问题
每个群 G 都是某独异点的单位群（平凡构造：G 加 «零元» 得 G∪{0}，阶 |G|+1；或 «半格 » 群»）。实现谱问定量的精细：阶 n 的群作为阶 m 独异点的单位群，m 的最小值 μ(G) 是多少？ «平凡构造» 给 μ(G) ≤ |G|+1； «能否更小»（ «单位群 «挤» 在 «小» 独异点里»）对一般群未解。 «极小生成关系» 的实现谱（ «单位群 «嵌入» «少关系» 独异点»）与 «补格»（ «独异点的 «幺化扩张»»： «半群 → 独异点» 的 «最小» 添加）的组合问题耦合。
主要概念
幺化扩张与 «最小» 添加
幺化（adjoining identity）：半群 S 加单位 1（ «S¹»）—— «最小» 的 «独异点化»。 «实现谱» 的 «反向»： «独异点 M 的 «去单位»»（M∖{1} 是半群 ⟺ 1 «不可分解»—— «⟨a,b ∣ …» 的 «单位剥离»»）。 «μ(G)» 的 «下界» 机制： «单位群 «行动» 在 «非单位元素» 上»（ «Green 关系的 «群作用»»）， «非单位» 部分必须 «容纳» 群的 «作用轨道»—— «轨道计数的下界»。
«补格» 与 «骨架» 结构
«独异点 M 的 «骨架»»： «𝓙-类格» 的 «群类»（ «最大群像»）与 «非群类» 的 «排布»—— «单位群 «最小实现»» 的 «骨架» 问题： «G 的 «轨道» 需要 «多少» 非群类». «补格»（ «补 » 的 «组合»—— «G 加 «补» 元素»）的 «极端» 情形： «G + 对合 «反转»» 型 «双元素添加» 的 «μ(G) ≤ |G|+2» 的 «改进»？ «最小» 的 «下界» 与 «上界» 的 «合拢» 对一般群开放。
主要命题与证明
命题 1（平凡构造与 «零» 添加；完整证明） 群 G 加新元素 0（定义 0·x = x·0 = 0·0 = 0，1 保持）得独异点 M = G∪{0}，其单位群恰 G；阶 |G|+1。特别地 μ(G) ≤ |G|+1。
证明 封闭性与结合律：含 0 的积全为 0（任意括号）✓；不含 0 的积在 G 内 ✓。单位群：可逆元 = G（0 不可逆：0·x = 0 ≠ 1；g ∈ G 有逆 g⁻¹ ✓）。□
命题 2（ μ(G) ≥ |G| 的下界机制；完整证明） 若独异点 M 的单位群是 G，则 |M| ≥ |G|（单位群是 M 的子集）—— «非平凡» 的下界须 «挤» 掉 «多余» 非单位：μ(G) = |G| ⟺ G 本身是独异点（恒真，G 是群也是独异点）⟹ μ(G) ≤ |G| 恒成立且 μ(G) = |G|。
说明 «μ(G) = |G|» 的 «平凡性» 提示题面的 «真实含义» 是 «G 须 «真包含于» 更大的独异点»（ «单位群 «真子»» 的实现—— «M ≠ G» 的 «极小扩张» μ⁺(G) = min{|M| : M ⊋ G 作为单位群}）： «零添加» 给 μ⁺ ≤ |G|+1， «μ⁺ = |G|+1 恒成立吗» ⟺ «单元素添加» 总可行 ⟺ «零添加» 的 «唯一性»—— «G∪{0} 是 «极小扩张»» 的 «一般性» 开放（ «有无 «更紧» 的 «共享» 添加»—— «两个群 «共享» 一个 «非单位»» 的 «合并» 实现）。□
命题 3（共享添加与 «实现谱» 的开放层；陈述） （i） «多个群 «共享» 添加» 的 «合并实现»（ «G₁, G₂ 都作 «某独异点的 «极大子群»»»）： «G₁ × G₂ 的 «双群独异点»»（ «Rees 矩阵» 型构造）给出 «联合上界»； «极小» 的 «合并谱» 开放。（ii） «极小生成关系» 的实现谱（ «单位群 «嵌入» «少关系» 独异点»）： «自由独异点的 «群像»» 结构（ «⟨X ∣ …» 独异点的 «单位群» 判定»）与 «11 号»（嵌入猜想）耦合；（iii） « μ 的 «代数刻画»»（ «μ⁺(G) 由 «G 的什么不变量» 决定»）未明—— «补格» 的 «组合» 侧与 «群不变量» 的 «代数» 侧未合流。
现状说明 «实现谱» 的 «技术核心» 是 «幺化扩张的 «分类»»（ «S → M 的 «添加» 型枚举»）—— «Rees 矩阵»（ «完全 0-单»）与 «半格» 的 «两类 «标准添加»» 之外的 «野性添加» 的 «分类» 缺失， «谱» 的问题因此 «开放而具体»。□
进展与文献
Clifford–Preston《The Algebraic Theory of Semigroups》的 «幺化» 章节；Howie 教科书的 «单位群» 部分；Rees 矩阵构造的经典；与 «补格» 相关的组合半群文献。开放核心： μ⁺ 的极小扩张分类； «共享添加» 的合并谱； «生成关系» 的实现谱与 11 号接口。