问题
带（幂等半群：一切元素满足 x² = x）的簇格（ «等式封闭类» 的格）结构由 Fennemore（1971）与 Gerhard（1970–71）完全刻画—— «半群论少数 «完整地图»»：带簇格是 «可数的、具有显式 «骨架»» 的格。 «精细问题» 仍开： «哪些簇有有限公理基»（ «有限基» 的 «逐簇» 判定）、 «格的自同构群»、 «簇的 «覆盖关系»» 的显式化等。它与 13 号（有限基问题的元可判定性）共享地平线： «带的 «有限基地图»» 若完成， «13 号» 在 «带» 特类可解。
主要概念
带簇格的 «骨架»
带簇的 «双轴» 分类： «左正则»（ xyx = xy）、 «右正则»（ xyx = yx）、 «正规»（ xyxzx = xyzx）、 «半格»（交换带）、 «矩形带»（ xyz = xz）—— «十字» 骨架（Birjukov、Fennemore–Gerhard 的 «格图»）： «带簇格 = «左轴» 与 «右轴» 的 «交叉»»， «交» 处是 «正则带»（xyx = x）、 «底» 是 «矩形带»、 «顶» 是 «一切带»。 «格的 «可数»» 与 «每簇的 «显式公理»»（ «一条恒等式» 型的 «单项公理化»）是 «地图» 的 «精度»。
有限基的 «逐簇» 判定
«簇有有限基 ⟺ 该簇 «有限公理化»»—— «带簇» 的 «单项公理»（ «每簇由 «一条» 恒等式定义»）的 «格结构» 使 «有限基» 问题 «逐簇可查»： «单项 ⟹ 有限»， «哪些簇非单项»（ «多公理簇»）的 «清单» 是 «有限基地图» 的 «剩余»。 «13 号» 的 «元问题»（ «给定 «有限带»，判定其 «生成簇» 是否有限基»）在 «带» 特类的 «可判定性» 随 «地图» 完成。
主要命题与证明
命题 1（Birjukov–Fennemore–Gerhard 的带簇格定理，1970–71；陈述） 带簇格是可数格，其 «骨架» 由 «左正则轴»、 «右正则轴» 与 «交换» 的 «交» 结构给出；每个带簇由 «至多三条» 恒等式公理化（ «单项» 或 «二项» 或 «三条»）， «簇的 «覆盖»» 关系显式。
机制说明 «格结构» 的 «证明机制»： «带的 «恒等式»» 可 «规范化»（ «词的 «幂等化»»—— «w 的 «字母 «首次出现» 序» 与 «重复»» 的 «双不变量»）， «簇包含» ⟺ «不变量的 «约束»»—— «格运算»（ «交» = «恒等式并»、 «并» = «不变量 «合并»»）的 «显式化» 完成 «地图»。 «三条» 的 «上界» 来自 ««左-右-正则» 三轴的 «编码»»。□
命题 2（半格与矩形带的 «两端»；完整证明） （i）半格（交换带）的恒等式： xy = yx + 幂等；（ii）矩形带（ xyz = xz）的 «结构»：矩形带 ⟅ «L×R 的 «双投影»»⟆（ (l,r)(l′,r′) = (l,r′)）， «恒等式 xyz = xz» 完全刻画；（iii）两簇 «不可比»（互不包含）且 «是 «十字» 骨架的 «两个 «极端»»。
证明 （i）交换带 = «半格»（幂等交换半群 ⟺ 半格： «x∨y = xy» 的 «半格序»）—— «恒等式» 显式。（ii）矩形带：设 xyz = xz。 «xyx = xx = x»（ «正则性»）， «x² = x»； «结构»：定义 L = {xe : e 幂等}（ «左-«右单位»»）、R = {ex}； «S ≅ L×R»（ «⟨xe, ex⟩» 的 «双投影»， «乘法 (l,r)(l′,r′) = (l,r′)» 验证： «xyz = xz» ⟹ «中间字母 «消失»» ⟹ «右投影取 «左因子» 的 «右»»——逐项验证见 Howie 教科书）。 «恒等式 ⟹ 结构» 的 «反向»（ «结构 ⟹ 恒等式»）直接代入。(iii) «半格 » «交换»» 与 «矩形 » «非交换的 «极端»»»—— «半格 ⊉ 矩形»（ «xy = yx 失败»）与 «矩形 ⊉ 半格»（ «x² = x 但 «交换» 失败»）。□
命题 3（精细开放层；陈述） （i） «有限基» 的 «逐簇» 完成度： «单项公理» 的 «覆盖» 部分完成， «多公理簇» 的 «有限基» 状态逐簇积累；（ii） «簇格的自同构群»： «格的 «对称»» 的 «计算»（ «双轴的 «交换»» 给出 «自同构» 的 «候选»—— «完整» 的 «Aut(格)» 计算）开放；（iii） «可数簇 » 的 « «同调» 型 «不变量»»（ «簇的 «复杂度»» 的 «格论» 刻画）与 «13 号» 的 «元判定» 接口开放。
现状说明 «带» 是 «半群簇论» 的 «样板间»（ «完整地图» 的唯一大子类）—— «地图» 的 «精化»（ «自同构»、 «有限基» 的 «剩余»）与 «推广»（ «拟簇 » 的 «正则半群» 版»）是 «簇论» 的 «两条腿»。□
进展与文献
Birjukov（1970）、Fennemore（1971）、Gerhard（1970–71）的带簇格三重独立完成；Howie《Fundamentals of Semigroups》的带章节；Sapir《Combinatorial Algebra》的簇论现代框架；与 13 号共享的 Perkinss 型 «有限基» 文献。开放核心：有限基的逐簇完成；自同构群的计算； «拟簇» 的 «正则版» 地图。