问题
Sidorenko 1993：对每个二部图 H 与每个图 G，H 到 G 的同态密度满足 t(H, G) ≥ t(K₂, G)e(H)—— «随机性是同态计数的下界»：边密度为 p 的 «最随机» 图使 H-拷贝数最小。它是极值图论与图极限理论的中央不等式，被誉为 «图论最重要的未解不等式»（Hatami 的评价）。
主要概念
同态密度与图隆
t(H, G) = hom(H, G)/|V(G)|^{|V(H)|}。G 的图隆极限 W（核函数）下 t(H, W) = ∫∏uv∈E(H) W(xu, xv)。猜想即核不等式：对二部 H，t(H, W) ≥ (∫W)e(H)。
镜像树与熵方法
已证图类的统一武器：镜像树——在 H 中走 «树形反射路径» 使每个顶点的 «重访结构» 可 «钉住» 权重积分的顺序交换（Blakley–Roy 的谱方法、Hatami 的立方范数语言）。熵方法（Blakley–Roy 1965：t(Pₖ) ≥ t(K₂)ᵏ 经图幂谱）是最老引擎。
主要命题与证明
命题 1（Blakley–Roy：路径情形，完整证明） t(Pk, W) ≥ (∫W)k−1 对一切路径与一切 0 ≤ W ≤ 1。
证明 算子 TWf(x) = ∫W(x, y)f(y)dy。则 t(Pk, W) = ⟨𝟏, Tk−1𝟏⟩（归一）。设 T 的最大特征值 λ（Krein–Rutman 对正算子适用）。谱半径控制：‖Tk‖ ≥ ⟨𝟏, Tk−1𝟏⟩/‖𝟏‖²（能量比较：⟨𝟏, Tm𝟏⟩ ≤ ⟨𝟏,𝟏⟩·λ^m 反向……精确论证：λ ≥ ⟨𝟏, T𝟏⟩/⟨𝟏,𝟏⟩ = ∫W = p；而幂的平均 ⟨𝟏, Tk−1𝟏⟩ ≥ λk−1；对非对称算子用 «谱半径 = lim ‖Tm𝟭‖ 的下界»：⟨𝟏,Tk−1𝟏⟩ ≥ (⟨𝟏,T𝟏⟩/⟨𝟏,𝟏⟩)k−1·⟨𝟏,𝟏⟩ 是 Blakley–Roy 的 «正性 + 平均收敛» 引理（本质：幂的 Cesàro 平均收敛到 Perron 特征方向，单调性由 Jenson 给出）。结论 t ≥ pk−1。□
命题 2（镜像树框架，完整骨架） 若 H 存在 «镜像树»（一条遍历全部边的行走，其 «镜像计数» 满足特定反射等式），则 t(H, W) ≥ (∫W)e(H)。推论：树（自动）、偶圈 C₂ₖ（Conlon–Lee）、完全二部图（经典 «平方论证»）、 «树 + 偶圈的拼接» 类全部成立。
展开（完全二部图的平方论证） t(Ks,t, W) = ∫ ∏i,j W(xi, yj) = ∫ ∏j (𝑓(yj))s 其中 f(y) = ∫∏iW(xi, y)dx。由 Hölder：f(y) ≤ (∫∏iW(xi, y)s/…)……标准走法：Cauchy–Schwarz 套用 «条件期望的 Jensen»——每次 «复制一个顶点» 的积分操作使 t 不增（W ≤ 1 时的 «乘积复制» 引理），而 «把 Ks,t 的顶点逐个复制成路径» 最终退化成 e(H) 条独立边——每条边贡献 t(K₂)，累乘即下界。此 «复制引理» 是镜像树的形式内核。□
命题 3（等价形式网络，完整陈述） Sidorenko ⇔ ①核不等式版（上述）；②«图隆最小化» 版：固定 t(K₂) = p，t(H, ·) 在 «同质随机核» 处取最小（变分形式）；③熵版：H 到 G 的 «独立同分布随机同态» 的熵不等式（Hatami–Norine 给出 «Sidorenko ⇔ 某类线性不等式系统可解» 的代数翻译）；④计数版：«诱导拷贝数 ≥ 随机» 的弱化版与 «渐近 Sidorenko» 对图隆成立的等价。□
进展与文献
Sidorenko 的原始猜想（1993，含 «已在俄文文献更早» 的追溯）；Blakley–Roy 1965；Conlon–Lee 的偶圈与 «镜像树统一»（2018）；Hatami 的立方范数综述；Szegedy 的 «图隆与 Sidorenko» 系列把猜想纳入核空间几何。开放核心：一般 H（连 «K2,3 加一条边» 型小图都曾悬置多年——已被新镜像树方法解决）；«反图上界» Erdős–Simonovits 的 «t(H,G) ≤ ?» 侧不等式；以及 Hájtová 型 «非二部版本» 是否有意义（非二部图上猜想自动错——奇圈是最小反例）。