洛芙莱斯 · 织代数图案

先算一个最简单的例子。把整数的立方列出来：零、一、八、二十七、六十四、一百二十五、二百一十六、三百四十三。这是 n 从零到七的 n³。

在下面一行写相邻两项的差。一减零得一，八减一得七，二十七减八得十九，六十四减二十七得三十七，一百二十五减六十四得六十一，二百一十六减一百二十五得九十一，三百四十三减二百一十六得一百二十七。

再在下面一行写这一行的差。七减一得六，十九减七得十二，三十七减十九得十八，六十一减三十七得二十四，九十一减六十一得三十，一百二十七减九十一得三十六。

第三行。十二减六得六，十八减十二得六，二十四减十八得六，三十减二十四得六，三十六减三十得六。五个六，一模一样。

这个「一模一样」就是机器能算数的全部秘密。三次多项式，减三次就变成常数。既然第三行不变，那么只要知道某一列上的一个数，就能一路加出下一项：第三行永远是六；第二行的下一项等于本项加六；第一行的下一项等于本项加第二行的新值；原数列的下一项等于本项加第一行的新值。

拿 n＝三这一列试一遍。原数列取 27；第一行取 19；第二行取 12；第三行取 6。算下一项：第二行变成 12＋6＝18；第一行变成 19＋18＝37；原数列变成 27＋37＝64。六十四正是四的立方。

再算一步。第二行 18＋6＝24；第一行 37＋24＝61；原数列 64＋61＝125。一百二十五正是五的立方。整台机器只做了三次加法，一次乘法也没有。

「减三次就变成常数」不是巧合，可以算出来。设数列由一个 k 次多项式给出，f(n)＝a_kn^k＋…＋a₀。取相邻两项之差，用二项式展开：n^k 的差是 (n＋1)^k−n^k，最高次项 n^k 相互抵消，只剩 k−1 次。于是每取一次差，次数就降一。

降到零次之后就不再变。降到零次时是一个常数；常数的差是零，可那时常数已经取到，不必再往下取。所以 k 次多项式，k 阶差分是常数，k＋1 阶差分全是零。

那个常数是多少，也能算。最高次项 a_kn^k 取 k 次差分，得到 k!·a_k；低次项取 k 次差分全变成零。对 n³，k＝3，a＝1，常数就是 3!＝6，与上一页数出来的五个六对得上。

这条性质给了一个算法。要算一个 k 次多项式的值，只需在机器里存 k＋1 个数：某一列的原值，以及各阶差分在该列上的值。此后每输出一项，做 k 次加法。对三次多项式，四个寄存器，三次加法，仅此而已。

加法为什么可靠，也值得说一句。齿轮的进位是纯机械的：齿一转一格，到了十就把下一轮推一格。它不会疲劳，不会算错，也不会因为算了三个小时而心烦。人算数出错，多半不在算，在抄与校对；机器把抄与校这两件事一并取消了。

于是差分机的设计目标可以写成一句话。找一批「能由多项式逼近」的数表，把它们的差分常数算好，装进机器，然后摇柄。平方表、立方表、对数表、三角函数表都属这一类——只要把区间切得够细，每段都能用多项式贴住。

但它有一条硬边界。机器存的是常数，输出的是加法链。它不能自己判断「这一段该用哪组常数」，也不能在算到某处时改变方法。这些决定要人在装机器之前全部做完，做错一处，整台机器就整批地错下去。

哪些表能摇出来，哪些不能，界线很清楚。能摇的是「在一个区间上被多项式贴住」的函数。多项式次数越高，贴得越紧，需要的寄存器越多。差分机的规格就是这样定的：六阶差分、二十位数字，意味着它能贴住六次多项式，误差控制在最后几位。

拿平方表试一遍最小的一种。n² 的差是 2n＋1，二阶差是常数 2。机器只需存三个数：原值、一阶差、常数 2。每输出一项做两次加法。零到五的平方是 0、1、4、9、16、25；从 16、7、2 起算，16＋7＋2＝25，一步对上。

