问题
半群方面：每个有限格都是某有限半群的合同格（Freese–Nation 时代的构造， «合同格的万有性»）。逆半群侧（含 0 的 «带部分对称» 的正则半群，原型是对称逆独异点 In）：对应的实现问题未解——模性/分配性的边界在哪里是关键障碍。逆半群的合同理论与群论差异巨大（合同由 «核»（幂等上的等价）与 «迹»（单位群上的）的 «配对» 决定）， «格的万有性» 在 «核-迹» 约束下是否保持，是问题的核心。
主要概念
核-迹配对与合同格的 «形状»
逆半群 S 的合同 θ 由两部分决定：核 ker(θ) = {e 幂等 : e θ e}（幂等集上的合同）与迹 tr(θ)（S 的 «最大群像» 上的合同）；«核-迹» 的 «相容性»（Scheiblich 的 «配对» 条件）约束合同格的形状。半群世界的 «万有性»（一切有限格可实现）用了 «自由构造»（ «把格编码进乘法表»）；逆半群的 «正则性 + 逆» 的强结构使 «编码空间» 缩小—— «哪些格仍可实现» 是 «核-迹 自由度» 的度量问题。
对称逆独异点的参照
In（n 点的部分双射独异点）的合同格： «平凡»（In 的合同只有恒等与泛—— «单» 性的逆半群版）； «逆半群的 «单性»»（bisimple、fundamental 等）与 «合同格的大小» 的关系是 «格实现» 的 «反方向» 约束（ «太单» 的逆半群给不出 «丰富» 的格）。
主要命题与证明
命题 1（半群合同格的万有性，Freese–Nation 时代；陈述与机制） 每个有限格 L 是某有限半群的合同格。机制：把 L «编码» 进 «0-带» 型半群的 «主理想» 结构（ «理想格 = 合同格» 的构造路线，33 号的 «理想版» ）， «自由半群对» 的商实现 L 的每个 «合同»。
机制说明 «编码» 的核心：构造 S 使其 «主因子» 之间的 «乘法» 精确复现 L 的 «并/交»—— «合同» 由 «主理想上的 «合并»» 决定， «格运算» 落到 «理想乘积»。构造对半群无约束（结合律的 «弱» 要求给 «编码» 充分自由）；逆半群的 «逆» 约束使 «主因子» 必须 «群型»—— «编码» 的自由度骤减。□
命题 2（逆半群合同的核-迹结构；完整证明骨架） 逆半群 S 的合同 θ 由 (ker θ, tr θ) 决定，且对一切合同：⟨x, y⟩ ∈ θ ⟺ ⟨xx⁻¹, yy⁻¹⟩ ∈ θ（幂等部分）且存在 «迹相容» 的 «乘法对齐»。特别地合同格嵌入 «幂等合同格 × 群合同格» 的 «相容子格»。
骨架 ⟨x,y⟩ ∈ θ 时对 «逆» 的作用：x⁻¹ θ y⁻¹（θ 是合同、逆运算保持），故 xx⁻¹ θ yy⁻¹（幂等核）。反向 «由核与迹重构 θ»：⟨x,y⟩ ∈ θ ⟺ x, y 的 «迹»（群像上的像）相等且幂等 «核等价»—— «相容性»（ «核-迹» 的 «匹配条件»）的显式形式由 «S 的 «的结构群» 的作用» 给出（Scheiblich、Lawson 的框架）。 «嵌入» 的证明由 «(ker, tr) 的格运算逐点检查» 完成。□
命题 3（实现谱的已知层；陈述） （i）有限分配格可实现为有限逆半群的合同格（文献构造）；（ii） «非分配» 格（如 M3、N5）的 «逆半群可实现性»：部分可（ «模非分配» 的情形）、部分不可（ «边界»）—— «模性边界» 的精确位置开放；（iii） «万有性»（一切有限格）在逆半群侧 «成立与否» 未决—— «模性» 是否 «硬约束» 是分水岭问题。
现状说明 «模性» 的 «嫌疑» 来自 «核-迹» 的 «群部分»（群的合同格是 «正规子群格»——模格！）； «逆半群合同格 = 模格的 «膨胀»» 的候选定理若真， «万有性» 即假。 «反方向»（ «构造非模例»）的搜索与 «正方向»（ «模性定理»）的证明都在进行，无定论。□
进展与文献
Freese–Nation 与半群合同格的万有性（1970–80 年代）；Scheiblich 与 Lawson 的核-迹理论（Lawson《Inverse Semigroups》教科书）；Grillet 的半群合同格综述；Kelly–Rival 的 «格实现» 谱。开放核心：逆半群侧的万有性；模性边界的精确位置； «双单»、 «本原» 等特殊类的合同格谱（38 号接口）。