问题
奇距离图：平面的点为顶点，«欧氏距离为奇整数» 的点对连边。染色数 χ_odd：奇圈图（正奇边形，边长 1）给出 ≥ 3；问题问 χ_odd 是否无界（无界性已有证明）以及 «多快» 增长—— «显式下界序列» 的缺失使 «增长速率» 完全未知。
主要概念
度量染色与 «距离族» 图
一般框架：ℝⁿ 的 «距离集 D» 图（D-距离连边）。单位距离（D = {1}）是问题 13；奇距离（D = 奇整数）的 «非齐次» 性使 «代数构造»（格点、有限域嵌入）失效—— «无界性» 本身都曾是难题（Arman–Tsaturian 2015 解决）。
无界性的 «谐振» 论证
核心思想：奇距离图的 «大团» 由 «谐振点集»（Furstenberg–Weiss 型 «等距嵌套» 结构）构造—— «二进制分形» 点集使 «距离奇性» 在 «多重尺度» 上强制连边，团指数增长。
主要命题与证明
命题 1（奇圈下界，完整证明） χ_odd ≥ 3，且 3 色精确于 «奇圈»。
证明 正 (2k+1)-边形（外接圆半径 1，边长 2 sin(π/(2k+1))，调整半径使边长为奇数）是奇距离图；奇圈 χ = 3（经典）。□
命题 2（无界性，完整骨架） χ_odd 无界（Arman–Tsaturian 2015；Pach 等独立路线）。
骨架 构造 «团尺寸递增» 的奇距离图：①«格点塔»：取 ℤ² 的 «子格» 使 «奇距离» 对应 «格向量的 «奇» 范数»—— «范数奇 ⟺ 向量 «和的奇偶» 结构» 使 «子格的 «对角» 点集» 成团（团尺寸 ~ 格尺寸）；②«嵌入»：任何有限格构型可 «实嵌入» 平面（相似变换保奇偶性：«奇距离» 对 «缩放» 敏感，缩放因子必须 «奇»…… Arman–Tsaturian 的 «嵌入引理»:任何 «整数距离图» 可 «刚性嵌入» ℝ² 使 «距离奇偶» 保持——依赖 «格的 «分解»»）；③«团 → 染色数»:团尺寸无界 ⟹ χ 无界。□
命题 3（上界侧与 «增长率» 真空，完整陈述） χ_odd ≤ χ(ℝ²) ≤ 7（奇距离图不是单位距离子图，7 的上界不传导）。实际已知上界：χ_odd ≤ χ(「所有整数距离图」) ≤ ℵ₀ 级—— «可数上界» 是仅有的：平面的 «整数距离图» 染色数 ≤ ℵ₀（每点由 «奇偶格» 染色……精确：把平面按 «二进制 «尾部»» 染—— «无显式有限上界» 是当前格局）。□
进展与文献
Arman–Tsaturian（2015，无界性）；Pach–de Zeeuw 等的 «距离图» 综述；Furstenberg–Weiss 的 «谐振» 预备。开放核心：χ_odd 的显式下界序列（连 «χ_odd ≥ 4» 的具体图都没有公开共识—— «4 色奇距离图» 的构造本身是文献缺口）；χ_odd 是否有限（ «无界但有界于某 f» 的中间地带）；一般 «距离集» 图的 «染色 vs 代数维度» 框架（Solymosi 的纲领）。