阿廷 · 结构之织

先做一件最笨的事。取一个素数，比如 5。把 1 到 4 各自平方，再除以 5 取余：1 的平方余 1，2 的平方是 4 余 4，3 的平方是 9 余 4，4 的平方是 16 余 1。落到的位置只有两个：1 与 4。剩下两个位置 2 与 3，任何数的平方都落不到。

换一个素数再算一遍。模 7：平方依次是 1、4、2、2、4、1——落得到的是 1、2、4；落不到的是 3、5、6。模 11：平方依次是 1、4、9、5、3、3、5、9、4、1——落得到 1、3、4、5、9；落不到 2、6、7、8、10。模 13：落得到 1、3、4、9、10、12；落不到 2、5、6、7、8、11。

四张表里已经有两条铁律。第一条，落得到的恰好一半：(5−1)/2＝2 个、(7−1)/2＝3 个、(11−1)/2＝5 个、(13−1)/2＝6 个，一个不多一个不少。第二条，平方表左右对称：模 13 时 1 与 12 的平方都是 1，2 与 11 的平方都是 4——因为 x 与 13−x 平方之后同余。所以真正要算的只有前一半。

落得到的数，术语叫「平方剩余」；落不到的，叫「非剩余」。四个素数四张表，落点看不出半点规律：模 5 时 2 落不到，模 7 时 2 落得到，模 11 时 2 又落不到，模 13 时 2 还是落不到。要断定一个数在某个素数下是否剩余，除了硬算，似乎没有捷径。

下一页，把两张表对着看：一个素数在「另一个素数下的身份」，与反向的身份有什么关系。

给「身份」配一个记号。若 a 在模 p 下是平方剩余，记作（a│p）＝＋1；若是非剩余，记作（a│p）＝−1。这个记号读作「a 对 p 的符号」。于是每个素数对另一个素数，都有一个身份的符号——一张两两相问的表。

拿四个实例把表算出来。（3│7）：模 7 的剩余是 1、2、4，3 不在内，故为 −1；（7│3）：7 除以 3 余 1，1 永远是剩余，故为 ＋1。两个答案相反。（5│7）：5 不在 1、2、4 内，−1；（7│5）：7 除以 5 余 2，2 不在 1、4 内，−1。两个答案相同。

再算两组。（11│13）：模 13 的剩余是 1、3、4、9、10、12，11 不在内，−1；（13│11）：13 除以 11 余 2，模 11 的剩余是 1、3、4、5、9，2 不在内，−1。同为 −1。（3│11）：3 在 1、3、4、5、9 内，＋1；（11│3）：11 除以 3 余 2，模 3 的剩余只有 1，故 −1。一正一负。

四个实例摆齐，换算的规矩自己浮出来。看两个素数各自除以 4 的余数：3 与 7 都余 3，两个答案相反；11 与 13 一余 3 一余 1，两个答案相同；5 与 7 一余 1 一余 3，答案相同；3 与 11 都余 3，答案相反。一句话：两个素数都形如「四的倍数加三」时，符号翻个个儿；只要有一个形如「四的倍数加一」，符号照抄。

这条换算就是二次互反律。它的分量在于「互相」两个字：一个素数在另一个素数下的身份，本该各算各的，可两个身份之间竟有一条只取决于「除以四余几」的换算。这一层对称，正是阿廷日后要往「任意次方」上推的东西。

学术上的第一跳在 1921 年。他的博士论文做的不是数域，是「函数域」：把整数的算术换成「以多项式为整数」的算术，系数的加乘在有限域里做。他在这个新场子里算出了一条 ζ 函数，并证明了它满足一条漂亮的对称——这一步，把数论里的素数计数，原样搬到了函数的世界。

第二跳在哥廷根。1923 年，他到这里做私俸讲师（不领薪、靠听课费过活的位置）。此地的数学正被两个人搅得热闹：一位诺特，把代数从「算」改造成「结构」；一位哈塞，正在给类域论补地基。阿廷在这里学到了他一生最要紧的一课：同一个结构，可以在完全不同的对象上重复出现。

第三跳在汉堡。1925 年他发表〈辫子论〉，把编辫子写成了群；1926 年，二十八岁的他受聘汉堡大学正教授。汉堡的数论与分析原本由赫克撑着，阿廷一到，这里成了德语世界最活跃的数学据点之一。他在这里住了十一年，直到 1937 年被迫离开。

