问题
巴拜 1981 起猜想：有限群 G（|G| = n）与任意生成集 S，凯莱图直径 diam(Cay(G,S)) ≤ (log n)C（C 绝对常数）。Babai–Szemerédi 1984 证明 (log n)5 级上界（ «半径 » 猜想的弱化版）；指数压到常数仍开。
主要概念
乘积替换算法（Babai–Szemerédi）
«给定 S，快速 «路由 » 任意群元素»： «乘积替换» 把生成集 «自举» 成 «几乎自由» 的 «快速元素» 库； «近似群 » 论证给出 «(log n)⁵» 型半径——这是 «黑盒群» 算法理论（ «不知道乘法表也能路由»）的基石。
扩张革命
Helfgott 2005（SL₂(Fp) 直径 logc）与 Breuillard–Green–Tao、Pyber–Szabó、Breuillard–Green–Guralnick–Tao 的 «乘积定理»： «简单代数群 + 任意生成集 ⟹ 扩张 »——把 «李型群» 情形的直径压到多项式对数； «一般群» 的剩余部分是 «替代群»（替代群结构定理把 «一般» 归约到 «简单代数因子» + «残余»）。
主要命题与证明
命题 1（Babai–Szemerédi 半径定理） diam ≤ (log n)⁵ 级（更精确： O(log²n·loglog·…) 的 «修正 » 版）。
梗概 乘积替换维护 «生成库» 的 «体积 » 增长（每轮库 «覆盖半径» 至少乘 1+1/log）； «路径拼接» 的 «成本» 分析给 «半径 ≤ 轮数 × 每轮成本» = (log n) 型幂。□
命题 2（乘积定理与简单群情形，完整陈述） G = 简单李型群（如 SL₂(Fp)）、任意生成集 S：⟨AA⟩ 或 ⟨AAA⟩ 的体积三倍增长（ «乘积定理 »）⟹ 直径 ≤ logc|G|（常数 c 随机器改进递降）。
命题 3（替代群归约骨架） 一般有限群 = «替代群»（近似群结构定理：Breuillard–Green–Tao 有限版）→ «简单因子 × 余项» 的 «分裂»；每个简单因子承 «扩张直径»、余项 «小 »（ «残基» 被替代结构吸收）—— «归约 » 完成、 «常数统一» 未成。
进展与文献
Babai–Szemerédi 1984（ «On the complexity in the nilpotent...» 与 «Reachability» 系）；Helfgott 2005/2008；Breuillard–Green–Tao 2012（ «Approximate subgroups»，Annals）；Pyber–Szabó 2016；Breuillard–Green–Guralnick–Tao；Tao 的 «扩张 » 综述。开放核心：指数压常数—— «替代群路线» 的 «常数» 被分解层数卡住； «单因子 » 的 logc 中 c 能否到 1（ «随机生成集的直径 ≈ log» 是下界参照）。