问题
又称 Gyárfás–Sumner 猜想（1985 前后各自提出）：对每棵树 T，{G : G 无诱导 T} 是 χ-有界的——存在只依赖 T 的 f(T) 使 χ(G) ≤ f(T)。已证：星形（平凡）、P₄（平凡）、P₅（Gyárfás 1987）、P₆（Chudnovsky–Seymour 等 2010s）。P₇ 起完全开放—— «一条路都不放过» 是猜想的最小目标。
主要概念
χ-有界与 «完美» 光谱
χ-有界：χ 被 ω 的函数控制。完美图定理（强完美图定理，Chudnovsky–Robertson–Seymour–Thomas 2006）：无 «洞与反洞» ⟺ χ = ω—— «大禁集» 的完美性；GT 猜想问 «单个树禁令» 能否换 «有界 χ»（不要求 ρ 依赖 ω 的精确形状）。
«Σ-派生» 与陀螺仪论证
Gyárfás 的技术核心：«无诱导 T 的图的 «邻域着色递归»»——取顶点 v，其邻域 N(v) 无 «T − v 的邻接模式»，递归着色 N 的 «连接分量»， «陀螺仪»（gyroscope）控制 «非邻域» 的色数。P₅ 的证明是此机器的手工执行；P₆ 需要机器的 «两级陀螺»。
主要命题与证明
命题 1（P₄ 与星形，完整证明） 无诱导 P₄（余图）与无诱导星 Sk（最大度 < k）都 χ-有界。
证明 余图：无诱导 P₄ ⟺ 每个诱导子图 «不连通或有补不连通»（Seinsche 判据）⟹ 递归 «连不连通分量的色数相加»，χ ≤ n 但 χ-有界需 f(1)——精确：余图是 «完美» 的（cograph 完美），χ = ω ✓。星形：无诱导 Sk ⟹ 最大度 ≤ k−1 ⟹ 贪婪着色 χ ≤ k ✓。□
命题 2（P₅ 情形，完整骨架） 无诱导 P₅ 的图满足 χ ≤ f(5)（Gyárfás 的界，指数级）。
骨架 ①«叶丛» 引理：无 P₅ 图中取 «最大 «邻域独立集»»——顶点 v 的邻居中 «相互连接结构» 被 «P₅ 避免» 强制 «邻域 = «团 + 「叶」» 的分层»；②递归着色：«叶» 的邻域 «团主导» 使 «分批贪婪» 有效；③ «对偶»:«反例的 «最小色» 顶点» 有 «P₅ 的 «影子»»。三步合并给出 f(5) = «指数» 型界（后续 Espdan–Schweitzer 把 «非构造» 降为 «可计算» 但指数仍在）。□
命题 3（一般森林的 «弱界»，完整陈述） «无诱导 T 的图 χ ≤ n1−δ»（EH 弱版）对一般树 T 已证吗？«弱版»（χ ≤ n/log n 型）由 «EH 猜想的树情形»（问题 09 的已证清单中 «无诱导树 ⟹ 多项式 EH»——对 «有序» 情形已证）给出部分覆盖；«完全 χ-有界»（与 n 无关的 f(T)）就是本猜想，无一般路线。□
进展与文献
Gyárfás《On the chromatic number of …》系列（1985–87）；Sumner 1985 的猜想版；Chudnovsky–Seymour 的 P₆ 系列（«无诱导 P₆» 的多级分解，2010s）；Scott–Seymour 的 «无诱导森林族 χ-有界»（2016+：禁止 «一族» 树时已证——单棵树的缺口正在于此）。开放核心：P₇（连 «路径 » 都卡）；一般树；«χ-有界的 «函数类型»»（多项式 vs 指数——Kierstead–Penrice 的 «指数下界» 例）。