麻烦出在「分段」上。正弦表要覆盖零到九十度，一个多项式贴不住全程，必须切成很多小段，每段一组常数。段与段之间要接得上——前一段算到最后一位的末值，必须等于后一段的初值，否则表里会出现一个跳点。这件事叫接缝，做表的人最怕它。

还有一处更细的麻烦：误差会累积。每做一次加法，末位的舍入就压进去一点；做几万次，误差就攒成可观的量。差分机对付这件事的办法是加位数：算到二十位，只印前十位，多出来的十位专门用来兜住累积误差。位数不是浪费，是余量。

所以差分机不是「万能计算器」，它是一台专用机的极致。它的全部聪明都在装机器之前：人选公式、定区间、算常数、排寄存器。装好之后它只会做一件事——把加法链走完。它的可靠性正来自这份愚笨：因为不做判断，所以不会判断错。

这条边界在 1834 年被推翻了。巴贝奇意识到：如果把「走哪条加法链」也交给卡片决定，机器就不必只算一种表。这一改，专用机变成了通用机，而通用机要面对的第一个问题是：谁来写那张卡片表。这个问题，1843 年由她来答。

分析机分两半，功能分得很干净。一半叫存储，是一片竖立的格子墙：一千个格子，每格放一个四十位的十进制数。另一半叫作坊，是运算的地方：加减乘除都在这里做，做完把结果送回存储的某个格子。

这个分法看着平常，其实是关键。差分机没有「存储」这一层：它的寄存器就是运算链本身，数在哪里、下一步去哪里，都由齿轮位置定死。分析机把「放数的地方」与「算数的地方」分开，于是数可以搬来搬去，算的次序可以改。

卡片也分三种，各管一件事。第一种叫运算卡：一张卡指定一次运算，是加、减、乘、除里的哪一种。第二种叫变量卡：指定这一次数从哪个格子取出、结果送回哪个格子。第三种叫顺序卡：管「下一张读哪一张」，回跳与循环全靠它。

三种卡合起来，就是一套完整的指令。运算卡说做什么，变量卡说对谁做，顺序卡说做完去哪。这三样东西，与今天一台计算机的「操作码、地址、跳转」对得上，一一对应，不多不少。

存储的容量值得单说一句。一千个格子，每格四十位，合起来是四万个十进制位。这个容量足够装下一个中等规模问题的全部中间结果——比如一套联立方程的所有系数与消元过程中的每一行。她的注 G 只用了六个格子，因为伯努利数算法本身不需要更多。

作坊里还有一处细节，后来被证明极重要。乘法做出来是双倍位长：两个四十位的数相乘，得八十位。机器把低四十位留下，高四十位另存——这一步叫定标。定标错了，小数点就跑位。十九世纪的数表出错，一半错在定标。

先做第一件事：算一个三次多项式。用上一幕的差分法，四个格子存 27、19、12、6，每输出一项做三次加法：12＋6 得 18，19＋18 得 37，27＋37 得 64。卡片只需要一张运算卡（加）与一张变量卡，重复使用。

再做第二件事：解一个二元一次方程组。取 x 与 y 满足 2x＋3y＝12 与 4x−y＝10。先消元：由第二式得 y＝4x−10；代入第一式，2x＋3(4x−10)＝12，展开得 2x＋12x−30＝12，即 14x＝42，x＝3；回代得 y＝2。验算：2×3＋3×2＝12，4×3−2＝10，两式都成立。

这两件事用同一台机器做，靠什么分开。靠卡片。第一件事的卡片串只含加法与搬移；第二件事的卡片串含乘法、减法与两次回存。机器一个齿轮也没有改，改的只是那两叠纸。

通用性就落在这里，而且它有一个精确的说法。不是「机器什么都能算」，而是「机器不预设算的是哪一类问题」。它预设的只有四种运算与一批格子；至于这些运算按什么顺序作用于哪些格子，全部在机器之外决定。

这个说法有一个代价，当时就看得出来。通用机比专用机慢。差分机为一种计算设计，齿轮咬得死紧，效率最高；分析机为了「能改」，多出搬移、多出卡片读取、多出定标，每一步都要多花时间。通用性的价格是速度，这个账两百年没有变过。