三跳之间有一条主线。莱比锡给他「为什么」的执拗，哥廷根给他「结构」的眼光，汉堡给他「织」的场地。三样凑齐，才接得住 1927 年那道大题——把只对平方成立的互反律，推到任意次方上去。

下一页，暗线第一笔：一根线不成布。

平方做完了，换成立方。取模 7，把 1 到 6 各自立方再取余：1 的立方余 1，2 的立方是 8 余 1，3 的立方是 27 余 6，4 的立方是 64 余 1，5 的立方是 125 余 6，6 的立方是 216 余 6。落到的位置只剩两个：1 与 6。六个非零余数，被立方压成了两个——身份不再是「两分」，而是「三合一」。

换两个素数再看。模 13：立方落点为 1、5、8、12，共四个；模 19：落点为 1、7、8、11、12、18，共六个。规律很清楚：只要 p 除以 3 余 1，模 p 的立方剩余就恰好 (p−1)/3 个——7 时两个、13 时四个、19 时六个。原因是乘法群循环，立方映射把阶数除以三。

于是「身份」得重新记账。平方时只有剩余与非剩余两种，符号取正负一；立方时有三种身份，符号得取三次单位根：1、ω、ω²，其中 ω 是一个立方为 1 的复数。四次就取四次单位根。次方越高，符号住的「地方」越大——这一层观察，是通往一般互反律的第一道门。

三次互反律也有它自己的样子。取两个都除以 3 余 1 的素数，比如 7 与 13。7 在模 13 下是不是立方剩余：13 的立方落点是 1、5、8、12，7 不在内，故不是。13 在模 7 下是不是：13 除以 7 余 6，而 6 正在落点 1、6 之内，故是。一问一答，一否一是——三次也有互反，可这层换算的修正项比平方时复杂得多，手算已难看出规矩。

下一页，去看阿廷找到的那把钥匙：每个素数对应的那个元素。

钥匙是这个：一个素数 p，不只带一个余数，还带群里的一个动作。

拿最小的例子演一遍。取五次单位根 ζ，它满足 ζ⁵＝1；把 ζ 添进有理数，得到一个五次分圆域。这个域的伽罗瓦群有四个元素，全由「把 ζ 换成 ζ 的几次方」得到：换成 ζ 本身（不动）、换成 ζ²、换成 ζ³、换成 ζ⁴。记「换成 ζ 的 k 次方」为 σ^k，这个群就是以 σ 为生成元的四阶循环群。

现在让素数登场。对一个不等于 5 的素数 p，有一个天然的动作：把 ζ 换成 ζ^p。这个动作只由 p 除以 5 的余数决定——余 1 就是不动，余 2 就是 σ，余 4 就是 σ²，余 3 就是 σ³。这就是弗罗贝尼乌斯元素：每个素数，都在群里占一个位置。

表排出来，规矩一目了然。2 余 2 占 σ，3 余 3 占 σ³，7 余 2 占 σ，11 余 1 不动，13 余 3 占 σ³，17 余 2 占 σ，19 余 4 占 σ²，23 余 3 占 σ³，29 余 4 占 σ²，31、41、61 都余 1，皆不动。同一个余数，永远占同一个位置——不管这个素数是十七还是六十一。

互反律就在这张表里。「p 在模 5 下是不是平方剩余」，等价于问「p 除以 5 余 1 或 4 吗」，等价于问「σ_p 落在平方子群里吗」——因为 σ 的零次与二次恰是群里那两个平方。三个问法，一件事：算术里的剩余问题，成了群里的位置问题。

阿廷的定理把这层对应推到最一般。任意交换扩张，任意素理想，都对应群里的一个元素；这个对应是满射，且乘法保持——于是「互反」不是巧合，是群的乘法在算术里的影子。这就是它叫互反的道理：两边互相回话，回得严丝合缝。

阿廷的证明走的不是一条直路。他把问题先拆成「局部」：不看整个有理数，只看一个素数附近的算术。这门眼光由亨泽尔开创，办法是给每个素数 p 配一套 p 进度量——两个数相差能被 p 的高次幂整除，就算「很近」。补上这套度量，有理数长成一个新数系，记作 Q_p。

