问题
爱多士 1946：平面上 n 个点的集合最多能决定多少对距离恰为 1 的点对？记 u(n)。已知下界 n1+c/log log n（整数格构造），上界 n4/3（Spencer–Szemerédi–Trotter 1984）。八十余年两个界之间纹丝不动。
主要概念
整数格构造
在 √n×√n 方格中取点，选距离 d（使 d² 有很多 «素因子分解» 表法），则 «半径 d 的圆» 过格点的期望数 ≈ r(d²)（除数函数）——取 d 使 r(d²) ≈ elog 2·log n/log log n，得 u(n) ≥ n·r/2 ≈ n1+c/log log n。
SST 上界的两条路
①交叉引理：把 «单位圆» 视为 «圆»、点视为 «顶点»，得 «圆–点关联» 图，其交叉数 ≤ 圆对相交数；Szemeredi–Trotter 型 «关联计数» 上界 O(m2/3n2/3+m+n) 翻译过来即 u(n) ≤ n4/3。②多项式方法（Guth–Katz 的 «距离问题» 用的同一机器）： «多项式切分» 把空间 «分而治之»——Guth–Katz 用它把 «distinct distances»（对偶问题）压到 n/log n，但 «单位距离» 的同类突破未成—— «重根结构»（很多圆过同两点）卡住机器。
主要命题与证明
命题 1（SST 上界完整骨架） u(n) = O(n4/3)。
梗概 把 «点–单位圆» 关联图 G（顶点 = 点， «边» = 圈， «关联» = 点在圆上）做 Szemerédi–Trotter 分割：以 K2,2（两圆过同两点 = 至多 C(n,2) 次）控制 «重根»，经 «交叉不等式»（关联图的画法交叉数 ≤ 圆对相交数 ≤ 圆数²）得 «关联 ≤ m2/3n2/3 + m + n»；代 m = n 个单位圆、每圆平均 n1/3 点，即 u(n) ≤ n4/3。□
命题 2（下界的除数函数核心，完整推导） 存在 d 使 r(d²) ≥ e(log 2−o(1))·log n/log log n—— «超完全数» 型除数爆炸：取 d² 为 «前 k 个素数之积» 型（d² = ∏pi2，则 r(d²) = ∏(2ei+1) 型）， «格点圆» 的平均点数由 «平方和表示数 r₂» 的素因子公式给出。
进展与文献
爱多士 1946 原文；Spencer–Szemerédi–Trotter 1984；Matoušek《Lectures on Discrete Geometry》专章；Guth–Katz 2015（Annals）的 «distinct distances» 解决—— «机器在隔壁问题成功、本问题受阻» 的当代格局；Sheffer 的单位距离综述。开放核心：n1+ε 构造是否存在（ «格之外的构造» 完全缺席）；上界压到 n1+o(1) 需 «重根» 的新处理——多项式方法、代数几何（切簇）、加法组合三线交汇处。