问题
哈德维格猜想（ «χ ≥ k ⟹ Kk 子式 »，本册设计/群卷的 « 邻居 »）的细分版：χ ≥ k ⟹ 图含 Kk 的拓扑子式（ «细分拷贝 »： «边可拉长为路 »）。已知 k ≤ 5 已证（ «k = 6 » 的 « 部分 »—— «平均度 » 型下界的 « 拓扑 » 版有进展）； «k ≥ 6 » 一般开放。
主要概念
子式 vs 拓扑子式
«子式 »（minor）： «删边缩边 » 得到—— «强 »； «拓扑子式 »（topological minor）： «细分 » 得到—— «弱 »（ «子式 » 未必 « 拓扑 »）。 «Mader 定理 »： «平均度 ≥ 2t ⟹ « Kt» 拓扑 »—— «平均度 » 侧 « 已证 »； «染色 ⟹ 平均度 »（ «χ ≥ k ⟹ « 平均度 ≥ k−1 »）给 « 平凡 » 的 « 桥 »—— «k−1 vs 2k» 的 «指数 » 缺口。
真嵌图理论
«真嵌 »（properly embedded）： «面 » 的 «复杂度 » 受控的 «嵌入图 »—— «拓扑子式 » 的 «曲面 » 侧： «真嵌 » 的 «染色 » 与 «拓扑子式 » 的 «曲面 » 版（ «Kk 嵌入曲面 » 的 « Euler » 约束）。
主要命题与证明
命题 1（Dirac–Jung 的 k ≤ 5 证域） χ ≥ 5 ⟹ 拓扑 K₅（ «Wagner 等价 » 的 « 拓扑 » 版）；χ ≥ 4 ⟹ 拓扑 K₄（ «初等 »）。
梗概 χ ≥ 5 的 «极小 » 图（ «5-临界 »）的 «结构 »： «Dirac » 的 «5-临界 » 分析给 « « K₅ » 或 « 高度 » » 的 «二分 »； «高度 » 侧 « Mader » 机器给 « 拓扑 K₅ »。□
命题 2（平均度型拓扑子式定理，Mader–Bollobás–Thomason） 平均度 ≥ c·k²/log k ⟹ 拓扑 Kk（ «c» 的 « 优化 »： «Kühn–Osthus » 型）； «染色的桥 »：χ ≥ k ⟹ 平均度 ≥ k−1—— «k²/log » 与 «k» 的 «缺口 »。
进展与文献
Hajós 1961（ «原始 » 猜想的 « 细分 » 版曾有反例史： «Hajós 猜想 » 方面： «k ≥ 7 » 有 « 稠密反例 »（ «Catlin » 等），故 «拓扑版 » 的 «现状 » 是 «Hajós 的 « 弱化 »»）；Mader 1967（ «平均度 » 机器）；Bollobás–Thomason 1998；Kühn–Osthus 的 «常数 » 优化； «真嵌 » 侧：Dvořák–...。开放核心： «χ ≥ k ⟹ 拓扑 Kk» 对 «k ≥ 6 » 的 «一致 » 真（ «Hajós 反例 » 只否 «平均度» 弱版的 «某 » 形式—— «染色 » 版 «未被 » 反例否， «共识 » 微妙）； «弱哈德维格 »（ « Hadwiger 的 « 弱化 » »）与 «细分侧 » 的 «联合 » 版图。