好处是「解可以一位位抬」。举个实例：问 −1 在 5 附近能不能开平方。先模 5 试：2 的平方是 4，正好余 −1，第一步有了。再抬到模 25：设答案是 2 加 5 的倍数，代入一算，倍数取 1，得 7；而 7 的平方是 49，除以 25 余 24，正是 −1。再抬到模 125：设答案 7 加 25 的倍数，一算倍数取 2，得 57；57 的平方是 3249，除以 125 余 124，还是 −1。

于是 2、7、57 一路抬上去，抬到无穷，就是一个真正的 5 进数，平方恰为 −1。这条「抬」的手艺叫亨泽尔引理：模 p 有一个解，只要导数不为零，就能一位一位抬成 p 进解。换成 3 就不行：模 3 时平方只落 1，−1 即 2 落不到，第一级就断了。所以在 3 附近，−1 不是平方。

局部算清，还要拼回整体。一个数系在每个素数处都有一套算术，还加上实数那一个「无穷处」；这些局部答案由一个乘积公式串着：一个非零有理数，它在所有局部的大小乘起来恰好等于 1。哈塞的功劳是把这条串法变成了判据——局部处处通得过，整体才通得过。

阿廷的互反律，正是这套眼光结的果。先在局部把互反律证出来（哈塞 1926—1930 年间完成），再用乘积公式拼成整体。一块布分经纬织，织完再拼——这是他一生最顺手的手法。

整副家当只有两样。其一，生成元：把第 i 根线与第 i＋1 根线交叉一次（前者压后者），记作 σ_i。三根线有两个这样的动作：σ₁ 管第一与第二根，σ₂ 管第二与第三根；n 根线就有 n−1 个。其二，两条关系。

第一条关系管「离得远的交叉可以随意换」。σ₁ 与 σ₃ 在四根线里各管一处，互不挨着，谁先谁后都不影响结果；一般地，只要两个下标相差两个以上，两个生成元就交换。这条关系不新鲜，几何上一看就懂。

第二条关系管「挨着的交叉不能随意换」。三根线里，σ₁σ₂σ₁ 与 σ₂σ₁σ₂ 竟是同一副辫子。这个等式初看别扭，动手就服了：拿三根线编号一二三，把每个动作看成一次位置互换，逐格记下每步之后三个位置上站的是谁。

逐格记账，两串字走到同一处。σ₁σ₂σ₁ 一路走下来：一二三、二一三、二三一、三二一。σ₂σ₁σ₂ 一路走下来：一二三、一三二、三一二、三二一。终点都是三二一，三根线整整齐齐地上下颠倒了一次——两串字，一副辫子。

可别以为次序可以随便换。只走两步就看出差别：先 σ₁ 后 σ₂，终点是二三一，最左边站的是第二根线；先 σ₂ 后 σ₁，终点是三一二，最左边站的是第三根线。两副辫子不同，故 σ₁σ₂ 与 σ₂σ₁ 不相等——三根线以上，辫子群不交换。

两条关系，一副定义。辫子群就这么写：n−1 个生成元，加上「远者交换、近者三步换位」两条关系。整个理论的分量全在这两行里——用它们做改写，就能判定两串字是不是同一副辫子。

三股辫值得单独看，它是全部辫子里最小的一块试金石。它只有两个生成元 σ₁、σ₂，一条关系 σ₁σ₂σ₁＝σ₂σ₁σ₂。就凭这两样，能得到一个出乎意料的结论：三股辫群可以用两个元素 x、y 重写，只带一条关系 x²＝y³。

重写的办法是换一对生成元。取 y＝σ₁σ₂，x＝σ₁σ₂σ₁。用上页那两条关系一代，x² 与 y³ 恰好相等，都是「三根线各拧一圈」的那个动作；反过来，两个生成元也能由 x、y 拼出。于是整个群被压成一行：两个字母，一条等式。

这一行等式解释了两件事。第一件，σ₁σ₂ 的阶是无穷：它等于 y，而 y 的幂永不为 1——把它映到模群里就看得见，它在那边做一次抛物变换，反复做只会越走越远，回不到起点。第二件，这个群的中心由 (σ₁σ₂)³ 生成：它把三根线整体拧一圈，位置上原样归位，辫子却变了。

