问题
部分自动机：转移函数部分定义（某些 «状态-字母» 组合无转移）。careful 同步词：从任何状态出发都可读（不踩 «未定义»）且同步的词。完全自动机的 Černý 猜想（21 号）之外，部分自动机的落差更大：已知的一般界是指数级（ «指数级界»：careful 同步词可能需要指数长——Martjugin 的下界构造），而 «经验上多数部分自动机的最短 careful 词是二次的»；«正确的界»（ «多项式界？二次界？»）与 «指数例» 之间的断层是问题核心。「careful 同步化」的可判定性（对固定 n 的判定与最短 careful 词的界的计算）也整层开放。
主要概念
careful 同步与 «路径合法性»
部分自动机的 «同步» 有三档：careful（处处可读）、almost（几乎处处）、D(A)-同步（ «可达处可读»）——三档的 «界» 各异：careful 的指数下界（Martjugin 2008：careful 词可需 2Θ(n) 长）、almost 的多项式界（ «D(A)-同步» 的二次界经验）。 «careful» 的本质约束：词须 «避开» 所有的 «未定义路径»—— «路径集合» 的组合复杂性把 «界» 从二次推到指数。
指数下界的构造机制
Martjugin 的构造： «二进制计数器» 式的部分自动机—— «careful 词» 必须 «按序» 验证指数多个 «位模式»，任何 «跳跃» 会踩到未定义转移。构造的 «指数性» 是 «careful» 约束的本质还是 «构造的偶然»，是问题的核心分歧： «almost» 版的 «多项式性» 提示 «careful» 的指数性可能 «不本质»，但没有二次界证明。
主要命题与证明
命题 1（careful 同步化的指数下界，Martjugin 2008；陈述与机制） 存在 n 状态部分自动机，其最短 careful 同步词长 ≥ 2n−1−1（或同阶）。机制： «二进制验证链»——自动机的 «合法路径» 枚举 2n 个位串，careful 词必须逐位 «测试»。
机制说明 构造的核心是 «位串测试» 的 «部分性编码»：字母 «0» «1» 的转移只在 «当前位匹配» 时定义， «careful» 约束使词必须 «沿唯一合法路径» 行走——路径长由 «位串空间的直径» 决定。逐段验证见原文； «指数性来自约束而非自动机规模» 的直觉由此确立。□
命题 2（almost 同步的多项式界与二次经验；陈述） «almost 同步»（D(A)-同步： «可达状态集上可读»）的界是多项式（文献的 O(n³) 型界），经验数据强烈支持二次界； «careful 与 almost 的界差» 是 «约束代价» 的精确度量—— «careful ⟹ 指数» 与 «almost ⟹ 多项式» 的对比是部分自动机理论最锐利的不对称。
现状说明 «almost» 的多项式界证明用 «可达集的 «压缩» 计数»（Černý 式潜函数）， «careful» 的 «路径合法性» 打破潜函数（ «合法压缩» 可以 «很久不发生»）——与 21 号 «无压缩段» 的困难同源但更极端。□
命题 3（careful 同步化的可判定性；陈述） «给定部分自动机，判定其是否 careful 可同步» 的复杂度：PSPACE-完全（文献结果， «路径合法性» 的 «计划» 编码）； «最短 careful 词的长度的计算» 相应高复杂度；固定 n 的 «二次界判定»（ «是否所有 careful 可同步者都有二次 careful 词»）开放——它是 Černý 猜想在部分世界的 «指数级弱化» 版。
现状说明 PSPACE-完全性把 «判定» 与 «构造» 拉开（判定难、构造可能更难）； «二次界判定» 的开放说明部分自动机连 «界的形状» 都未知——这是 21 号 «界已锁定在二次» 的完全对照。□
进展与文献
Martjugin 的 careful 下界（2008）；Ito–Dudek 的部分自动机综述；Volkov 的 «synchronization under partiality» 系列；de Bondt–Doyen 等的 PSPACE 结果。开放核心：careful 界的 «真形状»（指数是否本质）；almost 的二次界；careful 与 21 号的 «插值» （ «部分程度» 参数化的界谱）。