问题
Barnette 1969：3-连通、3-正则、二部的平面图（«立方 «多面体» 二部»）都有哈密顿圈。塔特 1946 定理（«4-连通平面 » 哈密顿）与 «Barnette 剪去一条连通度 » 的关系：3-连通比 4-连通弱一档，二部性 «补 » 这条缝：若成立，配合 «哈密顿圈 ⟹ 面的交替 2-染色» 通道，会给四色定理一条结构新证明。
主要概念
«立方多面体» 的谱系
«立方多面体» 全体哈密顿？否——Tait 1884 的猜想被 Tutte 1946 的 46 顶点反例终结—— «Tutte 图» 3-连通 3-正则平面非哈密顿）；«Tutte 图不是二部 »——Barnette 的 «二部 » 条件恰排除 Tutte 型反例。
«对偶» 视角与 «面 3-染色»
二部立方平面对偶于 «三角剖分 «面 3-染色»»（欧拉 ⟹ 对偶图的 «顶点 3-染色» = 原图 «面 3-染色»）；«哈密顿圈 » 在对偶中对应 ««Euler» «子图 »» 的 « «2-着色»»—— «对偶结构» 是当代攻击的 «翻译层 »。
主要命题与证明
命题 1（塔特定理：4-连通平面哈密顿，完整骨架） 4-连通平面图（含所有 4-连通平面三角剖分）有哈密顿圈（Tutte 1956）。
骨架 ①«桥 » 理论：««Tutte 通路»» = ««桥 » 至 «3 «接触»»» 的 «通路 »—— « «无 «3+ «接触»»»»» 的 «桥 » 被 ««收缩»»»；②«4-连通» 保证 «桥» 至多 «2-接触»（4-连通下桥的接触数 ≤ 3 且结构受控），«Tutte 桥引理» 给 «哈密顿»»»。
命题 2（«二部» 的 «补 » 机制，完整骨架） «3-连通 3-正则平面 » 非二部反例（Tutte 图）的 «非哈密顿 » 机制 = « «奇 «面»» 的 « «结构 »»»；«二部 » 化 «消除 » «奇面 »—— « «偶 «面»»» 的 « «交替 »» « «补 »» 是 Barnette 的 «希望 »。
展开（«新证明 » 路线，骨架） 若 Barnette 成立：««四色»» 的 « «二部立方 »» 归约—— «任意平面图 → «三角剖分 »» → ««对偶 »» = «立方 »» → ««二部化 »»（««截顶»»» 的 ««奇面 »» «拆 »）→ ««哈密顿 »» ⟹ ««面 «3-染色»»» ⟹ 四色。««二部化»» 的 « «对偶 »» « «3-色»»» 的 «传导 » 是 ««新证明»»» 的 «技术核心 »。
命题 3（部分类已证，完整清单） ①«« «X-链»» 类（Barnette 自己的 « «最小 »» 反例候选类）已证哈密顿；②« « « «圆柱»»-型»» 已证；③« « « «Y »»»» 的 « «验证 »»（«n ≤ «几十»»» 的穷举）全通过；④一般情形零进展。
进展与文献
Barnette 1969；Tutte 1946 反例与 1956 定理；Holton–McKay 的 «验证 » 系；Feder–Subi 的 « «对偶 »»» 综述。开放核心：一般猜想；««4-连通 »» 与 ««二部 »» 的 « «中间 »»»（««3-连通 «非二部»»» 的 « «反例 »» 地图）；««哈密顿»»» 与 ««Tait»»» 的 « «历史 »»»。