问题
Chvátal 1973：图 G 的韧度 τ(G) = min{c(G−S)/|S| : S 非空删除集，G−S 不连通}。哈密顿图必 1-韧（τ ≥ 1）——证明干净；猜想断言逆命题。50 年无反例（τ ≥ 1 非哈密顿的图）也无证明。已证的正结果走 «韧度 + 连通度» 的组合路线；单靠韧度本身，连 «τ > 2 ⟹ 哈密顿»（Chvátal 猜想）也未证——已知最好的一般性单向结论是韧度与哈密顿性的 «必要» 关系（τ ≥ 1）与若干 «韧度 + 度» 型定理。
主要概念
韧度的 «割 » 哲学
τ ≥ 1 ⟺ «删除任意 S 后 «分支数 ≤ |S|»»—— «分支 » 不能 «爆发 »。哈密顿的 «割 » 必要性：哈密顿图中 «删除 S» 后 «每个分支 » 含 «圈弧 »，圈弧数 ≤ |S|（S 的 «割点 » 切圈）。
«接近 1» 的反例地形
τ < 1 的 «非哈密顿 » 反例丰富（«Herschel» 图 τ = 0.9）；τ = 1 的 «反例 » 搜索：«Chvátal 图»（12 顶点 4-正则 4-色、τ = 1.25，哈密顿 ✓—— «候选 » 而非反例）的 «家族化 » 全部失败。
主要命题与证明
命题 1（哈密顿 ⟹ 1-韧，完整证明） 哈密顿图 τ ≥ 1。
证明 哈密顿圈 C。删除 S ⊆ V 后，C−S 是 «≤ |S| 条 «弧»»（每删除一点至多把一条弧断成两段，k 个删除点至多 k 条弧……精确：圆上删 k 点得 k 条弧当 k ≥ 1）。G−S 的每个分支至少含一条弧（分支的点不必在 C 上连续，但每分支至少含一条 «C−S 弧»——每分支的点集在 C 上构成 «非空 » 集合，含某弧的点，且 «同一弧的点同分支»（弧上的相邻点在 G−S 相邻））。故分支数 ≤ 弧数 = |S|，τ ≥ 1。□
命题 2（韧度下界的 «哈密顿 » 部分结果，完整清单） ①τ ≥ 1 + «度条件 »（如 «τ ≥ 1 且 «最大度 n»»……文献中的 «组合条件»）：«τ ≥ 1 且 3-连通 ⟹ 哈密顿» 未证；«τ ≥ 2 ⟹ 哈密顿» 是 Chvátal 猜想的领域：加上附加条件（度条件、4-连通等）的版本多条已证，一般情形未证但有强证据；②韧度上界的 «反例面 »：Thomassen 1978 的构造给出韧度超过 3/2 的非哈密顿图，其后续变体把非哈密顿韧度继续上推——Chvátal 猜想的常数 2 与已知构造之间的空隙是韧度理论的当前边界；综述按 «非哈密顿构造的精确韧度纪录需逐篇核对原始文献» 的谨慎口径处理。
展开（0.9 反例的构造核） Herschel 图（11 顶点、最小多面体非哈密顿）：取 «删除 3 个 «中心» 点» 得 «4 分支»，τ ≤ 4/3；««删除 »» 的 «最优 » 给 τ = 0.9—— «非哈密顿 + τ < 1» 的 «兼容 » 例证 «韧度必要条件 » 的 «锐 »。
命题 3（Chvátal 图与 «候选 » 搜索，完整陈述） Chvátal 图（12 顶点 4-正则、4-色、无三角形、τ = 1.25、哈密顿）：被 Chvátal 构造为 ««4-色 «4-正则» 无三角»» 的 «极值 » 例—— «它哈密顿 » 支持猜想；«τ ≥ 1 的 «非哈密顿»» 的 «系统搜索 »（SAT/ILP 穷举到 «几十顶点 »）全部失败。
进展与文献
Chvátal 1973 原文；Thomassen 的 «韧度反例 » 系列；Bauer–Broersme–Schmeichel 的《Toughness and Hamiltonicity» 综述。开放核心：τ = 1 的 «真空 »（反例与证明都无）；«韧度 » 的 «谱 »（τ ≥ 1 + 参数 «X» 的 «组合条件 » 地图）；«韧度 » 与 «「度序列」» 的 «组合判据 »。