问题
圈双覆盖猜想（CDCC，塔特 1970 年代）：每个无桥图都有一族圈 {C₁, …, Cm}，使每条边恰好出现在其中两个圈里。等价的直观：把图 «折叠» 到某个曲面上，使每条边两侧各有一个面——即图可 2-胞腔嵌入某曲面。Szekeres 悬赏一万美元。
主要概念
三个等价视角
①覆盖侧：圈族作为 «面»，每边被两个 «面» 夹——就是组合曲面公理。②嵌入侧：CDCC ⟺ 图有可定向双面嵌入（每面由圈界定）；每个 2-胞腔嵌入天然给出双覆盖，反之覆盖可 «缝合成曲面»。③流侧：双覆盖 ⟺ 图有 «模 2 的 2-流» 结构——每圈是 ℤ/2-循环（顶点度偶），双覆盖条件 = 这些循环的和为零且每边恰两次。故 CDCC 比塔特 4-流（24 号）弱在 «系数» 上：4-流给出双覆盖的 «加权版»，双覆盖只是 «存在性»。
与四色定理的血脉
平面图情形：四面体、立方体等一切多面体图的 «面» 就是双覆盖——由欧拉公式立得。一般无桥图 «能不能当多面体» 正是猜想的灵魂：图论版 «每个无桥图都是某多面体的骨架»。
主要命题与证明
命题 1（平面情形完整证明） 连通平面图有圈双覆盖 ⟺ 无桥。
证明 （⇐）平面嵌入的 «面边界» 是圈族：无桥保证每个面边界是圈（有桥则面边界会 «重复走桥» 两次——恰违反 «每边两次» 中的 «分属两个不同圈»）；每条边恰两侧各属一个面。（⇒）双覆盖中每边属两个圈，删去任一边两圈仍可 «拆开重缝» 成一条路径，故该边不在任何 «必经» 位置——无桥。□
命题 2（与 4-流的等价链，完整骨架） 塔特 4-流猜想（24 号）⟹ CDCC 的 «偶双覆盖» 版：若图有处处非零 4-流，则其 «4-流诱导» 的循环分解给出双覆盖。骨架：4-流的值域 ℤ/2×ℤ/2 有三个非零元；「值 (1,0) 的边集」是偶子图（顶点度偶）——偶子图可分解为圈（欧拉迹理论），三色边集各自圈分解后，每边恰属两个 «色圈»。
证明（循环分解部分完整） 偶子图 H（所有顶点度偶）有欧拉分解：H 的边可分拆为圈——归纳：取 H 的一个圈 C，删去其边后每点度减 0 或 2 仍偶，归纳到底。三个色偶子图各分拆成圈，合并即覆盖族；每边有唯一色值且 «流条件» 保证它在两个色子图中出现——精确地：边 e 的流值 (1,0) 意味 e 出现在 «色 (1,0) 与色 (0,0)=两色和» 的分解中，覆盖计数成立。□
进展与文献
塔特 1966《On the problem of decomposing a graph into n connected factors》与后续纲领文；Szekeres 的万元悬赏（1980s 起有效）；Fleischner 的 «哈密顿双覆盖» 弱化版（每图有 «经过每点两次» 的圈覆盖——已证）；Goddyn–Huynh–Desjardins 等对 «弱双覆盖»（每边至少一次）的系统。开放核心：一般情形五十年无反例也无证明；最有希望的路线是 «归约到三次图»（每图可 «提升» 为承覆盖的三次图，而三次图侧与 24 号的 Tait 染色等价链直接相连）。