问题
图的谱 = 邻接矩阵特征值多重集。 «同谱不同构 » 的图对（ cospectral mates）存在已久（Collatz–Sinogowitz 1957 首例）；GDS 问题（Graph-Determined-by-Spectrum）： «随机 » 图几乎必然 «谱唯一 »（无同谱伙伴）吗？ «伙伴 » 的 «渐近比例 » 是否为零。
主要概念
谱的 «指纹 » 与重根
谱是 «同构不变量 »—— «指纹 »；但 «非完全 »： cospectral 对的 «构造 » 机器（ «GM 切换 »、 «SLS 切换 »、 «Schwenk 定理 »： «几乎每棵树都有同谱伙伴 »）。 «随机图的 « 谱 »»：Wigner 型 «半圆律 » + «极端特征值 » 的 «间隙 »—— «间隙 » 大 ⟹ «谱 » 的 «信息 » 多 ⟹ «伙伴 » 难造—— «启发 » 支持猜想； «严格证明 » 被 «重根结构 »（ «特征多项式 » 的 «重根 » 是否 «泛 »）卡住—— «重根 » 的 «随机 » 行为（ «判别式 » 的 «零 » 概率型问题）本身开放。
量子图论的接口
«Google 型量子步行 » 的 «可区分性 »： «量子步行 » 的 «演化 » 由 «谱 » 决定—— «同谱 » 图 «量子不可区分 »：GDS 的 «肯定 » 版本 ⟹ «量子通用 » 的 «图 » 情形验证。
主要命题与证明
命题 1（Schwenk 树定理） 几乎每棵树都有同谱伙伴（ «树 » 上 «猜想 » 反向成立！）。
梗概 «Schwenk 的 « 传承 »»： «星-链 » 型 «局部 » 替换（ «共谱 » 的 «小结构 »）在 «随机树 » 中 «必然出现 »—— «继承 » 共谱性。□
命题 2（GM 切换，完整骨架） Godsil–McKay 切换：图的 « equitable 分割 » 的 «特定 » 块变换保持谱—— «大量 » cospectral 对的 «系统 » 构造机器（ «随机图中 « 好分割 » 稀少 » ⟹ «GM 不破猜想 » 的 «启发 »）。
命题 3（随机图的 « 无伙伴 » 部分结果） « « 高度 » 特征值 » 的 « 间隙 » 强迫 « 伙伴 » 的 «结构 » 受限（ «伙伴 » 必须 « 同构 » 于 «受控 » 形式）—— «部分 » 域上 «猜想成立 »。
进展与文献
Collatz–Sinogowitz 1957 首例；Godsil–McKay 1982（切换）；Schwenk 1973（树）；Van Dam–Haemers 的 «GDS» 综述（ «哪些图由谱确定 » 的 «清单 »）； «随机 » 侧：Bollobás 的 «随机图 » 谱与后续。开放核心： «零比例 » 的 «严格 » 证明（ «重根 » 的 «随机 » 行为是 «技术 » 核心）； «GDS 的 « 反向 » »（ «谱确定 » 的 «图类 » 完整清单）； «量子 » 接口的 «算法 » 意义。