还有一件事，当时没有人说得清。一台机器如果能把运算次序写在纸上，那么写这张纸的人就不必懂齿轮；反过来，写纸的人要做的事，就变成了「把一个问题拆成四种运算的序列」。这门手艺当时还没有名字。

把一件事写成卡片，要经过三步。第一步拆：把要算的东西拆成加减乘除，拆到不能再拆。第二步排：把这些运算排成次序，注明每一次从哪取数、往哪存数。第三步兜：想清楚算到中途如果出了意外（除数为零、结果超位），该往哪跳。

第一步最难，因为它不只靠算术。拆法有好坏：同一个式子，可以拆成十步，也可以拆成四十步；步数少的那个，不但快，而且错得少——每一步都是一次舍入的机会。选拆法这件事，靠的是对式子的理解，不是对机器的理解。

第二步最琐碎，也最容易出错。格子只有一千个，用了哪些、什么时候可以回收、哪个结果还要留着给后面用，全要记在纸上。她写注 G 时列了一张表，六列：步号、运算、被操作数、操作数、结果存处、说明。七十五行左右，一行一步。

第三步最容易被忽略。除数为零时机器会怎样，巴贝奇的设计里没有明确答案；她的注里提了一句：这类情形要在排卡片时先避开，靠数学上的判断，而不是靠机器自己发现。这句话在某种意义上划下了这台机器的边界——它不会知道自己算错了。

这套手艺与「造机器」是两件事，而且分开得很彻底。造机器要懂齿轮、懂材料、懂加工精度；排卡片要懂式子、懂次序、懂哪里会出错。一个人可以完全不懂齿轮而把卡片排得极好，这是历史上第一次出现这种可能。

梅纳布雷亚的文章缺的正是这一层。他讲了存储、讲了作坊、讲了三类卡片，但没有讲「拿到一个问题之后，第一张卡写什么」。她的注解把这层补上了，而且用了一个完整的例子——不是玩具例子，是把一串伯努利数从零算到第十个。

下一页，先看那串数是什么。

注 A 开篇立了一条论，这条论是整篇文章的地基。她说：分析机与以往的计算机器有一处根本不同——它操作的不是数，是符号。数只是符号的一种，机器并不「知道」自己在算的是什么。

这句话要拆开看。算术机器（差分机）的齿轮上刻的是数字，一个齿代表一，进位代表十。分析机的格子里装的也可以说是数字，可这些数字代表什么，由排卡片的人决定：它可以代表一个系数，可以代表一个角度，可以代表「某一类对象的个数」。

差别就在这一层抽象上。若机器只认数，它只能算数值；若机器认符号，它就能做代数——合并同类项、代入、消元、求导。这些动作在数上没有意义，在符号上有意义。她举的第一个例子是解方程：机器不知道 x 是什么，可它能照规则把它搬到等号另一边。

这一步推下去，得到一个当时听起来很荒唐的结论。既然机器只认符号之间的关系，那么符号代表的东西可以完全超出一维的数轴：它可以代表两个变量之间的函数、可以代表空间里的一个量、可以代表一张表。这些对象在机器里都只是一串符号，处理方式一样。

她用的词是「组合」而不是「计算」。整篇文章里，她反复用「组合」这个词来描述机器的动作：不是求值，是把符号按规则重新组合。这个用词在今天看是准确的，在 1843 年看是奇怪的——那时候没有人把「算」理解成「组合」。

这条论有一个直接的后果，与后来的「通用计算机」概念吻合。如果机器处理的是符号关系，那么同一台机器既能算数表，也能排版、也能处理文字、也能做逻辑推演——只要这些事情的规则可以写成一串符号操作。她没有把这句话说全，但她把门打开了。

她挑来做例子的那串数，叫伯努利数。这串数出自一个求和问题：把从一到 n 的 k 次方加起来，结果是一个 k＋1 次多项式，它的系数里有一组固定的分数。这组分数就是伯努利数，十七世纪末由雅各布·伯努利算出前几个。

前几个可以手算。第一个是一；第二个是负二分之一；第三个是六分之一；第四个是零；第五个是负三十分之一；第六个是零；第七个是四十二分之一；第八个是零；第九个是负三十分之一；第十个是零；第十一个是六十六分之五。

