问题
全染色：点与边同染色， «相邻 » 元素（点-点、边-边、 « 关联 » 点-边）异色。Behzad 猜想（1965，已证部分）：全染色数 ≤ Δ+2。 «锐性 » 问题：哪些图 «恰 » 需要 Δ+2（ «不可再降 »）。 «15 号 »（ « 全染色猜想 »）的 « 极端 » 版： «Δ+2 的精确紧性 » 的 «图类 » 分类。
主要概念
Δ+2 的 « 锐例 »
«完全图 » KΔ+1： «Δ+2 色 » 必需（ «Δ+1 » 不够—— « « 关联 » 计数 »）； «循环图 »、 «完全二部 » 的 «均衡 » 情形—— «锐 » 的 «构造 » 清单部分已知。 «平均型 » 结果： «几乎 » 所有图 «全染色 » ≤ Δ+1（ «Molloy–Reed » 型： «最大 » 平均度受控时 « Δ+c »）—— «锐 »（ «Δ+2 » 必需）与 « 远离 »（ «Δ+1 » 够）之间的 « 分界 » 未合流。
熵压缩的接口
«全染色 » 的 « 计数 »： «Δ+1 » 色 « 成功 » 的 « 概率 » 下界（ «熵压缩 »： «Molloy–Reed » 的 « LLL » 加强版）—— «计数组合 » 与 «全染色 » 的 «最后接口 »： «熵 » 机器的 «精度 » 决定 «锐性 » 分界的 «精度 »。
主要命题与证明
命题 1（完全图的锐性，完整证明） Kn 的全染色数 = n+1（Δ = n−1， «Δ+2 » = n+1）。
证明 下界： «点 » 用 «n » 色（ «完全 » 两两相邻）， «边 » 需 « 异于两端 »： «某边 » 的 «两端 » 异色 ⟹ «边 » 需 « 第 n+1 » 色（ «n 色内 » 无 «可用 »）—— «n+1 » 必需。上界： «标准 » 构造（ «循环 » 染色）。□
命题 2（平均型远离，Molloy–Reed 骨架） «最大平均度 » 受控的图族（ «稠密 » 度以下）的全染色 ≤ Δ+c（ «Δ+1 » 的 «近亲 »）—— «熵压缩 » 的 «概率 » 机器（ «随机 » 染 + «修补 »）。
进展与文献
Behzad 1965 原猜想与 «Chartrand–Stewart » 的 «独立 » 版； «Δ+2 » 的 «证明 »： «Rosenfeld »、 «Vijayaditya » 的 «早期 » 与 «Borodin–Kostochka–Toft » 的 «高 Δ » 情形； «Molloy–Reed » 的 «熵 » 机器（《Graph Colouring and the Probabilistic Method》）； «Vizing » 的 «边 » 版（ «Vizing 定理 » Δ+1）作 «对照 »。开放核心： «锐例 » 的 «完整分类 »（ «« Δ+2 必需 » ⟺ « 结构 »» 的 «刻画 »）； «分界 » 的 «精确 » 化（ «平均度 » 的 «阈值 »）； «Behzad » 本体的 «全 » 证明（ «低 Δ » 残余）。