之的是「对谁都没好处去单方面改动的安排」，那是另一套定理，p.48 再讲。

还有一条现实的讲究：混合策略要求真随机。人脑造假随机很容易被看穿，于是「用装置掷骰子」从笑话变成了正经的技术要求——这道要求，后来落在了机器头上。

第二幕到此收口：一张表、一个比例、一个值。冲突被驯服成计算——但计算得有人来做。1944 年那本书付印时，世上最快的电子计算机正在装配；两件事即将相遇。

框架先立起来：取一个空间，里面的向量是「状态」，方阵是「测量」，一个状态经一个测量得到的预言，是算出来的一个数。先从最小的空间玩起：只有两个状态的系统。

给这个二态系统配最简单的两个测量。先约定记法：方阵写作括号里的四格，数按行排、分号隔行。第一个测量叫「翻转」：

σ_x = ( 0　1 ; 1　0 )　——把状态 (1, 0) 变成 (0, 1)，把 (0, 1) 变成 (1, 0)

做两次翻转，回到原地。矩阵乘一遍：

σ_xσ_x = ( 0·0 + 1·1　　0·1 + 1·0 ; 1·0 + 0·1　　1·1 + 0·0 ) = ( 1　0 ; 0　1 )

即 σ_x² = I（单位矩阵）。测两次「翻转」，等于没测。

第二个测量叫「分正负」，作用是：状态 (1, 0) 给结果 +1，状态 (0, 1) 给结果 −1。写成矩阵：

σ_z = ( 1　0 ; 0　−1 )

它也自乘归一：σ_z² = I。两个测量各自都「翻两次等于没翻」——按日常直觉，两件事应该互不干扰。

但乘法次序不同，结果就不同。先「分正负」再「翻转」，与先「翻转」再「分正负」，得到的矩阵对不上——这不是抽象问题，下一页把两个乘积逐格算出来，看差出多少。

框架的好处此刻已现：关于测量的一切争论，先变成矩阵乘法。乘法不会吵架。

逐格算两个乘积。先算「先分正负、再翻转」，即 σ_xσ_z：

σ_xσ_z = ( 0·1 + 1·0　　0·0 + 1·(−1) ; 1·1 + 0·0　　1·0 + 0·(−1) ) = ( 0　−1 ; 1　0 )

再算「先翻转、再分正负」，即 σ_zσ_x：

σ_zσ_x = ( 1·0 + 0·1　　1·1 + 0·0 ; 0·0 + (−1)·1　　0·1 + (−1)·0 ) = ( 0　1 ; −1　0 )

两个乘积恰好互为相反数。求差：

σ_xσ_z − σ_zσ_x = ( 0　−2 ; 2　0 ) = −2 ( 0　1 ; −1　0 )

差不是零。这个「乘法次序差」叫交换子，它不为零，两个测量就不相容。

不相容的物理含义，用一个说法固定下来：两个测量若交换子为零，可以同时说准；交换子不为零，说准其一必然扰动其二——不确定关系的根源就在这组非零的差。海森堡 1927 年写下的那个不等式，落在这个框架里就是一句话：交换子的大小给不确定度定了下界。

框架在这里做了两件事。其一，把争论翻译成减法：上面三行矩阵，比一切「电子本性如何」的雄辩都短。其二，把猜想变成定理：冯·诺依曼证明了什么算子配当测量、什么空间配当状态，公理一列，越界的话自动非法。

顺带补一句 1932 年书里另一件大手笔：他把「测量之后发生什么」也写成一条公理——状态瞬间跳变。跳变是否「真实发生」，至今仍在讨论；但把它写进框架，计算从此不再依赖解释。

状态有了、测量有了，预言那个「数」怎么算？框架给出一个统一的算法：取迹。

迹最好懂：方阵对角线上的数加起来。先在自家矩阵上热身：

tr I = 1 + 1 = 2　　tr σ_x = 0 + 0 = 0　　tr σ_z = 1 + (−1) = 0

约定把迹除以维数，叫归一化迹：单位矩阵的归一化迹是 2/2 = 1，两个测量的归一化迹都是 0。

算法是这样用的：把系统的状态写成一半一半的混合——一半时间在 (1, 0)、一半时间在 (0, 1)。这个混合状态的归一化迹期望为：对「分正负」测量，(1/2)(+1) + (1/2)(−1) = 0。

换个状态再试：若系统确定处于 (1, 0)，「分正负」的期望是 1·(+1) = +1。状态不同，同一测量给出不同的数——而数的算法始终一样：状态的配比，乘上测量的取值，加起来。