这串数有一个规律：下标是奇数且大于一的，全是零。所以真正要算的只有偶数项。这一点让它在机器上做起来很省——一半的项不必算，直接填零。

怎么算，有一条递推。把前 n −1 个数按二项式系数加权加起来，取负，再除以 n＋1，就得到第 n 个。写成式子：B_n＝−（1/(n＋1)）·Σ_k＜n C(n＋1, k)·B_k。

拿第三项验一遍。n＝2，二项式系数 C(3,0)＝1、C(3,1)＝3。加权和：1×1＋3×(−1/2)＝1−1.5＝−0.5。取负得 0.5，除以 3 得 1/6。正是六分之一。

再验第五项。n＝4，系数 C(5,0)＝1、C(5,1)＝5、C(5,2)＝10、C(5,3)＝10。加权和：1＋5×(−1/2)＋10×(1/6)＋10×0＝1−2.5＋1.6667＝0.1667，即六分之一。取负得 −1/6，除以 5 得 −1/30。正是负三十分之一。

选这串数做例子，用意很深。它有三个特点：递推依赖前面所有的项；项数越多，中间结果越复杂；而结果是一串分数，不能有误差。一件事同时具备这三个特点，正好用来展示一台机器「能不能记住、能不能回头、能不能精确」。

注 G 要解决的问题是：把伯努利数一个一个算出来，且不让中间结果挤在一起。递推式里每一项都要用到前面所有项，若把每一步的中间值都留着，格子很快就不够用。

她的解法是「边算边丢」。算第 n 项时，只需保留那一组加权和的一个累加值，加上若干现成的系数；算完一项，把累加值清零，进入下一项。这样不论算到第几项，只占用固定的几个格子。

固定几个，她定的是六个。一号格记当前的项号；二号格记加权和的累加值；三号、四号格存两个中间量；五号格存算出来的系数；六号格存最终结果。六个格子，算到第二十几项也不增加。

于是有了两层循环。外层管「算第几项」，从第二项走到目标项，每走一步项号加一；内层管「这一项的加权和」，把前面各项依次乘上系数、累加，走完清零。内层走完，外层才进一步。她把这个结构叫「循环的循环」。

这个结构有一个必须解决的细节：内层要走多少步，是不固定的——第一项走零步，第二项走一步，第 n 项走 n −1 步。机器的卡片是一张张读过去的，读到哪张由顺序卡决定。所以每一轮内层结束时，程序要把「还剩几步」算出来，再用它控制回跳。

这就是顺序卡的作用。它不只管「下一张」，还能管「往回跳若干张」。往里跳一次，就是内层的一步；跳到外层起点，就是外层的一步。整台机器的全部「智能」，就是这一个动作——按条件往回跳。

把这一页的说法收拢成一句：循环不是「重复做同一件事」，是「让同一串卡片被读第二遍，而读的时候格子里的数已经变了」。前者是机械的重复，后者是计算的重复。这两者的区别，是注 G 真正讲清楚的东西。

她的论证分两步，第一步是「任何运算都能拆」。她说：一门运算若能被写成有限个基本步骤，每个步骤都是加减乘除之一，那么它就能被排成卡片。这句话的强度在于「有限」与「基本」两个词——它不要求步骤少，只要求步骤能数清。

第二步是「拆法可以复用」。同一串卡片，只要把格子的编号换掉，就能用在另一个问题上。求一个多项式的值、解一个方程组、把一串级数逐项加起来，这三件事的卡片串不同，但它们用的「搬移—运算—回存」这个骨架相同。

于是有了一条判据，可以写在纸上：凡是可以写成有限步、每步只涉及四种运算、且中间结果可以用有限个格子存下的过程，这台机器都能做。反过来，凡是不满足这三条的，它做不了。

三条限制，各有具体的例子。「有限步」把无穷级数的求和排除在外——机器只能算到某一项为止，剩下的误差要人来估。「四种运算」把开方、对数、三角函数排除在外——这些要用级数展开，展开成有限步之后才行。「有限格子」把大规模的问题排除——一千个格子在当时是很大的容量，但不是无限。

