问题
群扩张的分类定理（Schreier）： «N → E → Q 的扩张 ⟺ 二阶上同调 H²(Q, Z(N)) 的类»——教科书内容。半群的对应理论多版本并存、互相不等价：Lausch 上同调（1970 年代， «带 » 的上同调»）、Grillet 上同调（ «扩展群 » 的 «半格» 路线»）、Grillet–Wang 型 «半格-群» 的 «双系统» 版本—— «哪个版本给出完整分类» 未明。这是 «半群比群缺什么» 的代数诊断书： «逆元 » 的 «Schreier 分裂» 机制在半群世界 «残缺»。
主要概念
Schreier 机制的 «逆元依赖»
群扩张分类的机制： «截面» s : Q → E（ «商的代表»）+ «因子集» f(q,q′) ∈ N（ «截面乘法的 «纠偏»»）+ «结合律» 的 «3-上闭条件» + «截面变换» 的 «等价»—— «逆元» 用于 «截面的 «规范化»»（ «1 截面» 的 «标准化»）与 «N 的 «正则» 作用。半群扩张： «截面» 存在但 «不可规范化»（ «半群的 «1» 的 «像»» 问题）、 «N 的 «作用»» 是 «部分» 的（ «非可逆»）、 «因子集» 的 «等价» 更复杂—— «上同调» 的 «多版本» 各自 «部分修复» 这些 «残缺»。
Lausch 与 Grillet 的版本对照
Lausch： «半群同调» 用 «半群模»（ «S-系统»）与 «bar 构造»—— «H²» 给 «某类扩张»（ «理想扩张» 的 «子类»）的分类；Grillet： «半群 = «半格 » «主因子»» 的 «结构 » 上同调»—— «H² 的 «双层»»（ «半格层» 与 «群层»）的 «拼装»。 «两版本» 的 «覆盖范围»： «Lausch covers 理想扩张、Grillet covers «半格-群» 扩张»—— «完整分类» 需 «版本 » 的 «合并» 或 «第四版本»。
主要命题与证明
命题 1（群扩张的 Schreier 分类机制回顾；完整证明骨架） 群扩张 1 → N → E → Q → 1 的等价类 ⟺ H²(Q, Z(N))（ «N 的 «Q-模» 结构由 «共轭作用» 给出»). 机制：截面 s（s(1) = 1 规范化，用逆元 «归一»）+ 因子集 f（ «s(q)s(q′) = f(q,q′)s(qq′)»）+ 结合律 ⟹ 2-上闭 + 截面变换 ⟹ 2-上边缘等价。
骨架 «截面规范化»：s 的 «q ↦ s(q)» 的 «自由度» 由 «逆元» 压到 «形如 f-变换» 的 «标准自由度»（ «任意截面 = 规范截面 × N-函数»）； «结合律» 的 «(qq′)q″ = q(q′q″)» 的 «三重因子» 检查给出 «2-上闭»； «扩张同构» 的 «N- «固定»» 条件给出 «等价 = 上边缘»。每步 «逆元» 的使用点（ «规范化»、 «作用 » 的 «可逆»）在半群侧 «失效»—— «多版本» 的 «各自修复» 由 «去掉 «规范化»»（Lausch）或 «改 «作用 » 为 «结构»»（Grillet）实现。□
命题 2（Lausch 上同调的 «覆盖面»；陈述） Lausch 的 H² 对 «理想扩张»（ «N 是 E 的理想» 的 «单侧» 扩张）给出分类（ «半群模 » 的 «bar 上同调»）—— «覆盖面» 是 «扩张类» 的 «真子类»； «一般扩张» 的 «Lausch 分类» 失败（ «非理想扩张» 的 «因子集» 超出 «bar» 框架）。
现状说明 «理想扩张» 的 «真子类» 性质（ «一般扩张中 «N 未必是理想»»）说明 «Lausch» 是 «局部的» 上同调—— «全局分类» 需要 « «理想» 与 «非理想»» 的 «拼装»（ «Grillet 的 «半格 » 分解» 是 «拼装» 的候选 «全局语言»）。□
命题 3（Grillet 框架与 «合并» 的开放；陈述） （i）Grillet 的 «半格-主因子» 框架： «半群扩张» 的 «分类» 化归到 ««半格» 的 «扩张»» 与 ««主因子»（ «群» 或 «0-单»）的 «扩张»» 的 «双层»；（ii） «双层的 «上同调»»（ «半格上同调 » 群上同调» 的 «谱序列» 型拼装）没有公认版本；（iii） «哪个版本给出完整分类» 的判据： «分类定理» 的 «检验例»（ «已知扩张的 «手工分类»» 与 «候选 H²» 的 «比对»）只在小类完成—— «诊断书» 的 «病名» 已知（ «逆元缺失»）， «药方» 未定。
现状说明 «谱序列» 型 «拼装» 的 «障碍»：半群的 «半格分解»（ «𝓙-类» 的 «序»）不是 «滤过»（ «理想链» 的 «层»）—— «群论 » 的 «谱序列» 机制（ «正规滤过»）半群侧 «失配»。 «第四版本»（ «范畴 » 上同调» 的 «双范畴» 框架，43 号接口）是 «候选» 的 «现代» 路线。□
进展与文献
Lausch 的半群上同调（1970–75）；Grillet《Semigroups》与扩张理论系列；Bulman-Fleming–McDowell 的 «S-系» 上同调；«q-理论»（Rhodes–Steinberg）的 «扩张» 章节。开放核心：完整分类的上同调版本； «谱序列» 型拼装或 «第四版本»； «检验例» 库的扩充。