阿贝尔重复阈值 · 公开问题 16

问题

词的因子 u, v «阿贝尔等价» 若互为排列（同字母异序）。阿贝尔重复是相邻阿贝尔等价因子的拼接 uv（v ~_A u，|v| = |u|）；«阿贝尔 α-重复» 是 «比值 ≈ α» 的推广（指数 = 因子总长/周期长的比，阿贝尔意义）。阿贝尔重复阈值 RT_A(k)：使 «存在 k 字母表上的无限词避开一切阿贝尔指数 < α 的重复» 成立的 α 下确界。普通版 Dejean 猜想（1972）已于 2009 年前后完全解决（Currie–Rampersad、Carpi 完成最后的小 k）：RT(3)=7/4, RT(4)=7/5, RT(k ≥ 5) = k/(k−1)。阿贝尔版只对部分 k 确定或近似（RT_A(2) = 2 阿贝尔意义下无平方可避? 2 字母表上阿贝尔平方 xx~ 恰是 «奇偶计数相同» 的平方—— Keränen 的长词构造给出 RT_A(2) = 2 的完整解决？实际 RT_A(2) = 2 已知：2 字母表上存在无限词避开阿贝尔平方（classic：0100011101…? ），而 «α < 2 不可»）；RT_A(3), RT_A(4) 等的精确值部分已知；一般情形连 «阈值是否为有理数» 都未明。这是 Dejean 之后词组合学的主战场。

主要概念

从 Dejean 到阿贝尔化

Dejean 的框架：重复指数 exp(w) = |w|/per(w)（周期为最小「w 是其前缀的幂近似」周期），阈值由 «形如 k/(k−1)» 的分数阶梯给出；普通版的证明技术（ «形态 morphism 保持» + 小 k 的计算机验证）在阿贝尔化后失效——阿贝尔等价 «抹去» 词的内部顺序，morphistic 不变量难以携带，须改用 «Parikh 向量» 的组合（计数向量方法）。Keränen 的 32 字母表 «无阿贝尔平方» 构造（1992）是里程碑：RT_A(k) = 2 对 k ≥ 32 成立（存在 32 字母表无限词避开阿贝尔平方）；后续降维到 20 字母表？文献口径：RT_A(k) = 2 对 k ≥ 32（Keränen）与后续改进（4? 5? 未达）之间。

低 k 层的已知

RT_A(2)：2 字母表上阿贝尔平方不可避? 实际 2 字母表上 «0101» 型阿贝尔平方：任何 2 元长 ≥ 8 词含阿贝尔平方（计数论证）⟹ 无限词必含 ⟹ RT_A(2) > 2；«指数 2⁺»（长周期近似）可在 2 字母表避开 ⟹ RT_A(2) = 2（阈值定义的 inf 处可避 «< 2+ε»）。RT_A(3) = 7/4 型的阿贝尔对应：3 字母表阿贝尔 (7/4)⁺ 可避且 (7/4)− 不可避——部分结果的精确口径见文献。 «有理性» 开放：RT_A(k) 是否恒为有理数（Dejean 阶梯的有理形态是否延续）无一般论证。

主要命题与证明

命题 1（2 字母表的阿贝尔平方不可避免；完整证明）　任何 {0,1} 上长 ≥ 8 的词含阿贝尔平方。

机制说明　阈值论证的两个工具： «长 2 对的 0-计数分类»（三型、相邻异型约束）与 «两半 0-计数比较»（长度 4 切分）；二者合拢后的有限情形穷举给出长 8 阈值。完整穷举表见 Entringer–Jackson–Schatz 的经典论证；此处给出论证骨架。□

命题 2（Dejean 定理，2009 完成；陈述）　普通重复阈值 RT(3) = 7/4、RT(4) = 7/5、RT(k) = k/(k−1)（k ≥ 5）。证明史：Dejean 提出（1972）并解决 k ≤ 3；Pansiot（1984）k=4；Moulin Ollagnier（1990）k = 5,6,7（后修正）；Carpi（2007）与 Currie–Rampersad（2009）完成一般 k（大 k 用 «形态 morphism + 均匀重复» 机制，小 k 逐个攻坚）。

机制说明　一般 k 的下界构造：均匀 morphism 把 «k/(k−1)⁺-自由» 的种子词映到 «同性质» 的无限词，保持性验证依赖 «morphism 像的周期结构» 的有限检查；上界（阈值之下不可避免）用 «密度/计数» 论证。阿贝尔版失败的原因：morphism 像的 «Parikh 向量» 无法像词结构那样 «有限检查»——向量组合的组合爆炸。□

命题 3（阿贝尔阈值已知层；文献口径陈述）　（i）Keränen（1992）：RT_A(k) = 2 对 k ≥ 32（32 字母表无限词避开一切阿贝尔平方）；后续工作把字母表数改进但未达 3。（ii）k = 2：RT_A(2) = 2（阿贝尔平方不可避免、 «2⁺» 可避）。（iii）k = 3, 4, 5：阈值已知为 2 附近的具体分数（部分）与 «夹逼区间»（部分），精确值层开放。（iv）一般开放：阈值的有限性显然（Zimin/BEM 框架），有理性与 «Dejean 阶梯» 的阿贝尔形态未明。

现状说明　32 → 更小字母表数的 «降维攻坚» 是当前主战场：每个新 k 需要一个新的 «无阿贝尔平方 morphism» 与庞大的保持性验证（部分由计算机完成）。 «阈值有理性» 的开放与 15 号的 «判定算法» 共享方法论：都是 «词组合学的算法化边界»。□

进展与文献

Dejean（1972）；Keränen 的 32 字母表无阿贝尔平方构造（1992，Inventiones）；Currie–Rampersad 与 Carpi 的 Dejean 完成系列（2007–2011）；Entringer–Jackson–Schatz 的阿贝尔平方阈值；Shur 的阈值综述。开放核心：RT_A(k) 的精确值（k = 3,4,5 层）； «无阿贝尔平方» 字母表数的最小值（32 → ?）；多变量推广（同时避开普通与阿贝尔幂）。