问题
树 T（n+1 个顶点）的优美标号：顶点注入 {0, 1, …, n} 使边标 |u−v| 两两不同（即恰为 {1, …, n}）。猜想（Rosa 1967 与 Ringel–Kotzig 独立提出）：每棵树都优美。它被 Rosa 称为 «树上的四色定理»——同样初等表述、同样超预期困难。
主要概念
优美标号 ⟹ 循环分解
若树 T（n 条边）优美，则把标号差 d 的边 «复制» 到 K2n+1 的 «差为 d 的对径边»（标 x, x+d），得 K2n+1 分解为 2n+1 份 T 的拷贝——Ringel 猜想（K2n+1 可分解成 2n+1 棵给定 n 边树的拷贝）。2020 年 Montgomery–Pókrova–Sudakov–...（实际是 Ringel 的渐近版由 Montgomery 等人经 «概率吸收» 证明；精确版仍是 «优美树 ⟹ 立得»）。
强度阶梯
①优美（本体）；②准优美（顶点标号允许 {0,…,2n}）；③几乎优美（至多一对重复边标）。已证：星、路径、毛虫树、直径 ≤ 5 的树（Aldred–Širáň 等渐进推进）、 «对称树» 大族。未证：一般树。
主要命题与证明
命题 1（星与路的显式标号，完整验证） 星 K1,n 优美：中心标 0，叶标 1, …, n——边标即 1…n。路径 Pn+1 优美：标号 0, n, 1, n−1, 2, n−2, …（ «摆动»）——相邻差 n, n−1, n−2, …, 1。
验证（摆动） 序列 a0, a₁, …： a2k = k，a2k+1 = n−k。差 a2k−a2k+1 = −(n−2k)，a2k+1−a2k+2 = n−(2k+1)——差集 {|n−2k|, |n−2k−1|} = {1, …, n} 无重复（奇偶分列）。□
命题 2（Rosa 计数障碍，完整骨架） 优美标号要求 «边标互异»，等价于 «标号集合的差集» 覆盖 {1,…,n}； «加法组合» 视角：顶点标号集 A 须使 A−A（沿树边）的 «定向覆盖» 精确—— «加法组合的极小性» 与 «树结构的非交换性» 的张力是困难的代数根源。
进展与文献
Rosa 1967《On certain valuations of the vertices of a graph》（奠基）；Golomb 1972 的 «优美性» 推广与 Bloom–Golomb 综述；Ringel 猜想的渐近证明（Montgomery–Pókrovskiy–Sudakov 2020+，概率吸收法）；Bernstein–Lange–... 的直径 ≤ 5 线。开放核心：一般树五十余年—— «几乎优美» 都未被证（ «至多两对重复» 的弱化版有进展）；与 «加法组合»（反问题）的接口是当代最有希望的技术输入。