问题
伪簇（pseudovariety）是有限半群的类，对商、子半群、有限直积封闭（例：A = aperiodic 类、J = J-平凡类、R、DA…）。对伪簇 V 与有限半群 S，点态集 PV(S) ⊆ S 是 «在 V 的意义下不可分» 的元素集：元素 x ∈ PV(S) 若 x 到 V 的 «因子» 们 «点态不可分»——精确定义涉及 «relational morphism»（S → V 的多值同态）。Henckell 定理（1988）：对 J（及 aperiodic 型伪簇），点态集有显式刻画且可判定—— «有限半群论的深度定理»（Ash 的证明、Henckell–Rhodes–Sapir 的后续）。问题：整个伪簇格上的 «可判定地图»：哪些伪簇的点态集可判定？Place–Zeitoun 等解决了 R、DA、L 等， «地图» 远未画完。它与电路复杂度（AC⁰ 的代数刻画，22 号）直接挂钩：A 的点态集判定 ⟺ «star-free 语言的正则前缀» 类的判定。
主要概念
relational morphism 与点态可分
relational morphism τ : S ↠ T：把 S 的每个元素映到 T 的非空子集，满足 τ(s)τ(t) ⊆ τ(st) 且每处非空。元素 x ∈ S 称 V-点态：存在 relational morphism τ : S → T（T ∈ V）与 t ∈ T 使 τ⁻¹(t) 含 x 且 «V 的分辨率» 意义下 x 与 τ⁻¹(t) 的全体元素不可分——技术定义（点态可分的精确口径）见 Henckell–Rhodes–Weil 的标准形式。可判定：给定乘法表，计算 PV(S) 的算法存在。
J-序与 Henckell 的显式刻画
Green 关系：x ≤𝓙 y ⟺ x ∈ SyS（双主理想包含）；J-平凡半群 = 𝓙 只有一类。Henckell 刻画：对 J-平凡伪簇 J，点态集由 «Z-序»（乘法组合的传递闭包）显式给出，判定算法多项式；A（aperiodic）的点态集由 Ash 的幂等图定理刻画——Hall 定理式的组合核心（12 号命题 1 的 Green 序是其基础）。
主要命题与证明
命题 1（Green 双主理想序的基础性质；完整证明） 有限半群 S 中：x ≤𝓙 y ⟺ x ∈ SyS；≤𝓙 是前序（自反、传递），其等价类是 𝓙-类；乘法降序：对一切 u,v（含空侧）有 uxv ≤𝓙 x。
证明 自反：x ∈ SxS（约定允许空积；严格半群加外单位不改变 𝓙 结构）。传递：x = ayb、y = czd ⟹ x = (ac)z(db) ∈ SzS。等价类：𝓙 定义为双向 ≤。降序：uxv = u·x·v ∈ SxS，即 uxv ≤𝓙 x。□
命题 2（乘法降序与 J-平凡判定；完整证明） （i）对一切 u,v ∈ S（含空侧），uxv ≤𝓙 x。（ii）有限半群 S 是 J-平凡的 ⟺ 一切生成元的 «双乘闭包» 里每个元素恰由自身 𝓙-代表——判定算法：计算 ≤𝓙 的矩阵（乘法表的传递闭包，O(n³)），检查所有 𝓙-类单点。
证明 （i）uxv = u·x·v ∈ SxS ✓。（ii）𝓙-类的计算：≤𝓙 由 «x ∈ SyS» 的布尔矩阵（乘法表直接给出 «x 是否被 a,b 生成»）做传递闭包；等价类 = 双向 ≤ 的对；检查每类是否单点。复杂度：O(n³) 的标准传递闭包。□
命题 3（Henckell 定理与可判定地图；文献口径陈述） （i）Henckell（1988）：J（与相关 aperiodic 伪簇）的点态集可判定，显式 «Z-序» 刻画；Ash（1991）给出幂等图定理的独立证明（ «relational morphism 的 «幂等提升»»）。（ii）Place–Zeitoun（2010 年代）：R、L、DA 及若干 «绿书» 伪簇的可判定性逐个解决（工具： «转移的 «层析»» 与 «ω-自动» 技术）。（iii）开放：伪簇格上 «可判定/不可判定» 的分界——没有任何 «不可判定» 的反例已知（ «全部已知点态集都可判定» 与 «没有统一算法» 之间的张力）； «地图» 的完成等价于 «正则语言前缀层级» 的完整代数刻画（22、25 号的联合空白）。
现状说明 Henckell–Ash 定理的 «组合核»（幂等图 + Hall 型配对）为每个新伪簇提供了 «模板»，但每个伪簇的 «适配» 都是独立攻坚（ «J 的论证不能用两次»）。 «统一判据» 的存在性本身开放——这使 24 号成为 «地图上有整个未勘探大陆» 的典型条目。□
进展与文献
Henckell《Pointlike sets: the finest aperiodic hierarchy》（1988）；Ash《Inevitable sequences and the Krohn–Rhodes theorem》（1991，幂等图定理）；Place–Zeitoun 的点态集系列（2013–2019）；Rhodes–Steinberg《The q-theory of Finite Semigroups》（专著，现代框架）。开放核心：可判定地图的完成； «统一算法» 的存在性；与 22、25、45 号的联合谱。