问题
集族 𝓕 ⊆ 2[n] 是并对称的（union-closed 且非空），若 A, B ∈ 𝓕 ⟹ A∪B ∈ 𝓕。弗兰克尔猜想（Frankl 1979）：存在元素 x 至少出现在 𝓕 的一半集合中（ «重元素 » 存在）。Polymath1（2009）集体攻而不克；下界纪录从 3n/(n+4) 爬到 ≈ 0.613（Knill 型递归 + 熵方法）——距 1/2 的 «目标 »（ «≥ 1/2» 是 «下界 » 的 «压缩方向 »：已证 «重元素 » 频率 ≥ 0.613 的 «逆 » 陈述？精确地：已证 «存在频率 ≥ 0.38 的元素 »？按站上口径： «下界从 3n/(n+4) 爬到约 0.613»—— «频率 » 的 «下界 » 0.38 与 «目标 » 0.5 之间的 «0.1+» 缺口）。
主要概念
极小元素构造
«并对称 » ⟹ «极小元 »（ «含于其他一切 » 的 «核心 »）族非空； «商族 »（ «去掉核心 »）仍是并对称—— «归纳 » 的 «自然 » 轴； «重元素 » 的 «频率 » 在 «商 » 下 «可控 »—— «归纳下界 » 的 «Knill 递归 »。
熵方法的输入
«Shannon » 型： «随机集合 » X ∈ 𝓕 的 «熵 » 分解（ «Shearer » 引理）给 «频率和 » 的 «上界 »： «Σ 频率 = ΣPr[x ∈ X] ≥ H(X)/log 2»—— «重元素 » 由 «平均 » 强制。 «交换代数 » 供给线（ «Stanley » 型）： « « 并 » 对称 ⟺ « 序理想 » 的 « 完备 »»—— «Hilbert 级数 » 的 «凹性 » 给 «频率 » 的 «代数下界 »。
主要命题与证明
命题 1（Knill 型递归下界，完整骨架） 存在频率 ≥ 0.38 的元素（ «0.613 的 « 逆 » 表述 »： «频率 < 1/2 的 « 元素 » 个数受限 »）。
梗概 «归纳 »： «极小元 A₀» 的 «元素 » 在 «含 A₀ 的子族 » 中 «频率 ≥ |𝓕|/2» 的 «一半 »—— «递归 » 到 «商 »； «递归 » 的 «不动点 » 给 «0.38 型 » 常数。□
命题 2（特殊情形的完整结果） ①𝓕 含 «单元素 » 集：该元素频率 ≥ 1/2（ «平凡 » 强制）；②𝓕 含 «2-元 » 集：已证（ «Poonen–... »）；③|𝓕| ≤ 某界（ «小族 »）：计算机逐型验证。
进展与文献
Frankl 1979 原猜想； «Polymath1»（2009，Gowers 发起—— «并闭 » 的 «集体 » 攻防录， «Power » 博客文）；Knill 1994、Balla–Bollobás–Eccles、Gilmer（ «信息论 » 的 «0.38 突破 »，2022）； «交换代数 » 线：Stanley 的 «序理想 » 机器与后续。开放核心：0.5 的 «最后 0.1»—— «Gilmer 机器 »（ «熵 »）的 «常数 » 能否 «压 » 到 0.5； «反例 » 的 «构造 » 缺席（ «共识 » 偏向真）；与 «交闭 » 对偶版（ «交 » 对称的 «同构 » 陈述）的 «统一 »。