Bras-Amorós 亏格计数猜想 · 公开问题 02

问题

数值半群按亏格（间隙个数 g）分层计数：记亏格 g 的数值半群个数为 n_g。前几项：n₁=1, n₂=2, n₃=4, n₄=7, n₅=12, n₆=23, n₇=39, n₈=67, n₉=122, n₁₀=232,…。Bras-Amorós 猜想（2007）：比值 n_g+1/n_g 递减趋于黄金比 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618，即 n_g 呈斐波那契型指数增长。已证：n_g 单调不减（Bras-Amorós）、有指数下界构造；Zhai（2013）证明 «对称半群占亏格 g 半群总数的比例趋于 0» 等结构性结果。黄金比极限本身开放。计数问题与单变量奇点的模空间（Arf 半群对应皮亚泰茨基–夏皮罗奇点）相连，见 07 号。

主要概念

Sément 树与两种扩展

枚举的结构化框架是Sément 树：根为 ℕ（亏格 0），每个节点（亏格 g 的半群 S）的孩子是亏格 g+1 的半群，由两种 «删减/扩张» 生成。关键事实：①把最大间隙 F(S) 加进 S 仍是半群（亏格减 1，是 «父亲» 方向）；②当 conductor 偶且 c/2 是不可分解元素时，删去 c/2 得亏格 i+1 的 «孩子»。Sément 定理保证每个半群都在树中出现（每个半群要么本身是 ℕ，要么可由上述两种操作之一 «长» 出来），使逐层计数成为可能。

下界构造的思路

猜想的指数增长需要指数多的族。最简单的可控制族是 «直尾» 半群 S_a,M = aℕ ∪ [M,∞)∪{0}（a ≥ 2，M ≥ a+1）：封闭性逐情形可验，间隙恰为 [1,M−1]∖aℕ。单参数 a 已给出线性下界 n_g ≥ g；Bras-Amorós 用树的分叉给出指数下界（约 2^g/2 型），而上界方面只有 «对称半群稀疏» 一类的结构性控制，n_g ≤ C·φ^g 型上界尚不存在——这正是猜想困难之处。

主要命题与证明

命题 1（直尾半群族与线性下界；完整证明）　对任意 a ≥ 2 与 M ≥ a+1，集合 S_a,M = {0} ∪ aℕ ∪ [M,∞) 是数值半群，其间隙集为 [1,M−1]∖aℕ，亏格 g = (M−1) − ⌊(M−1)/a⌋。由此对每个 g ≥ 1 有 n_g ≥ g。

证明　封闭性分三类验证：①两个 a 的倍数之和是 a 的倍数；②a 的倍数与 ≥ M 的数之和 ≥ M；③两个 ≥ M 的数之和 ≥ M。补集为 [1,M−1] 中非 a 倍数者，共 (M−1)−⌊(M−1)/a⌋ 个，有限，故是数值半群。计数下界：对固定 g，令 h = M−1，方程 h − ⌊h/a⌋ = g。函数 f(h) = h−⌊h/a⌋ 满足 f(h+1)−f(h) = 1−(⌊(h+1)/a⌋−⌊h/a⌋) ∈ {0,1} 且趋于无穷，故每个值都有 h 达到；写 h = am+r（0 ≤ r < a），则 f(h) = m(a−1)+r，可见 r ≥ 1 时值 m(a−1)+r 由唯一 h = am+r 取得，r=0 时由 h = am 取得（另一解 am−1 亦然）。于是对每个 a ∈ {2,…,g+1} 存在 M ≥ a+1 使亏格恰为 g（g = a−1 时取 M = a，此时 S = [0]∪[a,∞) 仍合法）。不同的 a 给出不同的最小非零元素，故半群互不相同，得 n_g ≥ g。□

命题 2（Sément 树的两种扩展；完整证明）　设 S 是亏格 g 的数值半群，F 为其 Frobenius 数，c = F+1 为 conductor。（i）S∪{F} 是亏格 g−1 的数值半群（g ≥ 1）。（ii）若 c = 2m 为偶、m ∈ S 且 m 不能写成 S 中两个非零元素之和（m 是 «原子»），则 S∖{m} 是亏格 g+1 的数值半群。

证明　（i）只需验证 S∪{F} 封闭。新元素 F 与 0 相加得 F 自身；F 与非零 s ∈ S 相加：s ≥ c = F+1 ⟹ F+s ≥ 2F+1 > F，而一切大于 F 的数属于 S；F+F = 2F > F 同理属于 S。间隙数由 g 变 g−1（F 不再是间隙）。（ii）验证封闭：a,b ∈ S∖{m} 的和 a+b ∈ S；若 a+b = m，则 a,b 都是非零元素（0 情形：a=0 ⟹ b=m 已被排除），与 m 不可分解矛盾，故 a+b ∈ S∖{m}。补集：仅 m 由元素变间隙，亏格 g+1，conductor 不变。□

命题 3（Zhai 的结构定理，2013；陈述）　亏格 g 的对称（及拟对称）数值半群个数是 g 的多项式级；因此它们在总数中的占比趋于 0。这表明黄金比增长（若真）必须由 «非对称的普通半群» 贡献——计数的主项藏在最大的一类里，而恰是这一类最缺结构工具。

现状说明　Zhai 的证明把对称/拟对称半群的计数化归到 Kunz 坐标上的整点计数（见 06 号），得到多项式界；对比之下一般半群的计数连指数律的形式都无猜想，这是 32 号（更大阶枚举）与 07 号（Arf 亚类）共同的背景困难。□

进展与文献

Bras-Amorós《Acute semigroups, the order of the Wilf function》与亏格计数系列（2003–2009）；Sément 的枚举树；Zhai《On the number of numerical semigroups with genus g》（2013）；Bras-Amorós–Fernández-González 的计算表（亏格 67 以内精确值）。开放核心：黄金比极限；单调比值的极限存在性（先于黄金比值本身）；指数上界的任何形式；Arf、超椭圆等亚类的精确渐近（07 号）。