问题
把 Kn 的顶点放在凸位置（圆周上），直线画边，数 «对角线对» 的交叉数——rectilinear crossing number rect(Kn)。确切公式未知（已知到 n = 27）；它与 «随机四点凸» 的概率直接相联：rect(Kn) = 每四点组合 «凸» 的计数和。
主要概念
跨数（k-set 多项式）工具
统计 «≤3-交叉的 K4 数» 等多项式不变量（crossing counts），每类计数既被 «几何» 约束（凸/凹四点的几何分类）又被 «组合» 约束（双计数）； «跨数不等式» 族给出 rect 的逐级下界——当前最好下界来自 «所有 k ≤ 27 的 Kk 计数» 的联合线性规划。
构造侧
fabila（Fabila-Monroy 与 López）的 «优化圆周位置» 程序给出候选极小构型；极限常数 rect(Kn)/C(n,4) → c ≈ 0.379972⁻ 已知存在于窄带内（0.3796 与 0.3805 之间）—— «常数收敛» 已证、 «常数闭式» 未得。
主要命题与证明
命题 1（凸四点双计数，完整推导） 凸位置画法中，每个 «凸四点组» 贡献 1 个交叉，每个 «凹四点组» 贡献 0——故 rect(Kn) = #{四点组 凸}。
证明 凸位置四点 {A,B,C,D}：恰有一对 «对角» 边（AC, BD）相交——几何上 «两弦相交 ⟺ 端点交错排列于圆周»，凸四点组给出且仅给出一个 «交错对»，即一次交叉。凹（在凸位置不可能）——恒等式立得。□
命题 2（Ábrego–Fernández-Merchant 下界机器骨架） 对每个 k， «k 点子构型的凸四点计数» 的双计数不等式给 rect 的下界多项式；联合所有 k ≤ 27 的实测值做 LP，得 rect(Kn) ≥ 0.3796·C(n,4) 级。
进展与文献
Harary–Hill 的原始 «thickness/rect» 问题族；Guy 的早期表格（ «Guy 数»）；Ábrego–Fernández-Merchant–Neubauer–Watkins 的跨数不等式系列；Aichholzer 的 «有序点集数据库»（n ≤ 27 的极小构型库，OSMC 项目）与 fabila 的优化程序。开放核心：n ≥ 28 的精确值需要 «交叉计数代数»（把 «对称多项式 + 几何约束» 做成可解系统）——目前的 LP 机器在 28+ 因 «变量爆炸» 失灵；极限常数 0.379972… 的闭式（ «随机序的凸概率»）独立成趣。