问题
Cobham 定理（1969）：若自然数集合同时是 k-自动与 l-自动（k, l 乘法无关，即 log k/log l 无理），则它最终周期（等价：其识别语言是正则语言的 « ultimately periodic» 版）。这是自动机理论与数论的黄金接口—— «两种数系只能共同识别 «算术退化» 的集合»。推广问题：把 «基数» 换成非标准数系（Fibonacci 进制、Pisot 数的 β-展开、更一般的 «抽象数系»），Cobham 型定理的统一刻画是什么？现状：Durand 等（2010 年代）证明 «两个乘法无关的 Pisot 数系» 版本；一般 «抽象数系» 的公理化 Cobham 理论仍在搭建。
主要概念
基数幂等性与自动性的代数框架
k-自动集构成 «k-可识别» 的布尔代数；幂等性（k²-自动 = k-自动）是框架的基本代数性质——命题 1 给完整证明（k² 进制的一个数字恰好拆成两个 k 进制数字）。Cobham 定理的 «非初等» 部分（互素 ⟹ 最终周期）的证明工具是 Furstenberg 的 p,q-拓扑机制：在 ℤ 上以 «算术级数 × p-连通» 为基建立拓扑， «p-连通且 q-连通» 的集合由拓扑分解定理控制。
非标准数系与 Pisot 版本
Fibonacci 进制（Zeckendorf 表示）与一般 β-展开的 «识别语言» 中， «数系» 由 «递推的数字系统» 给出。Durand 的定理：两个 «乘法无关» 的 Pisot 数系同时识别的集合最终周期——证明把 Cobham 的 «双自动 ⟹ 退化» 换成 «双 β-自动 ⟹ 退化»，工具从 Furstenberg 拓扑换成 «遍历论 + Pisot 谱性质»。一般数系的公理化（ «什么样的数字系统允许 Cobham 定理»）是当前的研究前沿：候选公理包括 «自相似性»、 «集合论封闭性» 与 «遍历混合性»。
主要命题与证明
命题 1（基数幂等性；完整证明） 集合 A ⊆ ℕ 是 k²-自动 ⟺ A 是 k-自动。
证明 （⟸）设 A 由 k-自动机 M 识别（读 k 进制数字、最低位优先）。构造 k²-自动机 M′：读入的每个 k² 进制数字 b ∈ [0, k²) 拆成两位 k 进制 (b mod k, ⌊b/k⌋)，依次喂给 M 的转移（状态 = M 的状态，转移复合）。数值对应：k² 进制表示 Σ bt(k²)t 的数字序列 b0,b1,… 逐一拆开后恰是 k 进制表示 Σ (bt mod k)k2t + ⌊bt/k⌋k2t+1 的数字序列（最低位优先）⟹ 识别一致。（⟹）反方向：k-自动机读 «每两位 k 进制数字合并为一位 k² 进制»——但表示有 «前导零» 问题：合并要求 «数字个数偶数»，用 «带相位» 的自动机（状态记录 «当前是奇位还是偶位»）处理：相位偶时合并两位、相位奇时末位补零合并。识别一致（前导零只影响 «最终状态是否接受»，补零通过 «末位状态 → 零转移» 处理，标准论证）。□
命题 2（Cobham 定理，1969；陈述与机制） k, l 乘法无关 ⟹ 同时 k-自动与 l-自动的集合最终周期。证明机制（Furstenberg 1967 的拓扑化）：在 ℤ 上以 «p-连通集»（对一切 x ∈ S 存在 r ∈ [0,q) 使 px+r ∈ S 的封闭系统）为基建立拓扑；«p-连通且 q-连通» 的集合被拓扑分解定理压到 «周期»。现代证明也有 «初等» 路线（Soare? 计数论证路线），核心仍是 «双尺度» 的联合计数。
机制说明 拓扑机制的实质： «p-连通» 是 «p-自动集» 的集合级抽象（自动性给出连通性），而 «双连通 ⟹ 周期» 是纯拓扑引理（Furstenberg 的 «ℤ 上双生成拓扑的刚性»）。推广到一般数系时， «自动 ⟹ 连通» 的桥需要 «数系的自相似结构»，这正是 Pisot 版本可行而一般版本卡壳的位置。□
命题 3（Durand 的 Pisot 版本与开放层；陈述） （i）Durand 等（2010 年代）：两个乘法无关的 Pisot 数系同时识别的集合最终周期（工具：遍历论与 Pisot 谱）；（ii）Fibonacci 进制等具体非标准系的 «双系 Cobham» 部分成立；（iii）一般 «抽象数系» 的公理化：什么样的数字系统类上 Cobham 定理成立——候选公理（自相似、封闭性、混合性）之间的蕴含关系与 «极大公理类» 未明。
现状说明 公理化的困难：Cobham 定理需要 «数系之间乘法无关» 的精确定义（Pisot 版本用 «域次数» 或 «谱无关»），而不同定义互不等价； «抽象数系» 的公理集还须排除 «病态数系»（识别语言过于强大，如 «通用数系» 可识别一切递归集）。这是自动机理论、遍历论与数论的真正三线交汇点。□
进展与文献
Cobham《On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata》（1969）；Semenov 的独立工作（1960 年代）；Furstenberg 的 p,q-拓扑论文（1967）；Durand 的 Pisot 数系 Cobham 系列（2010–2015）；Rigo《Formal Languages, Automata and Numeration Systems》专著的现代综述。开放核心：抽象数系的公理化与极大类；非 Pisot 数系（如 «三角» 级数系）的 Cobham 型结果； «多尺度»（三个以上数系）的强化。