问题
双单（bisimple）：恰有一个 𝓓-类的半群。完全 0-单半群有 Rees 矩阵的完整结构（经典）；「双单 + 逆」的精细分类远未完成：双单逆半群是否由「最大群像」（唯一的 𝓗-类群 H）与幂等结构决定——「哪些 (群, 幂等序结构) 对给出同构的逆半群」的不变量谱开放。它与 C*-代数的 AFS 理论共振：逆半群 S 经 Paterson 的群胚实现给出 C*(S)，「C*(S) 同构 ⟹ S 同构」的谱是分类的双线问题。
主要概念
最大群像与幂等结构
双单逆半群 S 的唯一 𝓓-类中每个 𝓗-类是同构的群（最大群像 H）；幂等集 E(S) 是半格——双单性迫使 E 的结构受强约束（E 中任意两元之下有公共元链）。标准构造族：图逆半群 GI(E)（有向图 E 的有限路径与「有限路径逆」生成的独异点；双单 ⟺ 图强连通且每顶点有出边）、Bruck 扩张（群上的幂等自由扩张）。分类不变量的三件套：群 H、幂等半格的序型、以及 H 对幂等结构的作用方式。
AFS 与算子代数的双线
逆半群 S 的 C*(S)（Paterson 的群胚 C*-代数）：单向 «S 同构 ⟹ C*(S) 同构» 恒真；反向的精确谱开放。图逆半群的 C*(S) 是图 C*-代数（Raeburn 框架），其 Kirchberg–Phillips 型分类（K-群不变量）远比半群侧的分类完整——「算子代数侧的可区分性」是半群分类的新工具候选。
主要命题与证明
命题 1（Rees–Suschkewitsch 结构定理与双单逆的缺位；陈述） 完全 0-单半群 = Rees 矩阵半群 𝓜(G, I, Λ, P)（群 × 行指标 × 列指标 × 夹心矩阵），P 的正则等价（对角群标量变换 + 行列置换）给出同构分类——这是 «完整» 的。双单逆半群的对应矩阵化要求 I = Λ（方阵）与幂等条件（对角型），其 «逆» 版正则等价的完全刻画缺失——分类的第一层只对 Brandt 型（P 单位矩阵）情形完全。
命题 2（图逆半群的双单判据；完整证明） 图 E（有限顶点、每顶点有出边）的路径逆半群 GI(E) 是双单 ⟺ E 强连通。
证明 （⟹）GI(E) 双单即单 𝓓-类。路径逆半群的元素是（有限路径 + 有限路径的逆）的正规形；从顶点 v 出发的路径位于以 v 标记的 𝓙-层——精确地，定义 v-型 = 所有以 v 起头的路径元与幂等 v（零长路径），它是 𝓛-等价类（右理想结构由起点决定）。若图不强连通，存在顶点对 u ↛ w，则幂等 u 与 w 不在同类：u 不能到达 w 意味着 GI(E)·w·GI(E) 不含 u（一切乘积路径的 «中间段» 须有从 w 到某点的通路，拼出的路径起点无法变为 u——形式化：右理想 w·GI(E) 的元素全是 «起点可延伸到 w 的路径段»，而 u 不是），故两个 𝓙-类 ⟹ 非双单。（⟸）强连通：任意两幂等 u, w 有路径从 u 到 w 与反向，⟹ u ≤𝓙 w 且反向，单 𝓙-类 ⟹ 双单。□
命题 3（分类不变量谱与 AFS 共振；陈述） （i）不变量三件套（群像、幂等序型、作用方式）对图逆半群完备（同构 ⟺ 图同构，经幂等半格重构图——退化例外逐个处理）；一般双单逆半群的三件套不完备（同 H 同 E 谱的非同构例已知——Bruck 扩张的自由度）。（ii）AFS 双线：C*(S) ≅ C*(S′) 而 S ≇ S′ 的反例已知（图 C*-代数的旁效性）；「C*-同构 ⟹ 半群同构」成立的充分子类（fundamental 逆半群层）部分刻画。
进展与文献
Rees–Suschkewitsch 的经典结构定理（Howie《Fundamentals of Semigroup Theory》第 3 章）；Bruck 的双单逆扩张理论；Paterson《Groupoids, Inverse Semigroups, and their Operator Algebras》；Ash–Hallberg 的图逆半群分类；Raeburn《Graph Algebras》。开放核心：一般双单逆的分类不变量谱；Bruck 扩张的幂等序分类；C*-同构与半群同构的精确谱。