这些例子手工可算，但别被小例子骗了。真正的量子力学要用到无穷维的空间，测量算子甚至没有有限的矩阵；冯·诺依曼把「迹」推广到无穷维，把「谱」推广到连续谱，1932 年那本书的后半本干的全是这个。

而 1930 年代中段，他走得更远：与其个别的空间，不如研究「所有测量组成的代数」——把测量之间的乘、加、取共轭看成一个整体结构，给它分类。这套结构后来叫冯·诺依曼代数；其中最玄的一类（第二类因子）里，居然存在「连续的维数」：一块测量可以切成两半，每一半又可再切，切出来都不多不少是原来的一半——维数不再是整数。

一句话收口：他给了量子力学一台「期望值机器」——状态进去，数字出来，中间不需要任何想象。

先把旧机器的苦处算一遍。ENIAC 换一道题要几天，一年做不了几道题。乘法每秒几百次，「配题」却以天为单位——两边的速度差了约一亿倍。

病根在哪？「题目」住在机器外面：插在板上是接线，扳在开关上是位置。机器本身只会按接线行事。

101 号报告的改革，从给存储器编号开始：存储器是一排格子，每格一个编号：0、1、2、3……；每格里住着一个数。

第二步是那句话的完整版：指令也是数。一条指令拆成两段：前段记「做什么」（取、存、加、减、转移……），后段记「对哪个编号的格子做」。两段各是几个比特，合起来就是一个数——指令与数据在机器眼里毫无分别，都是格子里的一串数。

第三步是把两者混住：程序本身放进存储器，和数据用同一套编号。于是「换一道题」从拔线几天，变成往格子里写几个数——以秒计。

插线板时代：程序＝机器外部的接线；速度以「天」计
存储程序：程序＝存储器里的数；写入以「秒」计

还有一层当时无人料到的红利：既然指令是数，机器就能读它、算它、改它——程序可以作用于程序自己。编译器、操作系统、一切「用软件造软件」的行业，种子全在这一步。

下一页把这套安排走到具体：编一个小程序，一格一格看着机器把它跑完。

编一个小程序：算 17 + 25，结果存起来。

安排存储器。用 20、21、22 三格放数据，用 0、1、2 三格放程序：

格子 20：17　　格子 21：25　　格子 22：（空）
格子 0：取 20　格子 1：加 21　格子 2：存 22

机器从头执行，走三步。

第一步，「取 20」：控制单元从 0 号格读出指令，译出「取」，再去 20 号格把 17 送进运算器。第二步，「加 21」：从 1 号格读指令，译出「加」，把 21 号格的 25 送进运算器，与已有的 17 相加，得 42。第三步，「存 22」：把 42 写进 22 号格。走完：

格子 22：42　（17 + 25 = 42）

现在体会一下「程序是数」的分量。把 21 号格的 25 改成 100，别的什么都不动——同一份程序算出 117；把 20 号格改成 41、21 号格改成 1，算出 42 的还是同一份程序。程序纹丝不动，功能随数据而变。

再进一步：把 2 号格的「存 22」改成「存 22 的格子号放到 1 号格」之类，程序还可以改写程序——这正是「指令也是数」的题中之义。

三步循环的名字要记下：取指、译码、执行。一切存储程序计算机的一生，都是这三步的循环；循环每次拉长到几亿分之一秒，就是今天口袋里的机器。

101 号报告把机器拆成五个部件：运算器（做算术）、控制器（读指令、发号令）、存储器（住着数据与程序）、输入、输出。五个部件加一个循环——取指、译码、执行——就是全部。

这个划分妙在哪？妙在它把「会算」与「会调度」分开：运算器只管加减乘除，一事不知；调度全在控制器，而控制器的全部智慧来自存储器里的数。机器的「聪明」被整体搬进了可读写的格子。

补一块拼图：转移指令。「转移到 5 号格」意思是：下一步不接着读 3 号格，跳去把 5 号格当指令。有了它，程序能自己绕圈——「把 1000 个数各加一遍」不必写一千条指令，两条指令加一个判断就能循环。

把循环数一遍：程序三行，循环一千次，机器执行三千步。程序长度不随数据量涨——这是存储程序机器与一切旧式机器的分水岭。

1946 年起，冯·诺依曼与戈德斯坦、伯克斯在普林斯顿高等研究院造自己的机器，1952 年建成。它是当时最快的机器之一，更重要的是：它的图纸广为散发，全世界的实验室照着造——后世把「运算、控制、存储、输入、输出」这个五件套直接叫「冯·诺依曼结构」。

