问题
快乐结局定理（Erdős–Szekeres 1935， «Happy Ending» 的恋爱史话）：任意足够多的平面一般位置点（无三点共线）含 k 点凸 k 边形。 ES(k) = 最少点数。已知 ES(5) = 9（35 年悬置，2006 年计算机穷举解决）、ES(6) = 17（Suk 2016）；ES(7) 起完全开放（已知 33 ≤ ES(7)）。
主要概念
上界机器：cup–cap 与 Suk 机器
原证明用 «cup–cap» 二分（Erdős–Szekeres 单调子列定理的几何版）给 ES(k) ≤ C(2k−5, k−2) + 1（双指数）；Suk 2016 的机器用 «立方体分割 + 洞引理» 把渐近压到 ES(k) = 2k+o(k)——与下界 2k−2+1（ «Erdős–Szekeres 构造»）在指数层匹配。 «渐近之后» 的残余：常数层与中等 k 的精确值。
下界构造
«Erdős–Szekeres 构造»：递归 «cup 块 ∪ cap 块» 得无凸 k 边形的 2k−2 点集——下界 2k−2+1。ES(7) 的已知下界 33 vs 已知上界（Suk 型的显式常数）之间仍有数倍。
主要命题与证明
命题 1（原 cup–cap 定理，完整骨架） ES(k) ≤ C(2k−4, k−2) + 1。
梗概 每点赋对 (a, b)（向左最长 cup 长度、向右最长 cap 长度）； «鸽笼 » 论证：点数 ≥ C(2k−4, k−2)+1 时必有两点同对，而 «同对两点» 的 «连线延长» 必破 a 或 b 的极值性——推出矛盾前的 «新 cup/cap» 增长；归纳得 «大点集含 k-cup 或 k-cap»，二者皆含凸 k 边形。□
命题 2（Suk 渐近定理骨架） ES(k) ≤ 2k+6k2/3log k。机器： «凸链分解»（点集按 «上凸链» 分层）+ «空凸链引理»（每层有 «富» 凸结构）+ «层间拼接»—— «概率吸收» 的离散几何首秀。
进展与文献
Erdős–Szekeres 1935/1961；Szekeres–Peters 的 ES(5) 计算机证明（2006）；Suk 2016（ES(6)=17 与渐近，JAMS）；Holmsen–Mojarrad–Pach–Tardos 的 «空凸» 变体；Šileikis–... 的概率下界。开放核心：ES(7)（33 与 «Suk 显式» 之间的窄带—— «中等 k 精确值» 需 «混合方法»：Suk 机器的 «层» 结构 + 计算机可证的小层引理）； «空凸 k 边形» 版（GER(k)， k = 7 已证存在、 k ≥ 8 开放）独立成趣。