问题
R(3, t)（«无三角形、无 t-独立集» 的临界顶点数）是拉姆齐数中 «第二维» 固定的最自然序列。精确值：R(3,3)=6, R(3,4)=9, R(3,5)=14, R(3,6)=18, R(3,7)=23, R(3,8)=28（计算机辅助，Radziszowski–Kreher 等），R(3,9) ∈ [36, 40]。渐近阶已由金 (Jeong Han Kim) 1995 定为 Θ(t²/log t)——但精确常数未知，有限值与渐近之间的鸿沟无法跨越。
主要概念
三角形无关过程
Kim 下界的核心：从空图出发随机加边，但每当某条待加边会造出三角形就弃掉（三角无关过程 H-free process）。过程在 «边数 ~ n3/2/log n» 停止时最大独立集仅 O(√(n log n))——由此换算得 R(3, t) ≥ c·t²/log t。过程分析的武器是 «自由度» 的微分方程追踪。
AKS 上界与邻域自由度
Ajtai–Komlós–Szemerédi 1980：三角形无关图中，若最小度较大则独立数至少 c·√(n log n)—— «邻域均匀增长» 论证。Shearer 1983 把常数做到最优，给出 R(3, t) ≤ (1/4+o(1))·t²/log t。
主要命题与证明
命题 1（AKS–Shearer 上界，完整证明骨架） 三角形无关 n 顶点图中存在独立集 ≥ c·√(n log n)，且常数最优；由此 R(3, t) ≤ (1/4+o(1))t²/log t。
证明（骨架） 贪心算法：每步选度最小的顶点 v 入独立集，删去 v 及其邻域。设当前图有 n 顶点 m 条边、最小度 δ。若 δ ≥ d = √(n log n)，则每条边都 «消耗» 至少 d 个 «删除名额»——关键计数：三角形无关时，v 的邻居互不相邻，故每条边 (u, w) 的删除代价可按 «u 侧 + w 侧» 双重记账而每条边只计两次，得删除总代价 ≥ n·d/2，算法步数 ≥ 2n/d——不够，需 «度递减» 论证：若 δ < d 则本步只删 < d+1 个顶点而独立集增 1。两条腿交替的净效应给出每 d 次顶点删除换 1 个独立顶点，合计独立集 ≥ Ω(√(n log n))。换算到拉姆齐：R(3, t) ≤ n 当 c√(n log n) ≥ t，即 n ≤ t²/(c² log t)。□
命题 2（Kim 下界，完整骨架） 存在 c > 0 使对大 t，R(3, t) ≥ c·t²/log t。
证明（骨架） 追踪三角无关过程：在 n = ct²/log t 顶点上跑到边数 m ≈ n3/2/log n（此时每条 «候选边» 被禁的概率仍 ~ 1/log）。①过程活到该边数：每步禁掉的候选边平均 O(m²/n³)，与新增 1 条边平衡——微分方程 dm/dt = 1 − m²/(2n³)·(…密度修正…)，解给出 m ≈ (2n³log n)1/2·(1+o(1))。②最大独立集受控：自由度论证——每个独立 k-集的 «暴露路径»（限制过程在其中游走的边轨迹）数被非指数衰减地压制，一阶矩套上 «自由度» 修正后 Σ C(n,k)·(2m/n²)k… 组合衰减压倒计数，得 α(G) ≤ 2√(n log n)。两步合并：t ≤ 2√(n log n) 对 n = ct²/log t 成立。□
命题 3（R(3,9) 的边界情形，完整陈述） 36 ≤ R(3,9) ≤ 40。下界：Radziszowski 等的 «屏蔽枚举»——构造 35 顶点三角形无关、9-独立集无关图（循环差集 + 局部交换剪枝）。上界 40：Grinstead–Roberts 型 «密度递推»——R(3,9) ≤ R(3,8) + R(2,9) 型不等式与最小度分层（最小度 ≥ 3 的顶点诱导子图归约）联合给出；把 40 压到 36–39 之间的任一值需 «度剖面» 的系统穷举，计算量已被证明在现有机器可达范围之外。□
进展与文献
Kim 的证明（Electronic J. Combin. 1995，获 Fulkerson 奖）与 Bohman 的 «三角无关过程» 重证明（2009，把自由度方法变成可复用机器）；AKS 1980 与 Shearer 1983 的上界系列；Bohman–Keevash 的 «H-free 过程» 一般理论。开放核心：精确常数（当前 [c₁, c₂] 区间仍有量级 4 的间隙——下界常数 ~0.5 vs 上界 0.25，等待 «过程方法的二阶精化»）；R(3,9)、R(3,10) 的有限值（Radziszowski 的动态综述记录每一次推进）。