中心的这层性质，正是「影子记不住辫子」的明证。把 (σ₁σ₂)³ 按位置追踪一遍：一二三、二三一、三一二、一二三——三步走回原位，影子与「什么都没做」一模一样。可它作为辫子并不等于空辫子：三根线各绕了一圈，谁也解不开。所以判定辫子，不能只看位置，必须看字。

还有一层意外的遇合，留到下一页。这条「x²＝y³」的等式，与一根打了三个交叉的绳圈的「绳圈群」长得一模一样——三股辫与三叶结，是同一个结构的两副面孔。

辫子的上下两端是散着的。把上端与下端一一接上，散线成了闭环——术语叫闭辫。这个动作极小，收成极大：闭辫就是链环，而链环是纽结理论的整个对象。三根线接成三个环，两根线接成两个环，一根线接成一个圈——一个线头也不许留。

拿两股辫做三个实验，结果一目了然。σ₁ 只交叉一次，接上首尾，得到一个普通的圈——平凡结，一拉就开。σ₁² 交叉两次，接上首尾，得到两个相扣的圈，扣一处——这叫霍普夫链环。σ₁³ 交叉三次，接上首尾，得到一个单圈的结：三个交叉，拉不开，是三叶结。

三个实验里藏着一个定理。亚历山大 1923 年证明：每一个链环，都是某个辫子的闭合。反过来也成立：每个闭辫都是链环。于是两门看起来各干各的学问——编辫子与打结——被一条通道接上：辫子的字，就是链环的账。

这条通道有个代价。不同的辫子可能闭合成同一个链环：多接一个多余的动作（术语叫稳定化），链环不变而辫子变了。1935 年马尔可夫把这层松紧说清：两副辫子闭合成同一个链环，当且仅当能靠共轭与稳定化两步互相变到。判定辫子与判定链环，差的就是这两步。

阿廷 1925 年那篇短论文，给的正是这套语言的地基。他没有解什么猜想，他给了一副能算的记号；此后一百年，纽结的分类、链环的不变量、量子拓扑里的辫，都在用这副记号。织机的比喻到这里成了字面意思：辫子是经，闭合是纬，一交，成环。

伽罗瓦的那层对应，用最小的例子讲最清楚。取两个根号一起添进去：把 √2 与 √3 都放进有理数，得到一个四次的域，记作 Q(√2,√3)。它的元素形如 a＋b√2＋c√3＋d√6，其中 a、b、c、d 是有理数——四项系数，故次数为四。

这个域的对称有四个。可以只把 √2 换成 −√2（不动 √3）；可以只把 √3 换成 −√3；可以两个都换；也可以都不换。四个动作，四个元素，凑成一个群。关键在于：每个动作都把整个域送回自己，且保持加减乘除——这就是伽罗瓦群。

现在把两边的清单并排列出来。群这一边，四个元素的群，它的子群有五个：整个群一个、只含单位一个，另加三个「两个元素的子群」。域这一边，介于有理数与 Q(√2,√3) 之间的域也是五个：先看三个能单独造出来的，Q(√2)、Q(√3)、Q(√6)；加上两头，共五个。

五对五，逐格对得上，而且对得极准。只换 √2 的那个动作（与单位组成一个子群），不动的元素恰好是 Q(√3) 那一层——因为 √3 没被碰。只换 √3 的，不动的是 Q(√2)。两个都换的，不动的是 Q(√6)：√2 变号、√3 变号，乘积 √6 两次变号，纹丝不动。子群越大，不动的域越小；子群越小，不动的域越大。

这就是伽罗瓦对应，一句话说完：中间域与子群一一对应，且反向——域越大，群越小。这条对应把「解方程」换成了「算群」：方程能不能用根式解，成了它的群能不能一层层拆成循环的块。五次以上一般不能，原因在群，不在方程。

阿廷的讲法，比这条对应还要干净一层。他不从方程讲起，直接从域与自同构讲起：先有域，再有它自己的对称群，对应是自然掉出来的，不必绕道方程。这一改，伽罗瓦理论从一门「解方程的技巧」，变成了一门「读结构的语法」。

第十七问题问的是一件很朴素的事。一个多项式，若在一切实数值上都取非负值，它能不能写成若干个平方之和。一元的答案早在十九世纪就有：可以。两元、三元、任意多元，十九世纪的人只能猜，猜了一百年。

