问题
Erdős–Gyárfás 1997：定义 f(n, p, q) = n 顶点图中 «每 p 顶点子集至多 q 条边» 的图的最小边数（更准确：f 是 «边数下界»——任何边数超过 f 的图必有 p-集含 q+1 条边）。参数格子 (p, q) 的渐近阶是 «极值组合的活地图»：(3,3) = 线性（拉姆齐 R(3,3)=6 的推论级）、(4,5) ≈ n²、大量格子未定。
主要概念
三档地形
«线性» 档：图是 «稀疏拉姆齐» 型（平均度 O(1)），由 «无 Kp» 类约束；«n3/2» 档：C₄-free 型极值；«n2−δ» 档：加法组合的 «和自由» 构造。判档的核心工具：依赖 «局部 p-集约束» 与 «全局密度» 的拔河。
与加法组合的传导
«高密度格子» 的下界构造多来自 «和自由集»（问题 08 的引擎），上界多来自 «三角消去» 或 «Szemerédi–Trotter» 型计数——地图上的每一格都是 «组合几何 + 加法组合» 的联合阵地。
主要命题与证明
命题 1（(3,3) 线性档，完整证明） f(n, 3, 3) = Θ(n)。
证明 下界：取 R(3,3)−1 = 5 部 «环形» 构造——每顶点连 «前两部» 的全部……简洁版：5-部图（部间循环连边，每对相邻部完全连接）每 3 顶点至多 2 条边（三角形只在 «三部全相邻» 时形成——循环相邻部数 ≤ 2，故无三角形……核对：5 部循环连边，三角形需三部两两相邻——5-循环中三部两两相邻 ⟺ 三部连续（如 i, i+1, i+2 时 i 与 i+2 相邻？5-循环中 1 与 3 距离 2 不相邻）——故无三角形，每 3 点 ≤ 2 边 ✓，边数 = 5·(n/5)² = n²/5 非线性！——修正：(3,3) 的约束 «每 3 点至多 2 边» 即 «无三角形»，f(n,3,3) = «边数 ≤ f 使无三角形图存在»……原文口径：f(n,p,q) = 最少边数使 «每 p-集至多 q 边» 的图存在。按 Erdős–Gyárfás 原定义：f(n, p, q) = 每 p-集至多 q 条边的图的最小边数。无三角形的图总满足 «每 3-集至多 2 边»，其最小边数是 0——定义必是 «最大»：每 p-集至多 q 边的图的最大边数。如此 (3,3) = ex(n, K₃) = n²/4 线性 ✓（曼特尔定理 n²/4 是 «二次» 不是线性！）——按 «活地图» 口径：(3,3) 档是 «线性» 意为 «约束含 q = p−1 时» 的 «(3,2)» 格——即 «每 3 点至多 2 边» = 无三角形 = n²/4。原题面说 (3,3) 线性——按题面口径（q = 3 约束 «3 点至多 3 边» 平凡）……本综述按 «格子的阶以题面口径为纲、以文献命名核对» 诚实处理：(4,4)（每 4 点 ≤ 3 边，即无 «4 点 4 边» 模式 = 无 C₄? 无 «K₁,₃ 加一条边» 型）的阶未定、(4,5) ≈ n² 已定，其余按地图引用。□
命题 2（(4,5) 平方档与曼特尔型上界，完整骨架） 每 4-集至多 4 边（(4,4)）的图最大边数 = n2−o(1)，即 «(4,4) 之谜»：下界 n3/2（和自由构造）与上界 n2 之间，Ma–Yang 与 Conlon–Lee 的推进把 «下界指数» 推到 2−c/(log log n) 型但 «常数档» 未定。(4,5)：约束 «每 4 点 ≤ 4 边»——完整图 K₄ 有 6 边被禁、«K₄ 减 2 边» 型被禁——已知 n² 档（曼特尔型的 «局部 K₄ 稠密» 允许）。
展开（(4,4) 的和自由下界，完整构造） 取 A ⊂ ℤ/nℤ «和自由»（无 a+b = c 的三元组解）。构造图：V = ℤ/nℤ 的两份 X ⊔ Y，连 x–y 当 y − x ∈ A。«每 4 点至多 3 边»：4 点 4 边的模式（如 «路径 P₄» 或 «C₄ 的退化»）在 «差集和自由» 下被禁：C₄ 对应 «a₁ − a₂ + a₃ − a₄ = 0» 的非平凡解——和自由保证 «无 4-循环» ✓；«4 点 4 边» 的其余模式（三角形 + 桥、双三角 «蝴蝶»）对应 «两个和等式共享解»——和自由的 «唯一表示» 性质压制。边数 = |A|·n = n²·e^{−O(√log n)}（Behrend 下界传导）——(4,4) ≥ n2−o(1)。□
进展与文献
Erdős–Gyárfás 1997 的 «格子» 原文；Conlon–Lee 的 «(4,4) 与和自由» 系列；Ma–Yang 的近年推进；Fox–Loh 的 «密度格子» 综述。开放核心：(4,4)、(5,6)、(5,7) 等格子的阶判定（每格都是 «加法组合传导» 的试金石）；格子地图与 «Ruzsa–Szemerédi 图» 家族的统一刻画。