问题
McAlister 的 P-定理（1974）：E-单式逆半群（幂等集为 «半格 + 上闭» 型的逆半群）= «群 上的半格的 «覆盖»»（P-半群： G 作用在 «半格» 上的 «拟半格» P = Y ⋈ G）。这是逆半群论的珠峰—— «正则逆半群» 的结构定理（ «E-单式» 情形的 «完全分类»）。推广问题：向 E-稠密半群（ «每个 «与幂等可交换» 的元素有幂等 » 的更弱正则性）的推广有多个候选框架（Lawson 的 «非正则半群理论»、 «left adequate» 类），统一的结构定理未立—— «正则之外» 的半群结构论整体处于 «局部定理多、全局理论少» 的状态。
主要概念
P-半群与 «覆盖» 机制
P-半群：G（群）作用在半格 Y 上，P = {(y, g) : y ∈ Y, g ∈ G, y 在 «区间» Yg 内}（ «区间约束» 是 McAlister 的精妙处），乘法 «半格乘群作用»。E-单式逆半群 ⟺ 某 P-半群（ «表示定理»）： «逆半群的世界 = 群+半格» 的精确化。 «推广» 的 «候选框架»：①adequate/E-稠密类（ «幂等 «半格»» 换 «幂等 «单半格»»—— «left/right adequate» 的 «弱正则» 结构）；②Lawson 的 «非正则» 框架（ «广义 Green 关系» + «拟半格»）；③ «in-compact» 型 «范畴论» 框架（ «Indefeasible» 结构）。 «统一» 的障碍： «P-定理的 «区间约束»» 在 «非正则» 时 «失去几何意义»。
«正则之外» 的地形
正则半群论（ «E- «局部»» 结构）有 «Nambooripad 双范畴»（43 号）的全局框架； «非正则» 半群 «没有 «幂等 » 元素的 «好乘法»»—— «结构论» 的 «缺全局理论» 是 «结合律的 «自由度»» 的 «代价»： «E-稠密» 是 «非正则世界的 «第一站»»（ «幂等集仍是 «单半格»»）， «统一定理» 的候选形式： «E-稠密半群 = 某类 «拟群-拟半格» 的 «覆盖»»。
主要命题与证明
命题 1（McAlister P-定理，1974；陈述） 逆半群 S 是 E-单式 ⟺ S ≅ P-半群 P(Y, G)（群 G 作用在半格 Y 上的 «区间» 结构）。 «唯一性» 的 «规范形式»（ «Y 与 G 的 «极小选择»»）由 McAlister 的 «U-半格» 规范给出。
机制说明 «表示» 的构造：E-单式逆半群的 «幂等半格» E 与 «最大群像» G 的 «作用»（ «共轭作用»）给出 «区间» Yg（ «g-可 «搬运» 的幂等»）， «元素» 编码为 «(幂等, 群元)» 对—— «P-半群» 的乘法 «精确复现» 逆半群乘法。 «区间约束» 的 «必要性»（ «无约束» 的 «对» 太多）是定理的技术核。□
命题 2（E-稠密半群的 « Adequate» 基础引理；完整证明骨架） E-稠密半群 S（每个 «与某幂等可交换» 的元素属于 «E-稠密部分»）中：①幂等集 E 是 «单半格»（ «右 adequate» 的 «R*-类» 对应 «最大幂等»）；② «S 的 «adequate» 商» 的 «结构» 由 «E- «作用»» 控制。
骨架 «单半格» 的 «R*-类» 对应：adequate 半群的 «每个元素 a 有 «唯一» 的 «最大 R*-幂等» a⁺ 与 «最大 L*-幂等» a*»（adequate 定义）， «幂等集» 在 «R*-序» 下是 «树/单半格»—— «E-稠密» 的 «非正则版本» 保留 «⁺,*» 的 «双幂等» 结构， «P-定理的推广» 的 «候选结构» = «(单半格, 拟群) 的 «双作用»»—— «统一定理» 的 «骨架» 可写但 «区间约束» 的 «非正则对应» 未明。□
命题 3（候选框架与统一障碍；陈述） （i）Lawson 框架： «E-稠密 ⟺ «广义 P-半群»» 的候选定理（ «Y ⋈ G 的 «区间» 换 «序约束»»），部分情形成立；（ii） «adequate» 类的 «Fountain 结构»（ «半群的 «半格 » 群» 的 «双系统»）—— «P-定理» 的 «adequate 版» 部分成立；（iii） «统一障碍»： «区间约束» 的 «非正则推广» 有多个 «不等价» 版本， «哪个是 «正确»» 的判据缺失—— «正则之外» 的 «全局理论» 整体处于 «框架竞争» 状态。
现状说明 «框架竞争» 的 «裁决» 需要 «不变量» 的 «区分力»（ «两个框架对 «同一» 半群给出 «不同» 结构» 的 «比较定理»）—— «43 号»（Nambooripad 的正则框架）的 «成功» 提示 «范畴论» 的 «双范畴» 语言可能是 «统一» 的候选载体。□
进展与文献
McAlister 的 P-定理（1974）；Lawson《Inverse Semigroups: The Theory of Partial Symmetries》（1998）；Fountain 的 adequate 半群系列；Gould 的 «E-稠密» 综述。开放核心：E-稠密的统一结构定理； «区间约束» 的非正则对应； «框架竞争» 的比较定理；与 43 号的双范畴接口。