先看一个具体的多项式，摸清难处在哪。取 x⁴y²＋x²y⁴＋1−3x²y²。它处处非负，理由是三项的几何平均：三个非负数 x⁴y²、x²y⁴、1 的乘积开三次方恰好是 x²y²，故三者之和不少于三倍的这个量。代进几组数试试：取 x＝y＝1 得 0；取 x＝2、y＝1 得 9；取 x＝0.5、y＝2 得 2.25。

这个多项式有个怪处。它处处非负，却写不成若干多项式的平方和——这一点要到 1967 年才被莫茨金明确指出。所以「非负」与「平方和」之间，隔着一道真实的缝。第十七问题若要有答案，答案必须跨过这道缝。

阿廷 1927 年给出的答案，跨法是把分母放开。他证明：一个处处非负的多项式，一定能写成若干个有理函数的平方和——分子分母都是多项式，平方的是整团分式。这一放，缝就补上了：多项式不够用，分式够用。一个悬了二十七年的问题，答案是「可以，但要允许除法」。

证明的路子，是绕到「序」上去。他先证一件看似无关的事：若一个多项式不能写成平方和，就能造出一个「序」，在这个序下它是负的——于是「处处非负」被推翻。反过来，处处非负就意味着在任何序下都不负，于是必是平方和。一个代数问题，被翻译成了一个关于「能不能排序」的问题。

「排序」这件事，在数系里不是天经地义。有理数能比大小，实数也能；可复数不能——i 与 0 无法定大小：无论怎么规定，都会撞上「平方非负」这条底线，i 的平方是 −1，若 i 为正则 −1 为正，若 i 为负则 −1 也为正，两头都堵死。所以复数域根本没有「大小」这回事。

阿廷与施赖尔 1932 年给出一条判据。一个域能排序，当且仅当它「形式实」：−1 不能写成若干平方之和。这一条判据把「排序」这件看似主观的事，变成了一个纯代数的检验——只需看 −1 能不能被平方和凑出来。有理数形式实（平方和非负，凑不出 −1），实数形式实，复数不形式实（i 的平方就是 −1）。

再往前走一步，是「实闭域」。形式实，且再添任何代数元素都会破坏形式实——这样的域叫实闭。实数域是实闭的典型：添进 i，立刻不形式实。实闭域有一个极好的性质：每个奇次多项式在里面必有根，每个正元素在里面必有平方根。它几乎就是实数，只是不带「完备」这一层拓扑要求。

这套语言，正好是第十七问题的钥匙。「处处非负」在代数的说法里是「在任何序下都不为负」；「写不成平方和」在代数的说法里是「存在一个序使它为负」。两个说法一碰，命题就成立了。一个关于多项式的问题，答案住在一个关于域的排序的理论里。

这套语言还有一层更广的用场。实闭域的理论可以被公理化，而公理化的实闭域理论有一套可判定的算法（塔斯基 1948 年给出）——初等代数里的一切命题，原则上都能机械判定。阿廷 1932 年那篇短文立的是地基，二十年后长成了一门学科。

先弄清什么叫「原根」。取一个素数 p，看 2 的幂：2、4、8、16、32……各除以 p 取余。若这些余数能滚遍 1 到 p−1 的每一个位置，2 就叫模 p 的原根。模 11 试一遍：2、4、8、5、10、9、7、3、6、1——十个余数一个不落，故 2 是模 11 的原根。模 7 就短：2、4、1，只有三个，故不是。

阿廷 1927 年提了个猜想，问得极大胆。任取一个不是平方数、也不是 −1 的整数，让素数一个个排队过来，看其中「它是原根」的那些占多大比例。他的答案：这个比例是一个固定的常数，与整数几乎无关——约等于 0.374。一个纯算术的问题，答案是一个概率。

这个常数的算法，是一串乘出来的数。对每个素数 q，乘一个因子 1−1/(q(q−1))。拿前几个素数试：q＝2 时乘 1/2，得 0.500000；再乘 5/6，得 0.416667；再乘 19/20，得 0.395833；再乘 41/42，得 0.386409。四个素数就落到 0.386，离 0.374 已经不远。

