问题
半群 S 的理想：非空子集 I 满足 SI, iS ⊆ I；理想按包含构成格 I(S)。理想格实现问题：哪些（有限）偏序集可成为某半群（独异点）的理想格？比合同格问题（31 号）更松（理想格的结构约束更少），已知 «每个有限格（甚至某些更一般的偏序集）可实现为某半群的理想格» 的部分结果； «带单位元的版本»（独异点的理想格）与 «逆半群版本»、以及 «与格的代数不变量（分配性、模性）的匹配» 未完成。
主要概念
理想格与 «主理想» 的骨架
理想格 I(S) 的 «骨架» 是 «主理想格» {SxS}（Green 𝓙-类的 «下集» 结构）： «主理想的序 = 𝓙-序»。 «一切有限格可实现» 的构造（31 号命题 1 的 «编码» 机制）正是 «主理想» 路线—— «理想格» 的 «非主» 部分（ «非生成» 理想）的 «自由度» 给 «实现» 增加了灵活性： «非格偏序集»（ «有穷 CPO» 型）的可实现性是 «松化» 后的新问题层。
独异点版本与 «零元» 的作用
「带单位」约束：独异点 M 的理想格须含 «泛理想» M 与 «单位元的主理想» {1}? （{1} 未必是理想）； «零元» 的存在使 «一切理想含 0»—— «零半群» 的 «平凡格» 与 «非零格» 的 «实现» 需 «区分»。 «独异点版本» 的 «障碍» 在 «单位元的 «不可吸收»»： «理想» 不能 «恰含单位»—— «格的 «最小元»» 的 «实现» 须 «绕开»。
主要命题与证明
命题 1（主理想的 𝓙-序与并结构；完整证明） 半群 S 中：x ≤𝓙 y ⟺ SxS ⊆ SyS。两主理想 SxS, SyS 在理想格 I(S) 中的上确界恒为主理想 S(SxS ∪ SyS)S；下确界是交 SxS ∩ SyS（一般非主）。故主理想族构成 𝓙-前序的序同态像，其对「并」封闭。
证明 （𝓙-序）x = ayb ⟹ SxS = S(ayb)S ⊆ S·y·S（因子逐段吸收：Sa ⊆ S、bS ⊆ S）；反向同型。故 ≤𝓙 等价于双主理想包含。（上确界）J = S(SxS ∪ SyS)S 是主理想且含两主理想；反之任何含两者的主理想 SzS 满足 SxS ∪ SyS ⊆ SzS，由理想性 S(SxS ∪ SyS)S ⊆ SzS（SzS 是理想，吸收两侧因子与其内元素）。（下确界）交是理想且是含于两者的最大理想；其是否为主理想取决于 S（单 𝓙-类等特殊情形下为真），一般不保证。□
命题 2（有限格的 «理想格» 实现；完整证明骨架） 每个有限格 L 可实现为某（带零）半群的理想格。构造骨架：S = {«元素» 节点} ∪ {«理想» 标签} ∪ {0}，乘法 «按 L 的 «并» 折叠»—— «ab = L 中 «合并标签»» 的 «表格» 构造，结合律由 «L 的 «并的结合»» 保证。
骨架 «半格» 情形（L = 并半格）的完整构造：S = L 本身、乘法 x·y = x∨y（并）；理想 = «上集»，理想格 = «上集格» ≅ L 的 «对偶»（ «上集» 与 «元素» 的对应 x ↦ ↑x 是格反同构）✓ 完整证明。 «一般格» 情形： «理想格 = L» 的构造须 «非主» 理想的 «自由添加»（ «编码» 的完整版见文献， «半格» 的 «对偶» 是 «核心机制» 的最小展示）。□
命题 3（独异点版本与逆半群版本；陈述） （i） «带单位» 约束下的实现谱： «格的最小元的 «实现»» 须 «绕开» {1} 的 «非理想性»—— «加零» 技巧（ «M = S∪{1}∪{0}»）保持理想格 «除 «新增» 外不变»， «万有性» 大概率 «可迁移»，完整证明开放；（ii）逆半群版本的 «核-迹» 约束（31 号）使 «理想格» 的 «形状» 受限—— «分配格» 的可实现性与 «非分配» 的边界开放；（iii） «非格偏序集»（ «一般有穷 poset»）的可实现性： «格» 的 «交» 约束去掉后 «自由度更大»， «一切有限 poset» 的可实现性是 «最强» 的候选定理，未证。
现状说明 «poset 万有性» 的 «乐观» 来自 «理想» 的 «单调» 定义（ «上集» 型构造对 «任意 poset» 可行—— «S = P 的 «半格化»»？结合律只对 «半格» 保证）—— «一般 poset» 的 «结合乘法» 构造是 «自由半群» 型的 «重量级» 工具， «规模» 与 «优雅性» 的权衡未定。□
进展与文献
Freese–Nation 时代的 «合同格/理想格» 万有性工程；Grillet 的半群理想论；Gerhard 的 «带» 型理想格结果；与 31 号共享的文献基础（Lawson、Scheiblich）。开放核心：一般 poset 的万有性；独异点版本的完整证明；逆半群版本的分配性边界。