问题
有限半群 S 的恒等式理论 Eq(S) 是在 S 的所有赋值下成立的全部词等式。有限基问题问 Eq(S) 是否有有限公理集（即是否等于某有限集等式的逻辑闭包）。一般泛代数中 «给定有限代数的乘法表，判定其理论是否有限基» 是不可判定的（Murskii 型结果，1960 年代）；对半群这一特类，问题整层开放。已知两侧的里程碑：负侧，Perkins 的六元素半群没有有限基（第一个无有限基的有限半群）；正侧，Oates–Powell（1964）证明有限群的恒等式理论都有有限基。半群世界的 «有限基地图» 远未画完，而 «画地图本身是否可被算法执行» 是本问题的核心。
主要概念
恒等式、Birkhoff 完备性与有限基
词等式 u ≈ v 在 S 中成立 ⟺ 对一切赋值 X → S，两词的求值相等。Birkhoff 定理：Eq(S) 是 «完全不变合同»，且 «从公理集 A 出发的等式推导» 恰好生成 A 的模型类共同恒等式——有限基 ⟺ Eq(S) 由有限个生成元生成。判定 «是否有限基» 的输入是乘法表（有限对象），输出是 «是/否»——问题是这个判定算法是否存在。
两个里程碑的对照
Oates–Powell：有限群 G 的 Eq(G) 有限基。机制：群的 «可逆性» 给恒等式集带来强结构（任何恒等式可 «归一化» 为字形式，有限个 «关键等式» 通过取幂与替换覆盖一切）。Perkins：六元素半群（ «事件» 型半群，语言理论中出现）的 Eq 无有限基——机制是 «反例链»：可以构造无穷递增的等式序列 e1, e2,…，每个 en+1 在 S 中成立而 «e1,…,en 之外还需新公理» 的分离代数存在，公理集被迫无穷。半群 «比群多了什么» 使这两张面孔并存，正是理论的中心谜题。
主要命题与证明
命题 1（有限基的判定性下限；完整证明） 若有限半群 S 的恒等式理论有限基，则 «判定给定等式是否属于 Eq(S)» 可由 «半可判定的双侧枚举» 实现——精确地：等式的 «成立» 侧由公理推导半可判定（枚举一切推导），«不成立» 侧可直接判定（在 S 上穷举赋值）。
证明 «成立» 侧：固定有限公理集 A（由有限基假设存在——注意算法不知道 A，此侧的半可判定是存在性陈述：给定 A，枚举一切形式推导，Birkhoff 完备性保证 Eq(S) 的每个成员终被推出）。«不成立» 侧：给定词对 (u,v)，穷举一切赋值 X → S（|S||X| 种，有限）并在 S 中求值；某赋值使 u ≠ v ⟹ 等式不属于 Eq(S)。两半合并：有限基时 Eq(S) 的成员资格是可判定的（两侧各出一张可枚举表，等式出现于 «成立» 表或在 «不成立» 侧被排除——后者是可计算检查）。□
命题 2（Oates–Powell 定理，1964；陈述） 有限群的恒等式理论有有限基。机制：有限群 G 的任何恒等式可由 «G 的乘法表的完备恒等式»、 «x|G| ≈ 1» 型周期恒等式、以及有限个 «关键分离等式» 推出；可逆性允许把任意词 «化简到既约形式»，这是半群所缺的关键结构。
机制说明 Oates–Powell 的覆盖论证：对给定长度的 «候选反例»，群的既约字表示把无穷多可能的 «坏赋值» 压缩到有限个 «形状»，每个形状被一条显式公理封死。半群没有既约化—— «词的消去» 不可用，Perkins 反例正是利用这一点构造无穷递增的反例链。□
命题 3（Murskii 不可判定与半群谱；陈述） （i）Murskii（1965）及后续：一般泛代数中 «给定有限代数，判定其恒等式理论是否有限基» 不可判定（三型判定问题：有限基性、可判定性、谱的刻画均不可判定）。（ii）半群特类：该判定问题可判定与否未决；已知存在无有限基的有限半群（Perkins 六元素例）， «有限基半群» 与否的结构分界（与 «带»、 «正则»、 «逆» 等子类的交叉）部分已知——带（幂等半群）的簇理论（37 号）是最完整的子地图。
现状说明 半群情形悬而未决的原因：Murskii 的不可判定构造使用 «任意运算» 的代数，无法直接嵌入半群世界（运算个数 1 与 «结合» 的强约束）；而正侧又没有找到足以 «算法化» 的结构定理。问题的解决大概率需要 «半群恒等式理论的组合学»（与 15 号模式可避性、 37 号带簇共享地平线）。□
进展与文献
Oates–Powell《Identifier-defining relations in finite groups》（1964）；Perkins 的六元素半群（1969，事件半群语境）；Murskii（1965）与 Pigozzi 的泛代数判定综述；Sapir《Combinatorial Algebra: Syntax and Semantics》（专著，有限基问题的现代综述）。开放核心：半群情形的元判定性； «无有限基» 的最小阶（六元素是否最小？）；有限基性与自动性、与簇格结构的关联（37 号）。