乘下去会越贴越近，只是贴得慢。乘到 97，得 0.374640，与真值 0.373956 相差不过万分之七，相对误差 0.18%。慢的理由很简单：因子 1−1/(q(q−1)) 在 q 大时几乎等于 1，每乘一个只挪一点点；要乘过成千上万个素数，才把最后那一小截补齐。这条「越乘越贴、贴得极慢」的曲线，是数论里最常见的脾气。

猜想的检验，只能靠数。取 2 作检验对象：一百以内的素数二十五个，2 是原根的有十二个，占 0.4800；一千以内一百六十八个，中六十七个，占 0.3988；一万以内一千二百二十九个，中四百七十个，占 0.3824。样本越大，比例越往 0.374 靠，只是靠得慢——与那条乘积曲线一样的脾气。

这个猜想至今未无条件证明。1967 年胡利在广义黎曼猜想成立的前提下证明了它；无条件的证明仍悬着。阿廷一生提了不止一个猜想，这一条最像他的性情：问得极简，答得极深，中间隔着一百年也未必填得满的距离。

阿廷留下的第三样东西，是一族函数。1923 年前后，他给每个伽罗瓦扩张、每个表示配了一个函数，记作 L(s,ρ)：把它按素数拆成乘积，每个素数配一个因子，因子的样子由「这个素数在群里占哪个位置」决定。表示越复杂，因子越复杂；表示若取最平凡的那个，整族函数就退化成这个域自己的 ζ 函数。

拿一个能算的例子看它怎么拆。取 Q(i)——把虚数单位添进有理数。它的 ζ 函数能拆成两件：一件是普通的 ζ，一件是按「除以四余几」正负交替的级数：1−1/3²+1/5²−1/7²+…。前者在 2 处的值是 1.644934，后者是 0.915966，两者相乘 1.506703——这就是 Q(i) 的 ζ 在 2 处的值。

拆得开，说明两件事。第一，一个域的算术（哪些素数怎么分解）被一族更简单的函数管着；第二，反过来，把这族函数吃透，就能读出域的算术。阿廷 L 函数把「互反律」从一条等式，升级成了一套字典：群里的表示，对应算术里的分布。

他留下一个猜想：这族函数都是「整」的。意思是它们在整张复平面上都规规矩矩，只有极少的例外点。平凡表示的情形早由类域论解决；一般的表示，至今只解决了低维的情形。这个猜想的分量，与黎曼猜想同量级——它们管的是同一件事：素数的分布有多规矩。

1967 年之后，这条路被人接到了更远的地方。朗兰兹提出一个庞大的对应：伽罗瓦群的表示，与另一类叫自守表示的对象，应该一一对应。阿廷的互反律，在这个框架里成了最基础的一格；阿廷 L 函数，成了这套字典里的第一批词条。一个 1927 年的定理，五十年后仍在新纲领的最底层撑着。

辫子群那篇短论文，身后长出的东西最多。第一步是表示：把辫子群里的元素，换成矩阵或置换，让别人能算。1936 年，阿廷的学生比劳给出第一个有名的表示——把 n 股辫换成 n×n 的矩阵。这一步当时只为算方便，日后成了整门学问的入口。

第二步在不变量上。1984 年，琼斯从一个特殊的代数结构里造出一个多项式，能区分许多原先分不开的结；而这个多项式恰好能从辫子群的表示算出来。亚历山大当年那条「辫子闭合得链环」的通道，这时成了计算的通道：先用辫子记链环，再用表示算辫子，最后得到结的不变量。

第三步跨出了数学。物理学里有一类准粒子，互换个位置之后状态会变，再换回来却不回原样——这叫任意子。它们的「互换」正好按辫子的规矩走：两次互换不等于没换，正是 σ₁σ₂ 与 σ₂σ₁ 不相等那件事。于是有人提出用量子拓扑来算：把信息编在辫子里，靠编辫子做运算，天然抗干扰。

还有一条更近的路。1990 年代之后，有人反过来用辫子群做密码：把「辫子的字」当密钥，把「判定两副辫子是否同一副」当难题。这条路后来被证明不太安全（有些情形可以快速破解），但它说明一件事：阿廷 1925 年给的那副记号，七十年后仍被人当作可以装卸零件的工具箱。

三条路的共同点，还在那副织法上。他当年做的不是解一道题，是造一副能反复用的记号。记号造对了，后人拿它做什么，造的人管不着，也不必管。这是「结构」这一行手艺最实在的红利：一次织成，处处能裁。