问题
dot-depth：正则表达式中 «点»（连接运算）的嵌套深度（星只在 «字母层» 使用）给出的语言层级——dot-depth 0 = 无点、1 = «字母类» 的有限布尔组合与连接、2 = 再一层…。dot-depth 1 类的可判定性由 Knast（1983）解决（ «网格定理»，语法幺半群的组合判据）；dot-depth 2 的可判定性是 Eilenberg 纲领四十年未决的头号空白。它与 Straubing–Thérien 层级（ «半弱化» 的层级，逻辑上对应 FO² 的量化交替层）逐层对应，是正则语言理论的主攻线；与 22 号（Krohn–Rhodes 复杂度）共享 «层级可判定» 的全部技术困难。
主要概念
dot-depth 与语法幺半群
«点深度» 的代数对应：dot-depth k 类的语法幺半群属于 «层级伪簇» Dk（«𝓓-类链» 的叠代）；dot-depth 1 ⟺ «𝓡-平凡后接…» 的显式型（Knast 的网格定理给出 «幺半群的 «转移图» 无 «交错网格»» 的判据）。dot-depth 2 对应 «两层» 的 «马尔可夫» 型条件——候选判据（ «局部可测的二次扩展»）都失败， «正确的代数条件» 至今未找到。
逻辑对应与 «层析» 工具
Straubing–Thérien 层级：语言层的逻辑对应 FO² 的 «量化交替深度»；«dot-depth k ⟺ FO²[<] 的 k 层量化» 型定理（Etessami–Wilke 的 «until 层级»）把问题转成 «逻辑层的可判定»。现代工具（Place–Zeitoun 的 «层析»：给定语言，计算其 «精确层级» 的转移系统）把 «层级成员判定» 归约到 «转移系统的终止性»—— «终止性可判定 ⟺ 层级可判定»，当前卡在 «转移系统的 «融合» 步骤»。
主要命题与证明
命题 1（Knast 网格定理，1983；陈述） 语言 L 的语法幺半群 M：⟨L 的 dot-depth ≤ 1 判定⟩ ⟺ M 的 «转移图» 满足 «网格条件»（任何 «a,b 双字母转移» 的 «交错» 有限步内稳定）。判定多项式可算。
机制说明 «网格条件» 是 «局部双字母转移» 的有限性检查：以 M 的 «右乘图» 为有向图，检查 «a-边与 b-边的交错路径» 是否总在有限步内进入 «已见构型»—— «有限步» 的界由 «幂等元的局部单调» 保证，算法是图上的标准闭合计算。这是层级里唯一 «完全可判定» 的一层。□
命题 2（dot-depth 2 的候选判据及其失败；陈述） 多个候选代数条件（ «两层网格»、 «局部测试的二次扩展»、 «𝓓-链» 条件）被逐一证伪（存在属于 dot-depth 2 但不满足候选条件的语言，或反之）； «正确的条件» 若存在，须同时 «上承» «两层结构» 与 «下接» Knast（在 k = 1 处退化为网格定理）。
现状说明 失败的模式有信息量：每个候选条件都能 «覆盖大半» 例子， «反例» 都是精心构造的 «边界语言»（ «亚马尔可夫» 型）——这说明 dot-depth 2 的 «真实条件» 比现有候选 «更组合»；层析工具（Place–Zeitoun）把问题重述为 «转移系统的融合终止»， «终止性» 的判定与 «重写系统的终止判定»（47 号）共享不可判定性的阴影。□
命题 3（逻辑对应与 FO² 层级；陈述） dot-depth k ⟺ FO²[<] 的 k-量化层（ «until 层级»，Etessami–Wilke–Thomas 线）—— «语言的逻辑层判定» 与 «代数层判定» 等价；FO² 的 «模型论»（ «二变数词模型» 的有限性）是层级 «严格但难判定» 的根源（46 号的平行现象）。
现状说明 «二变数» 逻辑的 «双自动» 结构（FO² ⟺ 无歧义自动机/双词自动机）给出 «半判定» 的机制： «层次转移» 可以计算但未必终止—— «终止性» 与 dot-depth 2 的可判定性等价，这是当前最有希望的统一表述。□
进展与文献
Knast《A semigroup theorem and the dot-depth hierarchy》（1983）；Straubing《Finite Automata, Formal Logic, and Circuit Complexity》；Thérien–Weil 的层级代数系列；Place–Zeitoun 的层析系列（2014–2019）；Pin–Weil 的伪簇与层级综述。开放核心：dot-depth 2 的可判定性；层级逐层的 «判定地图»；与 22、24、46 号的联合谱。