问题
数值半群是自然数集 ℕ 的余有限加法子半群（含 0、对加法封闭、补集有限）。设 c 为其 conductor（最小的一切后续整数都属于 S 的数）、F = c−1 为 Frobenius 数（最大间隙）、g 为间隙个数、n 为小于 c 的元素个数。恒等式 g + n = c 是平凡的（0 到 c−1 共 c 个数，不是元素就是间隙）。威尔夫猜想（Wilf 1977）断言：n/g ≥ 1/2，等价地 n ≥ c/2。这是数值半群论中最著名的未解问题：已对对称半群、方次数与嵌入维数小的半群等大类验证，且等号情形被完整刻画到相当程度，但一般证明付之阙如。
主要概念
三个基本量与恒等式 g+n=c
把 [0,c) 分成元素与间隙两半：元素侧 n 个（含 0），间隙侧 g 个。威尔夫不等式 n ≥ c/2 等价于「元素至少占半壁」——直觉是：半群的封闭性使元素「成对出现」（s 与 c−1−s 至少一个该是元素，否则两个间隙之和逼近 c 会产生结构性矛盾），猜想正是这一直觉的精确化。
对称半群与等号情形
半群称为对称，若对每个整数 z：z ∈ S ⟺ F−z ∉ S。对称性等价于半群环 k[S] 是 Gorenstein 环（Kunz），是「最接近自由」的一类。对这类半群，下文命题 1 证明 n = g = c/2——威尔夫不等式不仅成立而且取等。这提示猜想的一般形式是「n ≥ c/2，对称时取等」，与几何中「典范丛度量在最对称处极值」的味道一致。
Bras-Amorós 化归与已验证类
Bras-Amorós 把猜想化归为单变量函数的最小化问题（对固定亏格最小化 «性质间隙数»）；Eliahou（2020）对方次数（最小生成元的重数 e）≤ 3 的半群给出证明，并把一般情形化归为对 «m-函数» 的不等式。已验证大类还包括：c ≤ 3e（Eliahou 的 «小 conductor» 判据）、嵌入维数 ≤ 3、以及从玫琳娜–费罗贝尼乌斯公式可推出的全部两生成元情形。
主要命题与证明
命题 1（对称半群威尔夫取等，经典；完整证明） 数值半群 S 对称 ⟹ g = n = c/2，特别地威尔夫不等式成立且取等。
证明 对称性给出对合 z ↦ F−z（z ∈ ℤ）交换 «属于 S» 与 «不属于 S»。在区间 [1,F−1] 内：对合把该区间映到自身（1 ≤ z ≤ F−1 ⟺ 1 ≤ F−z ≤ F−1），且交换元素与间隙，故区间内元素个数等于间隙个数。于是 g =（区间内间隙数）+1 =（区间内元素数）+1，而 n =（区间内元素数）+1（加上 0），两式相减得 g = n。再由恒等式 g+n = c = F+1 得 g = n = c/2。□
命题 2（两生成元情形取等，含 Sylvester 间隙计数的 Apéry 推导；完整证明） 设 gcd(a,b)=1，a,b ≥ 2，S = ⟨a,b⟩。则 F = ab−a−b，g = (a−1)(b−1)/2，且 n = c/2——威尔夫取等。
证明 对 k = 0,…,a−1，模 a 余 k 的数中属于 S 的最小者是 kb（kb ∈ S 显然；若 k′b ≡ kb（mod a）且 0 ≤ k′ < k，则 a ∣ (k−k′)b，与 gcd(a,b)=1 矛盾；而模 a 余 k 的任何元素减去足够多个 a 后落在 [0,ab) 内，此时只能是某个 k′b）。故 Apéry 集 Ap(S,a) = {0,b,2b,…,(a−1)b}。Frobenius 数是 Apéry 集最大元减 a：F = (a−1)b−a = ab−a−b（比最大 Apéry 元更小的同余数都不可表示）。间隙计数（Selmer 公式）：把 [1,F] 按模 a 的余类分组，第 j 组（对应 Apéry 元 jb，j = 1,…,a−1；j = 0 组是 0 的类，无间隙）中的间隙恰是 jb 之下、与 jb 同余的正整数，即 jb−a, jb−2a,…——这些数都小于该类 Apéry 元，故不可表示；它们的个数为 ⌊jb/a⌋（小于 jb 且同余的非负整数恰 ⌊jb/a⌋ 个，其中 0 不计——0 不在同余类的正数范围，直接数 jb−ta > 0 的 t：1 ≤ t ≤ ⌊(jb−1)/a⌋，而 a ∤ jb 时 ⌊(jb−1)/a⌋ = ⌊jb/a⌋）。求和：g = Σj=1a−1 ⌊jb/a⌋ = (a−1)(b−1)/2（经典配对：⌊kb/a⌋ + ⌊(a−k)b/a⌋ = b−1，因 a ∤ kb）。最后，恒等式 g+n = c 与 c = F+1 = ab−a−b+1 = (a−1)(b−1) 给出 g = c/2，故 n = c/2。□
命题 3（Eliahou 的方次数判据，2020；陈述） 若数值半群的重数 e（最小非零元素）满足 c ≤ 3e，则威尔夫不等式成立；特别地方次数 ≤ 3 的半群全部满足。证明通过对 «m-函数 m(h) = #{s ∈ S : s < h}» 的逐段不等式，把猜想化归为纯组合的计数不等式；一般情形该化归仍是当前最有希望的技术路线。
梗概 Bras-Amorós–Eliahou 的化归：对每个 h 比较 m(h) 与 «理想情形» 的计数，威尔夫不等式等价于一族逐 h 的局部不等式中最弱者成立；方次数小的时候局部不等式可以直接逐段验证，一般情形卡在 «局部成立能否拼成全局» 的组合环节。□
进展与文献
Wilf《A circle-of-lights algorithm for the «money-changing problem»》（1977，猜想出处）；Bras-Amorós《On the Wilf conjecture》系列化归；Eliahou《Wilf's conjecture and Macaulay's theorem》（2020，J. EMS，方次数判据）；Delgado 的 Confiturm 项目组织的大规模计算机验证（亏格 60 以内无一反例）。开放核心：一般情形的证明或反例；「等号 ⟹ 对称或两生成元类」的精细刻画（已知等号必须 n = c/2，而 «何时取等» 的分类仍未完成）；与 02 号（亏格计数）、05 号（type 谱）的耦合。