70 年过去，器件换了六代：电子管、晶体管、集成电路、芯片、多核、云端；五件套的骨架没换。一部机器史，几乎全是往这套框架里填东西的历史。

元胞自动机的框架，小得不能再小：一行格子，每格两种状态（亮或暗）；每一步，每格的新状态由自己和左右邻居的旧状态决定，规则写死，处处相同。

取一条具体的规则试：新格 = 左邻 + 右邻（按二加二归零算）。也就是说：左右恰有一个亮的，下步就亮；左右全亮或全暗，下步就暗。这条规则在八种邻情编码里排第 90 号，通称 90 号规则。

起点：只有正中一格亮，其余全暗。手算前几步：

第 0 步　　　　　1
第 1 步　　　　1　　1
第 2 步　　　1　　　0　　　1
第 3 步　1　　1　　　1　　　1

逐格复核一步：第 1 步中央亮格的左邻与右邻各暗一亮，故两侧新格变亮；中央亮格左右全亮，故中央自己变暗——于是 1 变 1　1。

第 2 步再验一处：第 1 步左亮格的左邻是暗，右邻是亮，一暗一亮，故再往左一格变亮；而两个亮格相邻处的左亮格，左邻暗、右邻亮，也变亮——但两亮格正中那一格，左右全亮，变暗。花纹从 1　1 长成 1　0　1。

第四步起图案忽然变稀——这正是「杨辉三角按二除取余」的花纹：第 2 步两侧对称的 1、第 3 步全 1、第 4 步只剩两角（四选一与四选三都是偶数）。一条三邻居的规则，四步织出一条算术定理。

框架的哲学全在这幅图里：局部、齐一、无中央指挥；复杂的花纹不是谁画上去的，是规则自身长出来的。

把自复制拆成逻辑题。设有一台「万能构造器」：给它一份描述，它照着描述造出一台机器。

第一直觉：自复制很简单——把构造器和它自己的描述放一起，构造器读描述，造出下一台，完成。

细想不对。造出来的那台有身体（构造器）没描述；它不再会复制。描述必须被造出来，并且附在新的身体上。

再想一层，真正的坑出现了：如果构造器既要照描述造身体、又要自己把描述抄一份，抄的活儿就得在构造器里再写一遍——描述的描述、描述的描述的描述，无穷倒退。

冯·诺依曼的解法是加一个不起眼的部件：一台「抄写员」，它不看内容，只管原样誊抄——给它什么，它照抄什么。整套装置分三步：

一、构造器 A 读描述 D，造出身体 A + B + C（不含 D）
二、抄写员 B 把 D 原样誊一份
三、控制 C 把誊出的 D 附到新身体上——得到 A + B + C + D，与原装置分毫不差

坑被填平的方式值得停下来看：抄写员根本不理解自己在抄什么。理解交给 A，誊抄交给 B，打包交给 C——三件事分给三个部件，无穷倒退就断了。

1948 年他只讲到逻辑；1953 年，生物学家发现了遗传物质的 DNA 双螺旋：一半解开当模板、照着合成新链、描述与身体一同复制——与三步逻辑逐一对应。他事先不知道生物学的答案，是框架替他想到的。

逻辑想通之后，他要一个实打实的模型：真的在一排排格子上，让复制发生。

选材颇费周折。格子不能太笨：状态太少，连「存储一位描述」都费劲；也不必太聪明：他最终定在每格二十九个状态——传输、相变、可激发三类，配上具体的激发规则。

整个装置摆在一张大的格网上：构造器是一大片格子，描述是一条状态串；机器运行，格网上一片区域逐列搭出复制件的骨架，抄写员沿描述逐格誊抄，最后一并封口。复制件与原件并排躺在格网上，描述各自带全。

但这份手稿真正的大问题是另一道题：什么时候复制不可能？

想一个极端例子：一条规则「每格每步清零」。从任何起点出发，一步之后全是暗格——这样的格网里，什么花纹都长不出来，复制无从谈起。规则太简单，简单到「构造」这个动作本身装不下。

反过来，90 号规则（p.35）能织出花纹，却织不出「照描述造机器」的机关——它长得了图案，长不了图案的工程师。

于是有那条著名的门槛：规则的复杂度太低，机器造不出比自己更复杂的东西；越过门槛之后，才谈得上复制、才谈得上复制中的变异与进化。「复杂度能自发升高」不是默认的，是框架里的稀罕事——这道门槛是他留给后世问题清单里最重的一条。