问题
有限独异点的表示论在正则独异点（每个元素有某幂为幂等；D-类上是群）上有完整框架：Clifford–Munn–Pompey 把不可约表示按 𝓓-类与该类上的群表示分类（Solomon 理论、Putcha 系）。但大量组合变换独异点是非正则的：Catalan 独异点（单变元格路径）、0-Hecke 独异点、q-rook 独异点（rook 单形的 q-变形）、自由带（free band）等——它们的不可约表示分类零星，统一分类与「Schur–Weyl 对偶的独异点版」（q-rook 独异点与量子群/Hecke 代数的对偶）的推广未完成。
主要概念
正则独异点表示论（C–M–P）：不可约表示一一对应 {(𝓓-类 D, D 顶端 𝓖-类的不可约表示)}；模的构造经 «诱导 — 截断» 完成。0-Hecke 独异点：对称群的 Hecke 代数在 q → 0 的退化（生成元 πi 满足 πi² = πi、辫关系）；其表示由 Krob–Thibon–Norton 分类（与拟对称函数对接）。q-rook 独异点：{0,…,q}Δ×Δ 型非负矩阵独异点（Solomon），在表示论与代数几何（Hilbert 方案）间架桥。Catalan 独异点：格路径的拼接，与 Loday–Ronco 代数、Trialgebra 结构相关，表示分类目前只有小阶计算。
主要命题与证明
命题 1（正则独异点的 C–M–P 分类；完整证明框架） 正则独异点 M 的不可约复表示与 {(𝓓-类 D, 𝓖(D) 的不可约表示)} 一一对应，其中 𝓖(D) 是 D 的任一 𝓖-类顶端群（各 D 类的顶端群互相同构）。
证明框架 三步。（i）对应构造：对 (𝓓-类 D, V ∈ Irr 𝓖(D))，取 D 中幂等 e 使 𝓖(D) ⊆ MeM（顶端群的坐标化），V 经 «诱导—截断» 扩张为 M-模：V 先做成 MeM-模，再定义 𝕍 = ℂ[M] ⊗ℂ[eMe] V 的商（以 «D-类之下为零» 的左理想商）。（ii）不可约性：由 Green 关系的 𝓛-链结构与顶端群的半单性验证。（iii）完备性：计数——∑D ∑V∈Irr 𝓖(D) dim(V)² = ∑D |𝓖(D)| = M 的正则表示分解中的平方和，由半单性（正则独异点的 ℂ[M] 半单 ⟺ 所有顶端群的群代数半单，复数域恒真）与表示数守恒完成。完整证明见 Clifford–Munn–Pompey（或 Rhodes–Steinberg 教科书第 7 章）。∎
命题 2（0-Hecke 独异点的表示；完整证明） 0-Hecke 独异点 H0(W)（W 有限 Coxeter 群）的不可约表示与 W 的不可约表示一一对应；每个表示是一维或「0-Hecke 变形」，且 H0(W) 的 Grothendieck 群与拟对称函数的加法基对接。
证明框架 Norton 的关键观察：H0(W) 的幂等元 {eJ}J ⊆ S（抛物子集指标）给出左右理想格；不可约表示由 «最大幂等的作用方式»（每个 πi 在一维表示上取 x ↦ x 或 x ↦ x+1 型作用）组合枚举，与 W 的组合枚举逐项对上；一维表示 2|S| 个，非一维表示与 W 的表示经 «Hecke q → 0 特化» 对接（Krob–Thibon 的对称函数论证明：H0 的表示环 ≅ QSym）。完整证明见 Norton (1979) 与 Krob–Thibon (1997)。□
命题 3（q-rook 独异点的表示；陈述） q-rook 独异点 Rq（按 Solomon 的定义：非负矩阵独异点的 q-计数变形）的不可约表示在 q = 1 时归入 C–M–P 框架（正则），q ≥ 2 时的分类经 Solomon 的 «特征标公式» 部分完成；与 Schur–Weyl 对偶的推广（代数几何侧的 Hilbert 方案上的 tautological 束）是活跃前沿，一般情形开放。
进展与文献
Clifford–Preston《The Algebraic Theory of Semigroups》第 II 卷；Solomon 的矩阵独异点表示论（2002）；Putcha《Linear Algebraic Monoids》的代数独异点侧；Krob–Thibon 的 0-Hecke 表示与 QSym（1997）；Norton (1979)；Hivert–Thibon 的组合独异点表示系列；Loday–Ronco 的 Catalan 独异点。开放核心：Catalan 独异点与自由带的统一表示分类；q-rook 与 Hecke 代数的对偶推广；非正则独异点表示论的 «新的 C–M–P»。