她的例子选得很巧，正好压在这条判据的边界上。伯努利数的计算满足三条：有限步（算到第 n 项）、四种运算、六个格子。而求一个数的平方根不满足第二条，所以她特意说明：先展开成级数，取前若干项，误差由人来定。这一步「由人来定」，是整台机器的边界所在。

这条判据与一百年后「可计算」的定义，有一处根本差别。她的判据是就事论事的：给定一个问题，看它能不能拆开。后世的定义是整体的：先规定一类机器，再问哪些函数这类机器能算。前者靠手艺，后者靠理论。她没有走第二步——那一步要等到 1936 年。

注 G 的末尾有一段话，是整篇文章里被引用得最多的一段。大意是：分析机没有「起头」的能力。凡是它能做的事，都是我们指令它做的；它不能自己生出新的问题，也不能自己发现新的方法。

这句话常被读成一句贬抑，其实是三句不同的话叠在一起。第一句是事实：机器的每一步由卡片决定，卡片之外没有动作。第二句是推论：既然每一步由人定，那么「算什么的决定权」在人手里。第三句是评价：因此机器不会「创造」数学。

三句话的强度不一样，需要分开。第一句无懈可击：按当时的机器设计，确实没有任何一步不由卡片决定。第二句也对：决定权确实在人手里。第三句就有商量余地了——「创造」是什么，当时没有定义，她用的是直觉：人能做机器没被指令过的事。

她自己举了一个例子来说明这条线。她说：机器可以算一条曲线下的面积，方法是把它切成许多窄条相加；可「把它切成窄条」这个念头，机器不会有。这个念头的来源是人对「面积」的理解，不是卡片。

这个例子有一个漏洞，她自己没有堵。若「切成窄条」这件事本身也能写成一条规则——比如「凡遇到面积就切分」——那么机器也能做。真正的界线不在「会不会切」，在「会不会想出一条新规则」。她用的词是「起头」，这个词在当时的英语里带一点神学味道。

界线划在这里，有它的时代背景。十九世纪英国关于「机器会不会取代人」的争论很热，其中最常听见的一句是：机器只能做被规定的事。她这句是这个共识的精致版本，而不是反驳。真正反驳它的人，要等到一百年后。

她做了很多，也有三件明确没有做。第一件：把程序也存在机器里。

在她的方案里，指令在卡片上，数据在格子里。卡片是机器外面的一叠纸，机器读一张走一步；换程序就是换纸。这个安排很自然，因为她是照着织机想的——花样在外面的卡片上。可这也意味着：机器不能自己改写自己的指令。

第二件没有做：用二进制。分析机是十进制的，因为它的用途是印数表，数表是十进制的，中途换进制等于给自己添麻烦。二进制的优越性要等到电路出现才显出来——继电器只有通断两态，二进制正好；齿轮有十态，十进制正好。她的选择在当时是对的。

第三件没有做：给「可计算」下一个一般定义。她的判据是「这个问题能不能拆」；她没有问「所有能被拆的问题，合起来是什么」。前者是工匠的判断，后者是数学家的追问。这个追问要等到 1936 年，由一台假想的纸带机器来回答。

这三件都不是疏漏，是时代的边界。第一件要等存储程序的构想（1945 年之后）；第二件要等电子元件；第三件要等数理逻辑成熟。任何一个十九世纪的人都做不出来，包括巴贝奇。

但有一件她做到了，而且做得比后世许多人以为的更深。她把「程序」与「机器」分成了两件事，并且指出：程序的好坏不取决于机器，取决于写程序的人对问题的理解。这句话在一百五十年后仍然是编程这件事的核心，而它第一次被写下来，是在一篇译文的注解里。

下一页，暗线第四笔：那个她没有要过的头衔。

她给自己的行当起过一个名字：诗意的科学。这个词不是修辞上的自谦，是她对「做数学是什么」的判断：数学不只是把已知的东西推到底，还要先看见一个还不存在的东西，然后才去推。

这个判断在她的文章里可以验证。注 A 的第一句话不是定义，是一个比喻：机器织出代数图案。比喻先到，论证后到。她后面的七十五行表格、六个格子、两层循环，全是为了让这个比喻站得住。

