问题
码是自由独异点 X* 的一个 «唯一解码» 子集（生成的子独异点自由，基为 C）；前缀码是无元素为另一元素前缀的码；极大码是不真含于任何同类码中。Schützenberger 因子分解猜想（1970）：每个有限极大码都有因子分解——即存在群码 S（见下）与有限集 P, Q 使 C = P⁻¹SQ（在由 C* 生成的自由群中表达）。这是码论的中央猜想：Reutenauer 等给出大量支持结果（对称群码的情形、小例的逐一验证），一般情形与 «码的群结构定理» 纠缠；连 «验证一个给定码可分解» 的算法都困难。本条目给出极大性的 Kraft 刻画（完整证明），并交代群码机制与猜想现状。
主要概念
极大码与 Kraft 等号
Kraft 不等式：前缀码 C ⊆ X*（|X| = d）满足 Σc∈C d−|c| ≤ 1。完备（每个 X* 词是某码词的前缀或以某码词为前缀）的前缀码恰满足等号——命题 1 给完整证明。有限极大前缀码 = 有限完备前缀码（极大与完备等价，此方向的另一半由 «加词» 构造完成）。Kraft 等号是 «概率解释»：码词构成 «完整树剪枝»，随机行走落在码词上的概率恰为 1。
群码与因子分解
由极大码 C* 生成的子群 G(C) ⊆ F(X)（自由群）中，C* 恰是 «G(C) 的正叶»。群码：码 S 是群码若 S* 生成的群自由且以 S* 为基（例：{x2, xy, x−1? …}；最典型：与某同态 «度» 对应的 «正叶» 码）。因子分解 C = P⁻¹SQ：把极大码表达为 «群码经两侧有限修饰»——群码承载 «周期结构»，P,Q 承载 «边界»。猜想的实质：极大码的全部 «周期性» 都是群型的。
主要命题与证明
命题 1（Kraft 等号 ⟺ 完备；完整证明） 有限前缀码 C ⊆ X*（|X| = d）是完备的 ⟺ Σc∈C d−|c| = 1。
证明 把 X* 看作 d-叉树的顶点，前缀码 = «反链»（无顶点为另一顶点祖先），码词的 «悬挂区间» 是以 c 为根的子树。Kraft 不等式：码词子树互不相交，其 «叶子测度» Σ d−|c| ≤ 整树测度 1（每个深 n 顶点测 d−n，子树的叶子测度和 = 子树根的测度）。⟸（等号 ⟹ 完备）：设 Σ = 1 而 w 不是任何码词的前缀、也无码词为其前缀（w «悬空»）。则以 w 为根的整个子树无码词（若子树内有码词则其为 w 的延长），于是把 w 加入 C 仍是前缀码且 Kraft 和变为 1+d−|w| > 1——但可达和必须 ≤ 1（不相交子树论证），矛盾 ⟹ 无悬空词 ⟹ 完备。⟹（完备 ⟹ 等号）：完备 ⟹ 每个 «深 N 叶子»（长 N 词）恰被一个码词 «覆盖»（该词本身或其前缀是码词——完备性给出存在性，前缀性给出唯一性）。深 N 全体叶子测度和为 1；每个码词 c（|c| ≤ N）覆盖 dN−|c| 个叶子，占测度 d−|c|。故 1 = Σc, |c|≤N d−|c| = Σc∈C d−|c|（N 取大于最长码词即得全部）。□
命题 2（有限极大 ⟺ 有限完备；完整证明） 有限前缀码 C 极大（不真含于任何前缀码）⟺ C 完备。
证明 （⟸）完备 ⟹ 任何 «加词» 破坏前缀性：新词 w 或者有码词前缀（延破坏）或成为某码词前缀（前破坏）——完备性保证二者居一。（⟹）不完备 ⟹ 命题 1 证明中的 «悬空» 词存在（完备的对偶：Kraft 和 < 1 ⟹ 有悬空叶），悬空词可加入 ⟹ 非极大。□
命题 3（Schützenberger 猜想与支持结果；文献口径陈述） （i）猜想：有限极大码 C 都有因子分解 C = P⁻¹SQ（S 群码）。（ii）支持：对称群码的情形（Reutenauer：与对称群关联的码全部可分解）；«度» 有限的情形；小例的穷举验证。（iii）与 «码的群结构定理»（极大码的语法幺半群与群的关系）纠缠：因子分解的存在等价于 «G(C) 对 C* 的 «叶分解» 结构» 的存在，后者与语法幺半群的 «E-环» 结构耦合（24 号伪簇接口）。（iv）验证算法：给定 C， «寻找 P,Q,S» 没有已知算法（候选群码无穷）。
现状说明 技术瓶颈：极大码的 «语法幺半群» 是有限幺半群，其 «群部分» 与 «非群部分» 的交互由 «伪簇» 控制（24 号）——因子分解猜想等价于 «控制结构是群型» 的一类精化命题。Reutenauer 的对称群码结果使用 «表示论» 路线，对一般码不可用。□
进展与文献
Schützenberger 关于码的因子分解的系列论文（1970 年代）；Reutenauer《Ensembles libres de polynômes et algèbres de Lie》与码的因子分解系列；Berstel–Perrin《Theory of Codes》教科书的因子分解章节；Perrin–Pin《Infinite Words》相应部分。开放核心：一般情形的证明或反例；验证算法；与伪簇理论（24 号）的精化接口。