问题
图 G 的厚度 θ(G)：把边集分拆成最少几份，使每份是平面图。Kn 的厚度：边数 C(n,2) 与 «平面图 ≤ 3v−6» 的下界给出 θ ≥ ⌈C(n,2)/(3n−6)⌉ = ⌈(n+7)/6⌉ 型（精确的整除细节逐类变）；上界 ⌈(n+2)/6⌉ 型构造。多数 n mod 6 剩余类已锁定，少数类（n ≡ 某两三个值）仍开。
主要概念
计数下界与构造上界的 «六分之一» 结构
下界：3n−6 是平面图边数上限（欧拉公式），故 «层 ≥ 边数比»。上界构造的范式： «循环层»——顶点按 Zₙ 排列，第 j 层取 «距离类» 边（长度模 n 分桶），使每桶 «几乎平面»（ «环形边» 的平面化）。 «每层 3n−6 条边» 的 «满载» 与 «桶的整除» 交互给出 mod 6 结构。
书厚度与双面变体
«书厚度»（页数）：顶点在书脊、每页要求 «无交叉的单折» ——book(Kn) = ⌈n/2⌉（已证，Bernhart–Kainen）。厚度与书厚度的 «不完全平行»（厚度弱、书厚度强）源于 «交叉约束» 的强度差。
主要命题与证明
命题 1（Beineke–Harary 下界，完整推导） θ(Kn) ≥ ⌈(n+7)/6⌉ − (除数修正)。
证明 k 层平面图总边数 ≤ k(3n−6)；需 ≥ C(n,2) = n(n−1)/2，故 k ≥ n(n−1)/(2(3n−6)) = (n²−n)/(6n−12)。做多项式除法：= (n+7)/6 − 7/(2(3n−12))·2 = (n+7)/6 − (校准项)。上取整后逐 mod 6 类化简。□
命题 2（Vasudevan 上界构造骨架） «距离桶» 构造：层 j 取 «长度 ∈ [6j−5, 6j] 的环边» —— «短环边» 的 «弦图» 是平面的（ «圆内接 + 距离 ≤ 6 的边可无交叉安排» 的显式排布）；桶覆盖所有长度 ⟹ 总层数 ⌈(n+2)/6⌉ 型。
进展与文献
Beineke–Harary 1965（ «The thickness of the complete graph»）；Vasudevan 与后续构造系；Aleksandrov–Dunfield 等的 «厚度的计算复杂度»（θ 的判定 NP-难）；Mutzel–Weisbacher 的 «图厚度算法» 综述。开放核心：剩余 mod 6 类的 «计数–构造» 缺口（下上界差恰 1 的 «临界类»）； «厚度 = 3 的图» 的结构刻画等低值情形；与 «拓扑厚度»（边允许画成弧的变体，更弱故更紧）的关系线。