比喻在数学里的作用，可以说得更实一点。一个好的比喻能提供三样东西：一个可以搬动的结构（织机→机器）、一组可以借用的词（花样、卡片、经线）、一个可以检验的预期（既然织机能换纸，机器也该能换卡）。这三样都不是装饰。

但比喻也会骗人。织机的花样是死的，卡片编好就不会变；她照这个比喻想下去，就把程序想成了「机器外面的一叠纸」，于是没有想到「程序也可以存在机器里面」。这是她最著名的一个盲点，而盲点的来源正是她最好的那个比喻。

这一层关系值得记住。一个比喻能把人带多远，就能把人挡在哪里。她靠织机看见了通用机，又被织机挡住了存储程序。这不是她的失败，是所有比喻的共同命运。

所以「诗意的科学」这个说法，不能读成「浪漫的数学」。它说的是：先有想象，再有证明；想象负责生成，证明负责筛。她那七条注的分量，正来自两件事都做了——先想出一台机器能织代数，再一步步算出它怎么织。

注 A 里有一句常被引用的话。大意是：分析机可以作出任何复杂程度的、有科学性的乐曲。这句话在当时被当作一句夸张的闲笔，一百年后却成了「计算机能做什么」的最早预言之一。

这句话的逻辑，与前面几页一致。若机器处理的是符号之间的关系，那么音符也是符号：音高是数、时值是数、和声是数之间的关系。只要把这些关系写成规则，机器就能按规则生成音符串。

关键在于「规则」这两个字。她说的不是「机器有灵感」，而是「机器能按和声规则组合音符」。这两件事差别很大：前者要求机器自己判断好不好听，后者只要求它遵守一套可以写下来的约束。

这套约束能写到多细，可以算一算。取一个八度十二个半音，取常用的三和弦（大三、小三、减三、增三）共四类，取四个声部的进行规则（避免平行五度、平行八度、声部超越等），规则条数不多，可以逐条写下来。写下来之后，一段四声部的和声就可以被「生成」——生成的结果合不合人的耳朵，是另一件事。

她 1844 年残稿的第二段，正是往这个方向走的。那几页写得潦草，讨论的是「机器处理非数值对象」的一般问题：若对象之间有确定的关系，机器就能处理；若关系本身要靠听觉、视觉或趣味来判断，机器就不能。她把界线划在「关系能不能写下来」这一处。

这条界线，今天仍然管用。凡是能被写成规则的艺术形式，机器都能生成；凡是规则写不下来的部分，机器就只能模仿。这个说法不新，可它第一次被写下来，是在一台不存在的机器的说明书里。

一篇文章被忘掉一百年，通常有三个原因。第一个：它讲的东西不存在。1843 年的读者翻开这篇文章，看到的是一台机器的说明书，而这台机器从来没有造出来。没有实物可以对照，文章就没法被检验，也没法被使用。

第二个原因：它属于一个当时还不存在的学科。十九世纪的数学分科里没有「计算」这一门——算学属于天文、工程、统计的附属工具，不算独立学问。一篇讲「怎样组织计算步骤」的文章，找不到自己的书架。

第三个原因：作者栏里没有名字。三个字母在当时能让人猜到是谁，可一百年后编索引的人不会为三个字母立条目。文献学的规矩是：没有作者，就没有条目；没有条目，就等于不存在。

三个原因叠在一起，结果是一段彻底的沉默。1900 年前后，讲计算史的著作提到巴贝奇时，偶尔会加一句「有一位英国女士曾为他的机器写过注解」。这一句就是全部。她的名字在 1920 年代之后才重新出现在文献里，而且是作为脚注。

转折发生在 1930 至 1950 年代。1930 年代有人整理巴贝奇文稿；1940 年代电子计算机出现，人们开始追问「谁是第一个想到这种机器的人」；1953 年，她的注解被完整重印，附了一篇长导言。这一年距文章发表一百一十年。

重印的时机不是偶然。因为有了真正的计算机，「程序」这件事才成了一个问题；因为成了问题，人们才回头去找最早的答案。一篇文章的价值，往往要等到它能被用上的那天才被承认——这不是它的不幸，是它的命运。