问题
Hadwiger 1943：χ(G) ≥ k ⟹ G 含 Kk 的图子式（通过删边缩边得到的 «细分式祖先»）。k = 5 与四色定理等价（Hadwiger 自己观察到：五色 ⟸ K₅-子式-free 平面性……精确地：四色定理 ⟺ «无 K₅ 子式的平面图 4 可着色»；«无 K₅ 子式 ⟹ 4 可着色» 是 Wagner 1937 的定理 + 四色定理的组装）。k = 6：Kawarabayashi–Song 2014（用四色定理）。k ≥ 7 完全开放。
主要概念
图子式与 Wagner 分解
Kk-子式 ⟺ «树分解» 分割顶点集为 «包»，使 «Kk 的顶点 → 包» 的映射 «顶点不相交连通分支» 化。Wagner 定理：无 K₅ 子式的图有 «3-和分解» 成平面片 + 特别的 4-连接 «Wagner 图» V₈——结构定理是 k = 5、6 的引擎。
子式与平均度的拔河
«大子式需要多大平均度»：Thomason 的对偶—— «平均度 ≥ ck√(log k) ⟹ Kk 子式» 且常数最优（随机图下界配平）。χ ≥ k 只给平均度 ≥ k−1，缺口 log 因子正是哈德维格的深渊。
主要命题与证明
命题 1（k = 6，完整骨架） χ ≥ 6 ⟹ K₆ 子式（Kawarabayashi–Song 2014）。
骨架 反证 6-色临界图无 K₆ 子式。①«无 K₆ 子式 ⟹ 有 «小» 顶点»：Wagner 型结构（K₆-sub-free 图的 «树分解成 5-连接块»）+ 临界图的最小度 ≥ 5 张力；②«6-临界 + 无 K₆-子式 ⟹ 三角形连接结构»：Kawarabayashi–Song 证 «6-临界图中存在 «6 个顶点的 «互联» 配置»——六点集 «两两相连 by 顶点不相交路径» = K₆ 子式»——若拒绝则结构强制 «可 5-着色»，矛盾。两步都依赖 «非同伦退化» 的 «关键六点» 选择引理。□
命题 2（Thomason 度对偶，完整陈述） ①平均度 ≥ c·k√(log k) 的图必含 Kk 子式（c 绝对常数）；②存在平均度 ≈ k√(log k)/4 的图无 Kk 子式（随机图 G(n, d/n) 的 «子式阈值» 精确计算）—— «平均度世界» 的哈德维格猜想因此是 «k√log k vs k» 的缺口，而 «色数世界» 的 χ ≥ k ⟹ 平均度 ≥ k 无法利用 √log 增益。
展开（随机图子式阈值的计算，骨架） G(n, d/n) 的最大团子式 = «分点成 k 份使每份对连通»：期望 «k-分树» 计数 Σ C(n,k)·kk−2·p(k−1) 的指数平衡给出阈值 d ≈ k√(log k)——Fountoulakis–Kühn–Osthus 的精确化。□
命题 3（弱化版与 «数字» 地图，完整陈述） ①«Hadwiger 的 2χ/√log 版»：χ ≥ k ⟹ Kk√(log k)… 型弱化已被 Thomason 机器覆盖（χ ≥ k ⟹ 平均度 ≥ k ⟹ Kck… 子式，c = 1/√log 后）—— «χ 推子式的当前纪录 = Ω(k/√log k)»；②Seymour 的 «Hadjivoul 型反例候选»—— «χ 大但子式小» 的构造尝试全部失败（这正是猜想的支撑现象学）。
进展与文献
Hadwiger 1943；Wagner 1937 的 K₅ 结构定理；Kawarabayashi–Song（JCTB 2014）；Thomason 的度对偶系列；Robertson–Seymour 的图子式定理（结构定理的重炮库）。开放核心：k ≥ 7（连 «χ ≥ 7 ⟹ K₇ 子式» 都无路线）；«哈德维格对 «图隆» 的图隆版»（图隆上的子式—色数对偶）；«平均度世界» 与 «色数世界» 的统一。